趙 娜，柴焰明，尹春林，楊 政，王 劍，蘇 適

(1. 云南大學(xué)軟件學(xué)院 昆明 650091；2. 云南大學(xué)軟件學(xué)院軟件工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 昆明 650091；3. 云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院 昆明 650217；4. 昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院 昆明 650504)

隨著社會(huì)和科技的發(fā)展，現(xiàn)實(shí)中各事物的聯(lián)系越來越多，這些聯(lián)系都可以用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來描述。隨著這些關(guān)系變得錯(cuò)綜復(fù)雜，逐漸產(chǎn)生了兩個(gè)甚至多個(gè)系統(tǒng)之間的聯(lián)系，形成相互依存網(wǎng)絡(luò)。為衡量相互依存網(wǎng)絡(luò)在級(jí)聯(lián)失效過程中的魯棒性，需要一個(gè)能準(zhǔn)確衡量魯棒性的測(cè)度指標(biāo)。目前大部分網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究都直接采用攻擊后最大連通子圖比例作為魯棒性指標(biāo)，該指標(biāo)雖能較合理反映網(wǎng)絡(luò)魯棒性，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)也因適用性和準(zhǔn)確性的問題而常被詬病。此外，目前大多數(shù)魯棒性指標(biāo)都是針對(duì)單一網(wǎng)絡(luò)，專門針對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性評(píng)價(jià)指標(biāo)的探討卻較少。因此，有必要對(duì)常用魯棒性指標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確性和適用性的探討，并對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)進(jìn)行分析，提出新的相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)。

本文對(duì)幾個(gè)常用的具有代表性的魯棒性指標(biāo)進(jìn)行分析，針對(duì)一般相依網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效過程，提出了最大連通子圖相對(duì)效能比的魯棒性度量指標(biāo)。通過相互依存網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型的攻擊實(shí)驗(yàn)表明，相比于現(xiàn)有常用指標(biāo)，該指標(biāo)能更準(zhǔn)確地衡量相依網(wǎng)絡(luò)在級(jí)聯(lián)失效過程中的魯棒性變化，在大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)中具有明顯優(yōu)勢(shì)，可適用于相依網(wǎng)絡(luò)中基于仿真的魯棒性分析。

1 研究現(xiàn)狀

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究最初起源于2000年。文獻(xiàn)[1]最先提出以最大連通子圖和平均最短距離作為魯棒性指標(biāo)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒性進(jìn)行研究，在國(guó)內(nèi)外引起了廣泛關(guān)注。目前大部分的文獻(xiàn)都采用最大連通子圖及其變形來度量網(wǎng)絡(luò)的魯棒性(如網(wǎng)絡(luò)攻擊前后最大連通子圖規(guī)模比例、連通子圖個(gè)數(shù)等)，并且以網(wǎng)絡(luò)的攻擊實(shí)驗(yàn)作為研究魯棒性的主要方式。文獻(xiàn)[2]從網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的角度，提出用自然連通度作為魯棒性指標(biāo)來分析使用不同方式給網(wǎng)絡(luò)增邊后對(duì)魯棒性的影響。文獻(xiàn)[3]將自然連通度指標(biāo)放入網(wǎng)絡(luò)攻擊實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[4]對(duì)自然連通度做了優(yōu)化，提出基于禁忌搜索以及網(wǎng)絡(luò)效率權(quán)衡優(yōu)化模型的方法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)魯棒性。文獻(xiàn)[5]提出了一種提高復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)魯棒性方法，使用連通度、失效節(jié)點(diǎn)比例、網(wǎng)絡(luò)效率等多個(gè)魯棒性度量指標(biāo)，并在車載自組織網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行應(yīng)用分析。文獻(xiàn)[6]基于MapReduce框架的網(wǎng)絡(luò)，給出了連通率和效率比兩個(gè)魯棒性指標(biāo)觀測(cè)不同攻擊策略下網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。文獻(xiàn)[7]從點(diǎn)韌性度的角度設(shè)計(jì)了一個(gè)基于粒子群的網(wǎng)絡(luò)魯棒性計(jì)算的改進(jìn)算法。文獻(xiàn)[8]從攻擊方式的角度提出了介度熵魯棒性度量方法，驗(yàn)證了介度中心性的攻擊方式優(yōu)于傳統(tǒng)攻擊方式。文獻(xiàn)[9]則以圖熵的角度構(gòu)建介度熵指標(biāo)，依據(jù)馮諾依曼熵提出了子圖信息熵和H信息熵的魯棒性指標(biāo)。文獻(xiàn)[10]就譜圖論，采用Kirchhoff指數(shù)衡量網(wǎng)絡(luò)魯棒性以尋找并獲取網(wǎng)絡(luò)中較為穩(wěn)定的邊界。

