紀剛 李宗威 周其斗

摘要： 對圓柱殼采取不等間距加筋配置將導致其振動在通頻帶局域化，從而可實現(xiàn)對圓柱殼結構振動進行控制。將加筋圓柱殼模型的振動等效為耦合振子鏈的振動，利用耦合振子鏈的無序局域化因子理論公式定量預報不等間距加筋圓柱殼的無序局域化因子：與耦合振子鏈等效的圓柱殼振動參數(shù)由基于有限元結合波數(shù)分析技術所獲得的加筋圓柱殼色散曲線給出;與耦合振子鏈等效的圓柱殼無序參數(shù)由圓柱殼彎曲波動理論和統(tǒng)計理論給出。在給出不等間距加筋圓柱殼無序局域化因子的基礎上，開展了無序局域化因子影響規(guī)律的研究。針對不等間距加筋圓柱殼實例的數(shù)值分析表明，利用不等間距加筋配置來實現(xiàn)圓柱殼結構振動局域化控制具有可行性，所采取的無序局域化因子預報方法具有有效性。

關鍵詞： 結構振動; 振動衰減; 加筋圓柱殼; 無序結構; 局域化

中圖分類號： O327; U661.44; V214.3+6? ? 文獻標志碼： A? ? 文章編號： 1004-4523（2021）03-0592-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.017

引? 言

加筋圓柱殼是工程結構中廣泛使用的結構形式，如：潛艇耐壓殼結構、飛機艙室結構等。傳統(tǒng)的加筋圓柱殼采用環(huán)向筋沿圓柱殼軸向等間距布置，具有周期性結構特征：相鄰的兩個加強筋之間的部分沿圓柱殼軸向周期復制，因此，結構振動控制領域通常關注等間距加筋圓柱殼的振動特性[1?5]。當加強筋間距為隨機分布時，原結構成為無序非周期結構，即不等間距加筋圓柱殼。不等間距加筋圓柱殼是本文研究的重點。

有限長等間距加筋圓柱殼振動的典型特性是具有“模態(tài)聚集”現(xiàn)象[4]：圓柱殼的自然頻率聚集在某些頻帶，這些頻帶稱為“通頻帶”，圓柱殼受激振動時，整體振動的峰值頻率聚集于通頻帶，通頻帶模態(tài)密度大;通頻帶之間為“止頻帶”，模態(tài)密度小，整體振動能量小?！澳B(tài)聚集”現(xiàn)象是周期結構振動的典型特征[5?8]，解釋為[9]：由于加強筋處存在阻抗的不一致，兩個加強筋之間的部分可能形成局部模態(tài)。在通頻帶，局部模態(tài)將沿圓柱殼軸向自由無衰減傳播，形成模態(tài)傳導波;在止頻帶，模態(tài)傳導波只能沿殼體軸向呈指數(shù)衰減傳播。在有限長等間距加筋圓柱殼中，模態(tài)傳導波傳播時會在邊界反射，特定頻率下，傳導波和反射波波長同圓柱殼長度滿足相協(xié)條件，從而可疊加形成模態(tài)和自然頻率。由于模態(tài)傳導波僅能在通頻帶自由無衰減傳播，因此有限長等間距加筋圓柱殼的自然頻率將聚集在通頻帶。從振動控制角度看，應當盡可能使激振頻率處于止頻帶，此時振動能量因不能遠距離傳播而被局限于振源附近，即振動被“局域化”。

當加強筋采取不等間距布置時，結構將不存在嚴格意義的通頻帶[10]：在所有頻帶內(nèi)，振動傳遞隨傳播距離的增加而呈指數(shù)衰減，表現(xiàn)為振動局域化特征。振動局域化效應是無序非周期結構的典型特征，它與波在無序結構中的隨機散射相關：由于無序結構的單元屬性具有隨機、無序分布特征，因而模態(tài)傳導波在傳播過程中會產(chǎn)生無序散射，即使在通頻帶，能量也會因反射作用而被限制于激振源附近。從振動波形的空間分布上看，結構無序性所帶來的振動局域化效果類似于結構中因存在阻尼而形成的振動局域化效果，但無序局域化并非由能量耗散引起，因而結構無序化設計是一種通過結構設計控制振動傳播的措施。不等間距加筋是無序結構設計的典型案例，開展不等間距加筋圓柱殼的振動局域化研究對工程振動控制設計具有重要的意義。

