張?zhí)煲?，李文?，肖金玉，劉 劍

(1. 中國(guó)科學(xué)院半導(dǎo)體研究所 北京 海淀區(qū) 100083；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)微電子學(xué)院 北京 石景山區(qū) 100049；3. 華潤(rùn)上華科技有限公司 江蘇 無錫 214028；4. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院 北京 石景山區(qū) 100049)

隨著集成電路工藝的發(fā)展，晶體管的特征尺寸越來越小，多核處理器等超大規(guī)模集成電路(very large scale integration, VLSI)單位面積上集成的器件越來越多，導(dǎo)致芯片功率密度增加，工作溫度上升，從而引起嚴(yán)重的熱問題。過高的溫度會(huì)降低芯片的運(yùn)行性能，減少芯片的使用壽命，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致芯片直接損壞[1-2]。高性能芯片采用動(dòng)態(tài)熱管理(dynamic thermal management, DTM)技術(shù)處理熱問題[3-4]。DTM通過集成在芯片上的溫度傳感器監(jiān)測(cè)芯片溫度場(chǎng)信息，當(dāng)芯片溫度超過閾值時(shí)，觸發(fā)管理機(jī)制并采用調(diào)整芯片工作負(fù)載、降低時(shí)鐘頻率或者啟動(dòng)冷卻裝置等方式降低芯片溫度，可以有效地抑制芯片過熱的情況發(fā)生[5]。溫度場(chǎng)監(jiān)測(cè)精度對(duì)DTM準(zhǔn)確、高效運(yùn)行至關(guān)重要。溫度場(chǎng)監(jiān)測(cè)誤差會(huì)導(dǎo)致DTM過早或過晚觸發(fā)。不必要地過早觸發(fā)DTM會(huì)使芯片低性能運(yùn)行；而延遲觸發(fā)DTM則可能導(dǎo)致芯片的溫度過高，甚至導(dǎo)致芯片失效。因此，精確監(jiān)測(cè)芯片溫度場(chǎng)對(duì)于保障芯片運(yùn)行性能和可靠性十分必要。

在實(shí)際應(yīng)用中，受芯片資源限制，只允許少量溫度傳感器布置在被監(jiān)測(cè)芯片上。因此，如何通過有限數(shù)量的溫度傳感器精確地獲得溫度場(chǎng)信息成為研究熱點(diǎn)[6-7]。文獻(xiàn)[8]利用奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理，通過頻域傅里葉分析技術(shù)實(shí)現(xiàn)了多核處理器的溫度場(chǎng)重構(gòu)，研究證明溫度場(chǎng)在頻域表現(xiàn)為稀疏性，所謂稀疏性即大部分?jǐn)?shù)據(jù)為零或者接近零，非零數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為稀疏度。文獻(xiàn)[9]通過離散余弦變換在頻域分析溫度場(chǎng)先驗(yàn)信息，并利用頻域信號(hào)能量特性提出了溫度傳感器布局與溫度場(chǎng)重構(gòu)策略，相比于傅里葉變換，離散余弦變換在頻域具有更好的能量集中性。文獻(xiàn)[10]在頻域分析的基礎(chǔ)上，通過改進(jìn)Voronoi圖構(gòu)建算法來提高溫度場(chǎng)重構(gòu)精度。在頻域下，溫度場(chǎng)信號(hào)主要集中在低頻區(qū)，因此基于頻域的溫度場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)在重構(gòu)溫度場(chǎng)時(shí)會(huì)忽略大部分高頻信號(hào)，這在一定程度上會(huì)造成重構(gòu)精度的降低。文獻(xiàn)[11]提出了基于壓縮感知的溫度場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)，利用溫度場(chǎng)頻域稀疏性并結(jié)合壓縮感知理論還原溫度場(chǎng)，但需要注意的是，根據(jù)壓縮感知理論當(dāng)溫度傳感器數(shù)量小于稀疏度時(shí)，重構(gòu)精度會(huì)降低。除了頻域法，文獻(xiàn)[12]提出了基于主成分分析法(principal component analysis, PCA)的溫度場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)，將溫度場(chǎng)用線性模型表示，但是線性模型為欠完備字典，會(huì)損失一部分信息。