相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究最早開始于2010年。文獻(xiàn)[11]基于滲流理論構(gòu)建了級(jí)聯(lián)故障滲流模型，并對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[12]使用小世界網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，研究了由不同類型網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相依網(wǎng)絡(luò)在目標(biāo)攻擊和隨機(jī)攻擊下的魯棒性。文獻(xiàn)[13]指出相依網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)間的相依方式有同配相依(度數(shù)相近)、異配相依(度數(shù)相差較大)、隨機(jī)相依3種，并使用BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)模型研究不同相依方式下耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性能的影響。文獻(xiàn)[14]就相依網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象，構(gòu)建了基于負(fù)載重分配的級(jí)聯(lián)失效模型，以相依邊的負(fù)載作為耦合強(qiáng)度來探究耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)魯棒性與耦合強(qiáng)度并非單調(diào)性關(guān)系。文獻(xiàn)[15]改進(jìn)了傳統(tǒng)負(fù)載級(jí)聯(lián)失效模型，重新定義了節(jié)點(diǎn)失效條件，并使用介數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)相依方式的界定因素，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)魯棒性與網(wǎng)絡(luò)間相依方式、耦合強(qiáng)度和重要節(jié)點(diǎn)密切相關(guān)，且影響程度不同。文獻(xiàn)[16]綜合了以上研究結(jié)果，在基于負(fù)載的相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究中，將相依方式整理為7種，其中包括從度相關(guān)和介數(shù)相關(guān)來構(gòu)建同配異配相依方式，甚至是度和介數(shù)混合相依，同時(shí)將節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載定義為在度相關(guān)和介數(shù)相關(guān)之間可線性變換的方式。文獻(xiàn)[17]針對(duì)異質(zhì)弱相依的相依網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行魯棒性研究，其中考慮到節(jié)點(diǎn)失效后其相依節(jié)點(diǎn)的所有連接邊不會(huì)全部失效，而是以一個(gè)概率失效，且每個(gè)邊失效的概率也不同，研究得出網(wǎng)絡(luò)魯棒性與網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)程度正相關(guān)。文獻(xiàn)[18]研究了多重非對(duì)稱相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，發(fā)現(xiàn)在該網(wǎng)絡(luò)模型中，具有多重相依關(guān)系的層會(huì)存在混合相變，而沒有多重相依關(guān)系的另一層只出現(xiàn)一階相變。

縱觀以上研究可以發(fā)現(xiàn)，以上研究所采用的魯棒性指標(biāo)幾乎都是最大連通子圖比例及其變形，且已有的對(duì)魯棒性指標(biāo)的討論也都是針對(duì)單一網(wǎng)絡(luò)，而針對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)的討論很少。此外，在相依網(wǎng)絡(luò)研究中，大部分都過于依賴單一網(wǎng)絡(luò)的思想，導(dǎo)致魯棒性指標(biāo)也采用單一網(wǎng)絡(luò)的指標(biāo)而沒有考慮其在相依網(wǎng)絡(luò)中的適用性。因此，本文針對(duì)一般相依網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效過程，提出了新的魯棒性度量指標(biāo)，目的在于使魯棒性指標(biāo)更好地適用于相依網(wǎng)絡(luò)且具有較高準(zhǔn)確性。

2 相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效模型

2.1 相依網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

為了使研究更具代表性，同時(shí)降低研究的復(fù)雜性，本文只考慮由兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相依網(wǎng)絡(luò)，且根據(jù)一對(duì)一相依關(guān)系來構(gòu)建相依網(wǎng)絡(luò)模型。