無序局域化現(xiàn)象首次由Anderson在研究電子傳播規(guī)律時發(fā)現(xiàn)[11]，在晶體中摻入雜質后，電子傳播能力下降。Hodges等利用無限耦合振子鏈和帶振子的無限弦鏈模型證實在結構動力學領域中也存在無序局域化效應[10，12]。無序結構所導致的振動局域化程度可采用局域化因子定量表述，它定量給出了傳播量沿傳播方向的指數(shù)衰減率[10，12?14]。

Hodges等[12]采取量級展開的方法給出了局域化因子的近似表達式，表明局域化因子同耦合?無序度之比相關。Pierre等針對有限彈簧振子耦合擺模型從模態(tài)分析層面解釋了無序結構所導致的振動局域化效應，說明了振動局域化效應在模態(tài)上體現(xiàn)為局部模態(tài)，并給出了振動強局域化發(fā)生的條件[15?18]。在理論分析方法上，這些文獻多采用波動分析法，因為這些模型都是一維波傳播模型，動力學表達比較簡單，容易通過解析分析并定量給出局域化因子，從而判斷無序局域化的發(fā)生。為針對加筋板、殼模型這類二維振動問題開展無序局域化研究，Photiadis采取“將二維振動問題分解為在一個方向的振動模式沿另一個方向傳播”的分析方式實現(xiàn)“降維”[19?20]。由于板、殼結構控制方程較彈簧振子鏈、梁模型更為復雜，因此Photiadis的主要工作量在于理論推導和工程近似表達上，結果表明，板、殼結構模型同彈簧振子耦合擺模型等一維波傳播模型的控制方程具有類比性。

在試驗研究方面，典型的例子包括：Hodges等[12]開展了具有帶質量的張緊弦受激振動試驗，測量了周期質量分布和無序質量分布系統(tǒng)中振動的衰減因子，證實了質量無序分布將導致振動局域化。Bouzit等[21]利用多跨梁激振試驗進一步驗證了局域化在無序結構中的可發(fā)生性。Photiadis等采用聲全息技術（NAH）測量了等間距和不等間距加筋圓柱殼的受激振動場，并通過波形分析與參數(shù)辨識技術給出了不等間距加筋模型的局域化因子，結果表明不等間距加筋模型的局域化因子明顯大于等間距加筋模型的局域化因子，證實了局域化主要來源于無序加強筋布置[22]。試驗研究的主要困難在于如何有效分離阻尼對無序局域化的干擾。

本文將針對以常規(guī)潛艇耐壓殼為原型結構的有限長加筋圓柱殼開展振動無序局域化研究，重點獲取不等間距加筋圓柱殼振動的無序局域化因子，并以此為基礎開展無序局域化因子的影響規(guī)律研究。為定量預報不等間距模型的無序局域化因子，對加筋圓柱殼開展了有限元分析和波數(shù)分析，為獲取等效耦合振子鏈參數(shù)，將加筋圓柱殼的徑向振動等效為耦合振子鏈振動;基于圓柱殼彎曲波動理論和統(tǒng)計理論給出等效的耦合振子鏈無序程度參數(shù);最后利用耦合振子鏈的無序局域化因子理論公式預報不等間距加筋圓柱殼模型的無序局域化因子。由于所采用的有限元技術、波數(shù)分析技術均為成熟技術，因而能規(guī)避針對加筋圓柱殼進行復雜解析分析的困難，對類似問題的工程化應用具有指導意義。本文的分析基于數(shù)值仿真模型給出，可有效排除試驗分析中阻尼對無序局域化的干擾，有關結論可為實際工程結構振動控制設計提供支撐。

1 耦合振子鏈的無序局域化因子

耦合振子鏈的無序局域化因子將用于支撐對加筋圓柱殼的無序局域化因子預報。耦合振子鏈如圖1所示，當耦合彈簧剛度kc=0時，系統(tǒng)退化為系列獨立解耦的彈簧振子系統(tǒng)，各振子的質量均為m，第i個振子的對地彈簧剛度為ki=ks+εi，εi是小參數(shù)，代表了各對地彈簧剛度在平均剛度ks基礎上的擾動值。當耦合彈簧剛度kc≠0時，整個耦合系統(tǒng)的動力關系可表達為遞歸形式[23]