本文提出一種基于稀疏字典學(xué)習(xí)的溫度場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)。首先利用溫度場(chǎng)先驗(yàn)信息訓(xùn)練字典，然后通過字典學(xué)習(xí)將溫度場(chǎng)進(jìn)行稀疏表示，并將溫度傳感器布局轉(zhuǎn)化為NP-hard問題，采用模擬退火算法求解傳感器位置，最后利用正交匹配追蹤算法重構(gòu)溫度場(chǎng)，提高溫度場(chǎng)重構(gòu)精度。

1 溫度場(chǎng)稀疏編碼

許多高性能芯片在不同工作條件下，產(chǎn)生的溫度場(chǎng)分布不同，在芯片設(shè)計(jì)階段可以得到溫度場(chǎng)分布的先驗(yàn)信息。通過對(duì)溫度場(chǎng)先驗(yàn)信息進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，可以將溫度場(chǎng)稀疏表示[13]。假設(shè)溫度場(chǎng)先驗(yàn)信息包含T個(gè)溫度場(chǎng)，對(duì)于1≤t≤T，溫度場(chǎng)ft是一個(gè)W×H的離散化數(shù)據(jù)矩陣，W、H分別代表溫度場(chǎng)寬和高方向的離散數(shù)據(jù)分辨率。記N=W×H，對(duì)于0≤n≤N-1，將溫度場(chǎng)矩陣ft轉(zhuǎn)換為向量表示：

式中，D稱為字典，D={d1,d2, ···,dK}，是由一組基向量組成的N×K矩陣，每個(gè)基向量稱為原子；K為原子個(gè)數(shù)，當(dāng)用于稀疏表示時(shí)，D為過完備字典，即K＞N；X={x1,x2, ···,xT}，是F的稀疏編碼，當(dāng)稀疏度為R時(shí)，X的每個(gè)列向量中只有R個(gè)非零值。

圖1 溫度場(chǎng)重構(gòu)過程

求解字典D為一個(gè)迭代過程，每次迭代需要完成稀疏編碼和字典更新兩個(gè)步驟，直到完成迭代次數(shù)，流程如圖2所示。

圖2 字典D的求解流程

稀疏編碼，即為已知字典D更新X的過程，采用逐列更新方式，對(duì)于X的第t列xt，以最小均方誤差作為原則，求解可以表示為：

式中，下角標(biāo)F代表Frobenius范數(shù)。由于ft、D及xt的稀疏度R均是已知的，可以利用正交匹配追蹤算法計(jì)算[14]。X的完整更新算法過程如下：

1) 已知字典D、先驗(yàn)信息F、稀疏度R；

2) 當(dāng)更新X的第t列，初始化：殘差r0=ft；索引集Φ = ?；i= 1；

3) 判斷：當(dāng)i≤R時(shí)進(jìn)行下一步，否則跳至步驟9)；

4) 求D每列與殘差ri-1的內(nèi)積，并從其中找出最大值對(duì)應(yīng)的位置λi，即：

5) 更新索引集Φ =Φ∪{λi}，根據(jù)索引集中的角標(biāo)位置從D中提取相應(yīng)位置列向量組成矩陣Di={dλ1,dλ2, ···,dλi}；

6) 根據(jù)最小二乘原理求得稀疏表示：

式中，符號(hào)“?”表示廣義逆矩陣運(yùn)算，即：

式中，符號(hào)“*”代表矩陣的共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

7) 更新殘差ri，ri=ft-Dixi；

8) 完成本次迭代，i=i+ 1，跳至第3)步；

9) 完成X的第t列更新，xt[Φ] =xi，跳至第2)步并重復(fù)步驟3)～8)，直至X的所有列更新完畢。

字典更新，即為已知X更新D的過程，逐個(gè)更新字典原子，對(duì)于D的第k個(gè)原子滿足最小二乘原則：

式中，xT表示X的行向量；上角標(biāo)j、k表示第j、k行；Ek代表更新第k個(gè)原子時(shí)對(duì)應(yīng)的殘差矩陣。此時(shí)可以利用奇異值分解求解dk。對(duì)Ek進(jìn)行奇異值分解，取左奇異矩陣的第1個(gè)列向量作為dk，取右奇異矩陣的第1個(gè)行向量與第1個(gè)奇異值的乘積作為xTk，則完成了對(duì)第k個(gè)原子的更新，同時(shí)更新了X。D的完整更新算法過程如下：