根據(jù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，相依網(wǎng)絡(luò)一般用基于圖論的數(shù)學(xué)模型來表示[16]。單個(gè)網(wǎng)絡(luò)用圖G(V,E)來表示，其中V是圖中所有節(jié)點(diǎn)的集合，E是圖中所有邊的集合。對(duì)于兩層相依網(wǎng)絡(luò)，其子網(wǎng)絡(luò)分為網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B，分別記為GA(VA,EA)和GB(VB,EB)。為了描述相依網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)間的相依關(guān)系，需額外構(gòu)建矩陣來表示網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)相依邊的鄰接矩陣。則相依網(wǎng)絡(luò)可以表示為GAB(GA,GB,EAB,EBA)，其中EAB、EBA是網(wǎng)絡(luò)A與網(wǎng)絡(luò)B之間相依關(guān)系的鄰接矩陣，設(shè)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為NA=m,NB=n，則以EAB為 例可表示為規(guī)模m×n的矩陣：

式中，ei,j表示網(wǎng)絡(luò)A中節(jié)點(diǎn)i與網(wǎng)絡(luò)B中節(jié)點(diǎn)j的相依關(guān)系，若存在相依關(guān)系，ei,j=1，否則ei,j=0。

2.2 級(jí)聯(lián)失效模型的構(gòu)建

級(jí)聯(lián)失效是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的一種典型的故障傳播模式。網(wǎng)絡(luò)中，在一個(gè)或部分節(jié)點(diǎn)因故障失效后，會(huì)通過相依關(guān)系使相依節(jié)點(diǎn)發(fā)生失效，進(jìn)而引發(fā)其他節(jié)點(diǎn)接連失效，產(chǎn)生級(jí)聯(lián)效應(yīng)，最終導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)大面積崩潰甚至完全崩潰。本文采用一般相依網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)故障模型，根據(jù)此模型可以得出節(jié)點(diǎn)失效的情況如下：1) 節(jié)點(diǎn)受到隨機(jī)或蓄意的直接攻擊影響而失效；2) 一個(gè)節(jié)點(diǎn)的失效導(dǎo)致與其相依的節(jié)點(diǎn)失去了相依關(guān)系而失效；3) 隨著節(jié)點(diǎn)的失效導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中一些節(jié)點(diǎn)脫離了最大連通子圖，失去了與網(wǎng)絡(luò)大部分節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系，導(dǎo)致這些節(jié)點(diǎn)即使沒有被直接攻擊也會(huì)失效。

相依網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效過程如下：

1) 攻擊相依網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)或一定比例的節(jié)點(diǎn)，由于網(wǎng)絡(luò)的相依性，與該節(jié)點(diǎn)相依的節(jié)點(diǎn)也會(huì)失效(之后任何節(jié)點(diǎn)失效時(shí)都伴隨其相依節(jié)點(diǎn)失效)。

2) 檢查剩余網(wǎng)絡(luò)，如果有節(jié)點(diǎn)脫離了最大連通子圖，該節(jié)點(diǎn)也視為失效。

3) 如果在步驟2)中有節(jié)點(diǎn)失效，則重復(fù)步驟2)，否則級(jí)聯(lián)失效結(jié)束。

上述過程如圖1所示，其中，相依網(wǎng)絡(luò)由網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B構(gòu)成。假設(shè)對(duì)節(jié)點(diǎn)A5進(jìn)行攻擊，使A5失效，從網(wǎng)絡(luò)A中移除與A5相連的邊，則與其相依的節(jié)點(diǎn)B5因失去了相依關(guān)系而失效，從網(wǎng)絡(luò)B中移除與B5相連的連接邊，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到階段1的狀態(tài)。隨后，隨著A5的失效，節(jié)點(diǎn)A6脫離了網(wǎng)絡(luò)A的最大連通分量成為孤立節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致其與其他節(jié)點(diǎn)失去聯(lián)系而失效，對(duì)應(yīng)地其相依節(jié)點(diǎn)B6失效。同理節(jié)點(diǎn)B4成為孤立節(jié)點(diǎn)而失效，其相依節(jié)點(diǎn)A4失效。經(jīng)過以上級(jí)聯(lián)失效后最終形成階段2的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖1 相依網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效過程