式中? xi代表第i個振子質量的位移復數(shù)幅值，ω為圓頻率，i為振子序號索引，i∈（-∞，+∞），Xi=（xi-1，xi）T（上標“T”代表求轉置）表征了第i個單元的狀態(tài)，它由第i-1個振子和第i個振子的位移復數(shù)幅值共同表征，第i個單元的狀態(tài)通過狀態(tài)傳遞矩陣Ti變換為第i+1個單元的狀態(tài)。

文獻[23?25]對該問題進行了深入研究，主要結論為：

當各對地彈簧剛度ki相同，即εi=0，ki=ks時，系統(tǒng)是周期系統(tǒng)，此時，當圓頻率ω處于通頻帶內(nèi)時，系統(tǒng)對輸入的能量能以不衰減的波的形式沿系統(tǒng)傳播，其中波數(shù)k和圓頻率ω滿足色散關系

若對地彈簧剛度受到不規(guī)則擾動，即i≠0，則系統(tǒng)是無序非周期系統(tǒng)，此時系統(tǒng)對輸入的能量將以指數(shù)衰減形式沿系統(tǒng)傳播。記第1個振子的能量為B1，傳播至第N個振子時的能量為BN，則

式中? γN稱為局域化因子，它反映了非周期無序系統(tǒng)相鄰單元對輸入能量的平均指數(shù)衰減率。針對N→∞情形，文獻[23?25]給出了局域化因子的近似表達式

式中? 是各獨立解耦彈簧振子的固有頻率。對于非周期無序系統(tǒng)，服從均勻概率分布，概率密度函數(shù)為

式中? D為的散布范圍，是的標準方差。式（6）說明，無序局域化因子同耦合系數(shù)V，及（或D）相關。

2 加筋圓柱殼模型與耦合振子鏈模型的參數(shù)等效

本節(jié)將針對不等間距加筋圓柱殼的徑向振動進行局域化因子預報，給出利用耦合振子鏈局域化因子公式（6）預報加筋圓柱殼局域化因子的方法，為此，需要給出加筋圓柱殼同耦合振子鏈等效的參數(shù)V，及。

2.1 加筋圓柱殼模型

加筋圓柱殼模型如圖2所示。圓柱殼主尺度、板厚、環(huán)向加強筋及后續(xù)預報中使用的材料參數(shù)如表1所示。

對等間距加筋圓柱殼，加強筋沿殼體軸向等間距布置，相鄰加強筋間距a為常數(shù)，記作，=0.6 m。對不等間距加筋圓柱殼，加強筋總數(shù)不變，但每個加強筋的軸向位置將受不規(guī)則擾動而布置，擾動量服從均勻概率分布，第r個加強筋軸向具體位置xr滿足概率密度函數(shù)

式中? P（xr）是隨機變量xr的概率密度函數(shù)，Δx為輸入?yún)?shù)，反映了加強筋受不規(guī)則擾動的程度。由于每個加強筋位置xr是隨機變量，因此相鄰加強筋間距也是隨機變量，文獻[22]證明，隨機變量a的均值仍為，標準方差為。

為開展等間距和不等間距加筋圓柱殼振動局域化分析，都需對模型激振。后續(xù)有限元計算中，激振力以徑向、簡諧點力方式在圓柱殼中部（第50號加強筋處）激振，圓柱殼自由懸浮，如圖2所示。通過變換不同的激振頻率參數(shù)，可以獲得不同激振頻率的結果。

2.2 等間距加筋圓柱殼模型振動參數(shù)的等效

首先針對等間距加筋圓柱殼模型進行激振頻率響應有限元分析，可獲得圓柱殼的徑向振動速度場，記作v（?，x，f），為圓柱殼軸向位置x、周向位置?和頻率f的函數(shù)。

徑向速度場將用于波數(shù)分析。波數(shù)分析技術的基本思路是[2?3]：對每一頻率f=ω/（2π），將圓柱殼的徑向振動場分解為系列行進波疊加，用公式表示為

式中? 和給出了各行進波分量的復數(shù)幅值，每一分量的頻率、軸向波數(shù)、周向模式和對稱模式由f，kx，n和上標“cos”、“sin”表示。和具體計算為