1) 已知原字典D，先驗(yàn)信息F，稀疏編碼X；

2) 更新第k個(gè)原子，找到xTk中非零元素的位置索引集合Λ；

3) 令dk= 0，并計(jì)算殘差矩陣：

6) 同時(shí)更新dk及xTk：

dk=U[:,1]xTk[Λ]=Σ[1,1]V[:,1]*

7) 跳至第2)步并重復(fù)步驟3)～6)，直至D的所有原子更新完畢。

完成圖2的流程后得到字典D，然后就可以利用字典D計(jì)算溫度傳感器位置，并實(shí)現(xiàn)溫度場(chǎng)重構(gòu)。

2 傳感器分配與溫度場(chǎng)重構(gòu)

如圖1所示，根據(jù)溫度傳感器數(shù)據(jù)計(jì)算出X。對(duì)于s個(gè)溫度傳感器，溫度傳感器的位置記為L(zhǎng)={l1,l2, ···,ls}，可以得到：

溫度傳感器的位置會(huì)影響X的解算精度?？紤]實(shí)際溫度傳感器的采樣噪聲以及X的求解誤差，式(6)的表達(dá)式調(diào)整為：

式中，δ為隨機(jī)噪聲；ε為求解誤差。對(duì)式(7)進(jìn)行分析可以得到如下關(guān)系：

根據(jù)式(8)，求解誤差ε的大小被矩陣DS的條件數(shù)Cond2(DS)限制，因此，選出s個(gè)溫度傳感器位置，使Cond2(DS)最小就能使求解誤差最小。從N個(gè)位置中選出最優(yōu)的s個(gè)位置，這是NP-hard問題。本文采用模擬退火算法求解該NP-hard問題[15]。為了不使X的求解變?yōu)椴贿m定問題，溫度傳感器數(shù)量s與稀疏度R應(yīng)滿足s＞R，同時(shí)矩陣DS的秩應(yīng)不小于R，即rank(DS) ≥R。傳感器位置完整更新算法過程如下：

1) 已知字典D；

2) 初始化模擬退火參數(shù)：初始溫度Tin，終止溫度Tstop，溫度衰減指數(shù)γ，內(nèi)循環(huán)次數(shù)M；

3) 隨機(jī)生成s個(gè)位置L和Lc，分別為最優(yōu)解和當(dāng)前解，如果rank(DS)≥R且rank(DSc)≥R，則分別計(jì)算DS和DSc的條件數(shù)C和Cc，否則重復(fù)該步驟；

4) 令初始溫度T=Tin，開始模擬退火，當(dāng)T＜Tstop時(shí)，跳至第11)步；

5) 執(zhí)行內(nèi)循環(huán)，完成步驟6)～9)M次；

8) 生成隨機(jī)數(shù) θ∈(0,1)，計(jì)算Metropolis準(zhǔn)則概率：

10) 更新當(dāng)前溫度T，T= γT，跳至第4)步；

3 實(shí) 驗(yàn)

圖3 實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)中，TTC包含225個(gè)基本單元即傳感器備選位置為225個(gè)，每個(gè)溫度場(chǎng)離散為W×H= 15×15的二維矩陣，相應(yīng)的溫度場(chǎng)分辨率N= 225。先驗(yàn)信息由300個(gè)溫度場(chǎng)組成，T= 300。在進(jìn)行字典學(xué)習(xí)時(shí)，選取的字典原子個(gè)數(shù)K= 250。利用有限數(shù)量溫度傳感器重構(gòu)溫度場(chǎng)的性能，對(duì)比溫度傳感器數(shù)量s= 7, 9, ···, 17, 19時(shí)重構(gòu)溫度場(chǎng)與先驗(yàn)信息之間的平均誤差、均方誤差和誤報(bào)率。

平均誤差Eavg，即溫度場(chǎng)重構(gòu)誤差的平均值，其值越低表示重構(gòu)精度越高，定義為：

均方誤差EMSE，即溫度場(chǎng)重構(gòu)誤差平方的平均值，其值越低表示重構(gòu)精度越高，定義為：

誤報(bào)率(false alarm rate, FAR)，定義為漏報(bào)或虛假緊急情況所占的比例[16]。漏報(bào)表明實(shí)際溫度已經(jīng)達(dá)到DTM的報(bào)警閾值，但重構(gòu)溫度卻低于該值；虛假緊急情況表明實(shí)際溫度尚未達(dá)到報(bào)警閾值，但重構(gòu)溫度已高于該值。FAR越低意味著溫度場(chǎng)重構(gòu)精度越高，表達(dá)式為：