3 相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)構(gòu)建

在基于仿真的魯棒性分析中，網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊后，主要關(guān)注的是其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和連通性的變化。當(dāng)前研究中最常用的最大連通子圖比例和網(wǎng)絡(luò)效能比指標(biāo)也是基于這一思想。本文針對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)，在最大連通子圖比例和網(wǎng)絡(luò)效能比的基礎(chǔ)上，考慮相依網(wǎng)絡(luò)每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)在攻擊前后相對(duì)于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連通性，提出了新的基于最大連通子圖相對(duì)效能比的相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)，來衡量相依網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效過程中網(wǎng)絡(luò)魯棒性變化狀況。

3.1 常用魯棒性指標(biāo)定義

定義1 攻擊后網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖比例F

攻擊后網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖比例是目前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究中最常用的指標(biāo)，指攻擊后網(wǎng)絡(luò)中最大連通子圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)量與整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比值：

式中，N′表示網(wǎng)絡(luò)受攻擊后最大連通子圖中的剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)量；N表示整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。該指標(biāo)反映了網(wǎng)絡(luò)遭受攻擊后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。

定義2 網(wǎng)絡(luò)效能比EM

網(wǎng)絡(luò)效能是一個(gè)量化節(jié)點(diǎn)間連通性和通信效率的魯棒性指標(biāo)，為網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間最短路徑距離的倒數(shù)的平均值。由于節(jié)點(diǎn)間最短路徑又稱為測(cè)地線，因此網(wǎng)絡(luò)效能也可以稱為反測(cè)地線距離[7]。對(duì)網(wǎng)絡(luò)效能E的定義如下：

式中，Ei和Ec分別為攻擊前和攻擊后的網(wǎng)絡(luò)效率。按照性質(zhì)可知，網(wǎng)絡(luò)效能比EM越大，則網(wǎng)絡(luò)魯棒性越好。

3.2 最大連通子圖相對(duì)效能比

級(jí)聯(lián)失效過程中，網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點(diǎn)在失效時(shí)，并非將該節(jié)點(diǎn)從網(wǎng)絡(luò)中完全移除，而是使其失去所有連接邊，以孤立節(jié)點(diǎn)的形式存在于網(wǎng)絡(luò)中。根據(jù)這一點(diǎn)可知，設(shè)N表示整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，N′表示網(wǎng)絡(luò)受攻擊后最大連通子圖中的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，則網(wǎng)絡(luò)在攻擊前后N是不變的，而N′逐漸減少，若攻擊后網(wǎng)絡(luò)完全崩潰，則網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)均為孤立節(jié)點(diǎn)，不存在最大連通子圖，即N′=0。根據(jù)級(jí)聯(lián)失效模型和滲流理論可知，只有當(dāng)節(jié)點(diǎn)在最大連通子圖中時(shí)，才能夠保持正常運(yùn)作，而節(jié)點(diǎn)脫離了最大連通子圖時(shí)，會(huì)因失去與網(wǎng)絡(luò)大部分節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系而失去正常工作的能力導(dǎo)致失效[16]。而網(wǎng)絡(luò)效能始終以整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的角度來衡量網(wǎng)絡(luò)的連通性，這會(huì)將已經(jīng)失效的孤立節(jié)點(diǎn)也一并納入衡量，無(wú)法準(zhǔn)確得知最大連通子圖在級(jí)聯(lián)失效過程中的變化情況。因此，本文結(jié)合級(jí)聯(lián)失效過程中網(wǎng)絡(luò)全局和最大連通子圖的變化情況，給出最大連通子圖相對(duì)效能LRE (largest-component relative efficiency)的定義，并進(jìn)一步提出最大連通子圖相對(duì)效能比LREM(largest-component relative efficiency measurementratio)。