則W（n，kx，f）為頻率f下，有截面周向模式n和軸向波數(shù)kx的行進波分量所具有的振動能量。若將W（n，kx，f）對kx積分

則En（f）給出了給定頻率f下圓柱殼截面以周向模式n振動的總能量。此外，還可給出“給定周向振動模式n下的截面振動能量沿軸向的分布”，表達式為

利用W（n，kx，f）可針對各離散的n繪制“行進波分量振動能量?軸向波數(shù)?頻率”色譜圖（即Wn?kx?f色譜圖），利用該色譜圖可給出等間距加筋圓柱殼的色散曲線，反映截面以n模式振動時，振動能量沿軸向傳播的頻率特性。

圖3是針對n=5時給出的Wn?kx?f色譜圖，圖中具有因振動能量較大而呈現(xiàn)的“亮色曲線”，這些曲線即為圓柱殼截面以n=5模式振動時，振動能量沿軸向傳播的色散曲線?！傲辽€”來源于共振，與殼體模態(tài)和自然頻率相關。文獻[9]表明，當有限媒質中的自由行進波在邊界反射并滿足協(xié)調條件時，將會形成模態(tài)和自然頻率現(xiàn)象，由于自由行進波的傳播必需滿足色散關系，因此，圖3中的“亮色曲線”對應于色散曲線。對加筋圓柱殼，只有在通頻帶才具有自由行進波，所以由“亮色曲線”反映的色散曲線給出了通頻帶范圍。

通常對給定周向模式，色散曲線不止一根，說明圓柱殼具有多個通頻帶，它來源于相鄰加強筋之間殼體的不同軸向振動模式，如圖3所示，這類似于周期多跨梁中的波傳遞特性[26]。

利用色散曲線可獲得加筋圓柱殼的等效耦合振子鏈振動參數(shù)：將加筋圓柱殼的某一根色散曲線視作等效耦合振子鏈的色散曲線，利用式（2）可辨識給出等效的V和參數(shù)。對某一具體通頻帶，若其上、下限頻率為ω+=2πf+和ω-=2πf-，則相應的等效參數(shù)為：

式中? Δω=ω+-ω-（或Δf=f+-f-）為通頻帶的帶寬。該做法稱之為單通帶假定[22] ，其本質是將加筋圓柱殼在不同通頻帶的振動分別等效為耦合振子鏈的振動，加筋圓柱殼的通頻帶中心頻率即為解耦彈簧振子的固有頻率，等效耦合度與通頻帶帶寬和通頻帶中心頻率相關。

為保證參數(shù)等效的操作精度，還將給出“圓柱殼截面以周向模式n振動的總能量隨頻率的變化”曲線（即En?f曲線）。圖4給出了當n=5時的En?f曲線，從該曲線可更清晰地判斷通頻帶的中心頻率和通頻帶帶寬。

2.3 不等間距加筋圓柱殼模型振動參數(shù)等效與局域化因子預報

當圓柱殼加強筋軸向位置受不規(guī)則擾動布置時，不等間距加筋圓柱殼成為非周期無序系統(tǒng)。后續(xù)將結合圓柱殼彎曲波動理論進一步獲得等效耦合振子鏈模型的，進而利用式（6）預報給定周向模式下的軸向傳播波局域化因子。

將相鄰加強筋間的部分等效為彈簧振子單元，對本文所選取參數(shù)的圓柱殼模型，可以合理假定解耦單元的固有頻率是加強筋間距的單值函數(shù)

其中，最后兩個“≈”利用了ωi（a）和在平均間距處的泰勒展開近似。

為求dω0/da，首先利用鏈式求導法給出

為求dkx/da，假定在特定的通頻帶內(nèi)，軸向波在一個加強筋間距a內(nèi)傳播的相位變化為常數(shù)C，即kxa=C，則

dω0/dkx是圓柱殼中沿軸向的群速度分量cgx，它與圓柱殼中螺旋波群速度cgh的關系為[9]：cgx=cghcosθ，θ是螺旋波與軸向的夾角（螺旋角）;圓柱殼螺旋波群速度與相速度的關系為[9]：cgh=2cph=2ω0/kh，cph是圓柱殼螺旋波相速度，kh為圓柱殼螺旋波彎曲波數(shù)，kh與軸向波數(shù)kx的關系為[9]：kx=khcosθ;以上關系可以給出

可見，局域化因子與通頻帶中心頻率ω0（或f0）、通頻帶帶寬Δω（或Δf）、加強筋布置的不規(guī)則程度和激振頻率ω（或f）等參數(shù)相關。它是通過統(tǒng)計理論給出的結果，反映了具有相同統(tǒng)計參數(shù)的、大量不等間距加強筋圓柱殼模型的平均衰減規(guī)律，給出了用于局域化振動控制的圓柱殼加筋布置設計方向。