式中，F(xiàn)t表示第t個(gè)溫度場(chǎng)中發(fā)生誤報(bào)的次數(shù)。這里選取的閾值為50 ℃。

使用性能變化的相對(duì)率對(duì)比不同方法的性能，定義為：

式中，X1、X2分別表示方法1、方法2的X性能，本文中X包括Eavg、EMSE和FAR。

將Voronoi圖方法[10]、K-LSE方法[11]、PCA方法[12]與本文提出的方法進(jìn)行比較，結(jié)果如圖4～圖6所示?？梢钥闯觯?種方法的溫度場(chǎng)重構(gòu)精度隨溫度傳感器數(shù)量的增加而提升。表1列舉了不同方法的平均重構(gòu)性能，本文提出的方法在Eavg、EMSE和FAR方面均優(yōu)于Voronoi圖和K-LSE方法。相比Voronoi圖方法，Eavg、EMSE和FAR平均提升了1.5 ℃、9.7和10.5%，相對(duì)提升了39.6%、46.7%和36.2%；相比K-LSE方法，Eavg、EMSE和FAR平均提升了0.9 ℃、5.4和7.3%，相對(duì)提升了28.5%、32.7%和28.3%。

表1 不同方法性能對(duì)比

圖4 不同方法Eavg對(duì)比

圖6 不同方法FAR對(duì)比

相比PCA方法，本文方法Eavg、EMSE和FAR平均提升了0.2 ℃、0.8和1.6%，相對(duì)提升了6.8%、6.4%和8.1%，稍優(yōu)于PCA方法，但隨著溫度傳感器數(shù)量的增加，本文方法重構(gòu)性能更加優(yōu)越。上述結(jié)果表明，本文提出的方法重構(gòu)溫度場(chǎng)更精確。

圖5 不同方法EMSE對(duì)比

鑒于芯片設(shè)計(jì)階段的算法均離線實(shí)現(xiàn)，因此溫度場(chǎng)重構(gòu)完成時(shí)間主要由芯片工作階段的算法運(yùn)行時(shí)間決定。為了比較不同方法的收斂速度和計(jì)算量，將不同算法的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行對(duì)比。所有方法均在上位機(jī)運(yùn)行，上位機(jī)配置為：Core i7-9700處理器；3.00 GHz主頻；16.00 GB內(nèi)存，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。Voronoi圖方法由于需要進(jìn)行數(shù)次域變換，算法的運(yùn)算時(shí)間最長(zhǎng)。本文方法與K-LSE方法的運(yùn)算時(shí)間接近，略高于PCA方法。綜合考慮重構(gòu)精度及運(yùn)算時(shí)間，本文方法更具有優(yōu)勢(shì)。

圖7 不同方法運(yùn)算時(shí)間對(duì)比

下面分析使用本文方法時(shí)，稀疏度R的設(shè)置對(duì)重構(gòu)精度的影響。實(shí)驗(yàn)設(shè)定溫度傳感器數(shù)量s=15，然后對(duì)比R從5變化到14時(shí)溫度場(chǎng)的重構(gòu)性能，結(jié)果如圖8所示。隨著稀疏度R增加，溫度場(chǎng)重構(gòu)精度呈上升趨勢(shì)。這是由于稀疏度的增加意味著使用了更多的字典原子，可以還原的溫度場(chǎng)細(xì)節(jié)隨之增多。需要注意的是，R接近s時(shí)，性能的提升不再明顯。另一方面，考慮到R的增加也會(huì)導(dǎo)致稀疏編碼X求解時(shí)迭代次數(shù)的增加，這會(huì)加重計(jì)算負(fù)擔(dān)。所以R應(yīng)避開較大和較低值，綜合考慮設(shè)定適中值。

圖8 稀疏度影響的分析

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文提出了一種基于稀疏字典學(xué)習(xí)的溫度場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)。通過字典學(xué)習(xí)方法將溫度場(chǎng)先驗(yàn)信息稀疏編碼，然后用模擬退火算法計(jì)算溫度傳感器位置分布，利用正交匹配追蹤算法計(jì)算稀疏編碼，從而實(shí)現(xiàn)溫度場(chǎng)重構(gòu)。結(jié)果表明，相較基于頻域分析的方法，本文提出的方法能夠提高溫度場(chǎng)重構(gòu)精度，同時(shí)占用較低的運(yùn)算時(shí)間，具有更優(yōu)越的溫度場(chǎng)重構(gòu)性能。