對(duì)于一個(gè)網(wǎng)絡(luò)n中的最大連通子圖，其網(wǎng)絡(luò)效能E′表示為：

和網(wǎng)絡(luò)效能同理，為了對(duì)比攻擊前后的效果，對(duì)LRE進(jìn)行歸一化處理，形成最大連通子圖相對(duì)效能比LREM指標(biāo)，按以下公式計(jì)算：

式中， LREi和 LREc分別為攻擊前和攻擊后的LRE值。與EM同理，LREM越大，表示網(wǎng)絡(luò)魯棒性就越強(qiáng)。

4 仿真分析

本文在相依網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行級(jí)聯(lián)失效模型仿真，通過觀察在不同的相依網(wǎng)絡(luò)上各魯棒性指標(biāo)的表現(xiàn)，來驗(yàn)證這些指標(biāo)在相依網(wǎng)絡(luò)中的魯棒性度量是否合理且準(zhǔn)確。

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)定

為了使實(shí)驗(yàn)更具代表性和直觀性，本文參照現(xiàn)實(shí)中常用的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，設(shè)定仿真實(shí)驗(yàn)構(gòu)建的相依網(wǎng)絡(luò)模型由BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型和WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型兩兩相互連接構(gòu)建而成，構(gòu)成BA-BA、BAWS、WS-WS相依網(wǎng)絡(luò)模型，其中BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型是參照文獻(xiàn)[19]提出的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)演化算法構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型，WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型則是遵循文獻(xiàn)[20]提出的小世界網(wǎng)絡(luò)演化算法來構(gòu)建的模型。設(shè)定每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=1000，BA網(wǎng)絡(luò)遵循BA(N,m=2)， WS網(wǎng) 絡(luò) 遵 循 WS(N,K=4,p=0.5)，則顯然對(duì)于相依網(wǎng)絡(luò)，平均度 〈k〉=4。兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)間的相依方式為按照度數(shù)差的大小添加相依邊，分為同配相依(AL)、隨機(jī)相依(RL)和異配相依(DL)3種相依方式。相應(yīng)地，攻擊方式采用全網(wǎng)高度數(shù)蓄意攻擊方式，從整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中攻擊度數(shù)最高的數(shù)量比例為p的節(jié)點(diǎn)，并規(guī)定一個(gè)完全崩潰閾值pc為使網(wǎng)絡(luò)恰好完全崩潰時(shí)的p值。攻擊全過程遵循2.2節(jié)中所述級(jí)聯(lián)失效模型。所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果均為實(shí)驗(yàn)20次后取平均值，進(jìn)行對(duì)比的魯棒性指標(biāo)分別為網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖比例F、網(wǎng)絡(luò)效能比EM和最大連通子圖相對(duì)效能比LREM。

4.2 仿真結(jié)果分析

圖2為BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)模型下攻擊比例為p的節(jié)點(diǎn)各魯棒性指標(biāo)的變化情況?？梢钥闯?，在高度數(shù)蓄意攻擊下，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)會(huì)顯得非常脆弱。最壞的情況為在相依方式為異配相依，攻擊比例p=0.3左右時(shí)網(wǎng)絡(luò)就完全崩潰(F=0)，即pc≈0.3。而同配相依的pc≈0.46時(shí)網(wǎng)絡(luò)才會(huì)完全崩潰，隨機(jī)相依則介于同配相依與異配相依之間。結(jié)合F指標(biāo)可得出，BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)在全網(wǎng)蓄意攻擊下，同配相依時(shí)魯棒性最好，異配相依時(shí)魯棒性最差。根據(jù)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)特性，每個(gè)節(jié)點(diǎn)更傾向于與度數(shù)大的節(jié)點(diǎn)相連接，則網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)大的節(jié)點(diǎn)會(huì)凝聚在一起。另外，魯棒性指標(biāo)EM和LREM的表現(xiàn)與F相似，隨著p的增加，EM和LREM都在逐漸減小，最終網(wǎng)絡(luò)完全崩潰時(shí)，EM=LREM=0。網(wǎng)絡(luò)破壞程度較小時(shí)，相比F，LREM減小最快，EM其次，且它們的值明顯比F小，即LREM＜EM＜F，這說明網(wǎng)絡(luò)中從LREM體現(xiàn)的魯棒性比F和EM更弱；而在網(wǎng)絡(luò)接近崩潰時(shí)，EM和LREM基本接近于0，此時(shí)減小幅度放緩，但存在一個(gè)pm值 (pm＜pc)，使得當(dāng)p∈(pm,pc)時(shí)LREM會(huì)略微大于EM。這是因?yàn)镋M是面向相依網(wǎng)絡(luò)整體進(jìn)行計(jì)算，而LREM是對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖進(jìn)行計(jì)算并取平均值，則在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，相依網(wǎng)絡(luò)整體的效能要低于每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的平均效能。因此可以看出，相比F和EM，LREM對(duì)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性的變化更加敏感，并在規(guī)模較大的網(wǎng)絡(luò)中對(duì)魯棒性的衡量具有較大優(yōu)勢(shì)。

圖2 BA-BA相依網(wǎng)絡(luò)蓄意攻擊下的魯棒性

圖3為BA-WS相依網(wǎng)絡(luò)模型下攻擊比例為p的節(jié)點(diǎn)各魯棒性指標(biāo)的變化情況。可以看出，3種相依方式體現(xiàn)的魯棒性在p＜0.1時(shí)幾乎相同，但在p＞0.1以后發(fā)生分歧，和BA-BA網(wǎng)絡(luò)同樣表現(xiàn)為同配相依時(shí)魯棒性最好(pc≈0.6)，異配相依時(shí)魯棒性最差(pc≈0.4)。此外，3個(gè)指標(biāo)的表現(xiàn)與BA-BA網(wǎng)絡(luò)的基本相同，區(qū)別在于EM和LREM的差距較小。WS網(wǎng)絡(luò)的度分布較為均勻，沒有度數(shù)明顯高的節(jié)點(diǎn)，因此在全網(wǎng)高度數(shù)蓄意攻擊下容易先從BA網(wǎng)絡(luò)攻擊。同理，BA網(wǎng)絡(luò)在大規(guī)模的蓄意攻擊下，相依網(wǎng)絡(luò)會(huì)迅速崩潰，但由于WS網(wǎng)絡(luò)的存在使得網(wǎng)絡(luò)的崩潰程度不及BA-BA網(wǎng)絡(luò)。

圖3 BA-WS相依網(wǎng)絡(luò)蓄意攻擊下的魯棒性

圖4為WS-WS相依網(wǎng)絡(luò)模型下攻擊比例為p的節(jié)點(diǎn)各魯棒性指標(biāo)的變化情況。可以看到，無(wú)論哪種相依方式都有pc＞0.8，即網(wǎng)絡(luò)完全崩潰的攻擊比例都在0.8以上。由于相依網(wǎng)絡(luò)中不含有BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，所以相較于含有BA網(wǎng)絡(luò)的相依網(wǎng)絡(luò)來說，無(wú)論什么相依方式都比上述兩種類型的相依網(wǎng)絡(luò)模型抵御蓄意攻擊而產(chǎn)生的級(jí)聯(lián)故障的能力要強(qiáng)。這說明了WS-WS相依網(wǎng)絡(luò)模型具有很強(qiáng)的魯棒性，同時(shí)體現(xiàn)了WS小世界網(wǎng)絡(luò)抵御蓄意攻擊能力較強(qiáng)的特性。從指標(biāo)來看，在WS-WS網(wǎng)絡(luò)下，LREM的表現(xiàn)與之前相比發(fā)生了變化，在網(wǎng)絡(luò)破壞程度較小時(shí)有LREM的值大于EM的情況出現(xiàn)。再結(jié)合圖2和圖3的結(jié)果，可以看出，在較為脆弱的網(wǎng)絡(luò)中，LREM對(duì)魯棒性的反映比EM更小，在較為健壯的網(wǎng)絡(luò)中則更大。這并不意味著LREM的敏感性在較為健壯的網(wǎng)絡(luò)中不如EM，而是說明LREM能更細(xì)致地凸顯網(wǎng)絡(luò)魯棒性的強(qiáng)弱程度，也能看出LREM更加敏感。

圖4 WS-WS相依網(wǎng)絡(luò)蓄意攻擊下的魯棒性

綜合以上結(jié)果可以得出，在全網(wǎng)蓄意攻擊下，含有BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的相依網(wǎng)絡(luò)的抵抗能力會(huì)減弱，同時(shí)同配相依時(shí)魯棒性較好，異配相依時(shí)魯棒性較差。在指標(biāo)的表現(xiàn)上，本文提出的最大連通子圖相對(duì)效能比LREM能夠正確反映相依網(wǎng)絡(luò)在級(jí)聯(lián)失效過程中的魯棒性變化情況，且任何情況下隨著網(wǎng)絡(luò)的逐漸破壞，LREM的值始終小于最大連通子圖比例F，即魯棒性的減少程度明顯大于F。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)效能比EM，網(wǎng)絡(luò)破壞程度較小時(shí)，在較為脆弱的網(wǎng)絡(luò)中(如BA-BA網(wǎng)絡(luò))LREM小于EM，在較為健壯的網(wǎng)絡(luò)中(如WS-WS網(wǎng)絡(luò))則大于EM；在網(wǎng)絡(luò)接近崩潰時(shí)，由于子網(wǎng)絡(luò)連通性強(qiáng)于相依網(wǎng)絡(luò)整體連通性導(dǎo)致LREM會(huì)略微大于EM。由此表明，相比于現(xiàn)有常用指標(biāo)最大連通子圖比例F和網(wǎng)絡(luò)效能比EM，本文提出的最大連通子圖相對(duì)效能比LREM對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)中魯棒性的變化更加敏感，尤其在規(guī)模較大以及結(jié)構(gòu)相對(duì)脆弱的網(wǎng)絡(luò)中優(yōu)勢(shì)更大，能更準(zhǔn)確細(xì)致地衡量相依網(wǎng)絡(luò)在級(jí)聯(lián)失效過程中的魯棒性變化，適合大規(guī)模相依網(wǎng)絡(luò)中的魯棒性度量。

5 結(jié) 束 語(yǔ)

本文針對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合現(xiàn)有常用的最大連通子圖比例和網(wǎng)絡(luò)效能比指標(biāo)，綜合考慮每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)在攻擊前后網(wǎng)絡(luò)全局和最大連通子圖的連通性，提出了一個(gè)結(jié)合了最大連通子圖比例和網(wǎng)絡(luò)效能的魯棒性度量指標(biāo)—最大連通子圖相對(duì)效能比LREM，并在BA-BA、BA-WS、WS-WS相依網(wǎng)絡(luò)模型下與現(xiàn)有常用指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比研究。研究發(fā)現(xiàn)，最大連通子圖相對(duì)效能比LREM相比于現(xiàn)有常用指標(biāo)能更精確地衡量相依網(wǎng)絡(luò)在級(jí)聯(lián)失效過程中的魯棒性變化，尤其在規(guī)模較大以及結(jié)構(gòu)相對(duì)脆弱的相依網(wǎng)絡(luò)中具有明顯優(yōu)勢(shì)，是一個(gè)評(píng)估相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性變化的合理度量指標(biāo)。

本文為保證研究的代表性，主要針對(duì)兩層一對(duì)一相依網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行魯棒性研究，而在現(xiàn)實(shí)的相依網(wǎng)絡(luò)中還會(huì)存在很多非對(duì)稱的相依關(guān)系，如部分相依、有向相依、一對(duì)多或多對(duì)多相依等，并且可能會(huì)出現(xiàn)更多層的網(wǎng)絡(luò)以及節(jié)點(diǎn)或邊帶權(quán)等情況，需要綜合考慮的因素較多。因此，在未來的工作中需要將LREM魯棒性指標(biāo)放入更加實(shí)際的應(yīng)用環(huán)境中進(jìn)行驗(yàn)證，綜合考慮各種因素改進(jìn)LREM指標(biāo)，使其具有更加準(zhǔn)確的度量效果。

本文研究工作還得到昆明市衛(wèi)健委項(xiàng)目(2020-09-04-112)的資助，在此表示感謝。