3 不等間距加筋圓柱殼的局域化因子預報結果與規(guī)律分析

為了定量給出局域化因子，針對以圖1模型為基礎生成的、具有不同加強筋布置參數(shù)的不等間距加筋圓柱殼進行了局域化因子預報。

首先針對等間距加筋圓柱殼模型進行參數(shù)等效。為獲取波數(shù)頻率譜，以1 Hz為步長，針對2?1200 Hz進行了等間距加筋圓柱殼的激振頻率響應有限元分析，然后進行波數(shù)分析，分別針對n=0，1，…，30階周向模式給出Wn?kx?f色譜圖和En?f曲線，用于識別色散曲線，進而利用式（14）獲得各通頻帶等效參數(shù)和V。圖5和6分別給出了典型周向模式下的Wn?kx?f色譜圖和與之對應的En?f曲線。由圖可見，當n較大時，不同通帶的區(qū)分度更為鮮明，這是由于n較大的振動具有更高的模態(tài)聚集度。

在獲得各通頻帶等效參數(shù)V和（或）后，分別以給定的加強筋布置不規(guī)則程度參數(shù)為輸入，利用式（24）進行局域化因子預報。圖7給出了n=20時，的局域化因子在第Ⅰ，Ⅱ通頻帶隨頻率變化的曲線，利用該圖可直接由周向模式n和頻率f讀取對應的局域化因子值。由圖可見，在特定的通頻帶，局域化因子隨頻率變化不大;在不同通頻帶，局域化因子數(shù)值不同，更高頻率的通頻帶局域化因子具有更大值，即圓柱殼給定模式的截面振動沿軸向衰減更快，局域化效應更顯著。

圖8給出了當n=20時，在第Ⅰ，Ⅱ通頻帶中，對局域化因子的影響規(guī)律：局域化因子由它在各通頻帶的平均值給出，圖中以曲線的形式給出了5%，10%，20%，40%的“通頻帶平均局域化因子”。由圖可見，無論在哪個通頻帶，越大將導致“通頻帶平均局域化因子”越大。

圖9給出了“通頻帶平均局域化因子”隨周向模式n的變化規(guī)律。圖中以散點的形式給出了當10%時、各周向模式下的通頻帶平均局域化因子。對給定的周向模式n，可能會存在多個通頻帶，因此會具有多個不同的“通頻帶平均局域化因子”。文獻[20，22]曾得出結論：高階周向振動模式容易產(chǎn)生更為顯著的局域化效應，該結論可從圖9的結果得以驗證：隨著周向模式n的增加，通頻帶平均局域化因子通常更大。該結論結合公式（6）可以間接說明，圓柱加筋單元之間的相對耦合強度是隨周向模式n的增加而降低的。

4 不等間距加筋圓柱殼的局域化效果驗證

為驗證不等間距加筋布置帶來的振動局域化效果，以不同的為參數(shù)建立了不等間距加筋圓柱殼模型實例，對之進行了振動分析，并與等間距加筋圓柱殼模型的結果進行了對比。參數(shù)分別為5%，10%，20%和40%，具體實例的加強筋位置可在等間距模型的基礎上利用基于式（8）的隨機函數(shù)程序給出。

圖10給出了當周向模式n=25時，等間距與不等間距模型的色譜圖。由圖可見，在激振源截面處（第50號加強筋位置處）的振動能量最大。對等間距模型（即），當激振頻率在通頻帶時，振動能量可傳遞至整個殼體，從而在云圖中形成“亮帶”，亮帶的寬度即為通頻帶帶寬。對不等間距模型，不等間距加強筋布置導致了通頻帶局域化特征，該特征隨著值的增大而表現(xiàn)更為顯著。圖11對比了周向振動模式n=25、激振頻率為590 Hz時的振動能量軸向分布曲線和理論衰減線。由圖可見，理論衰減線是傾斜直線，斜率即為局域化因子值。采用有限元模型給出的振動能量軸向分布曲線具有空間震蕩特征，但理論衰減線依然能很好地描述振動能量沿軸向的衰減規(guī)律。

5 結? 論

本文以加筋圓柱殼為研究對象，給出了預報不等間距加筋圓柱殼振動局域化因子的方法，開展了不等間距加筋圓柱殼的局域化因子規(guī)律研究，驗證了預報方法的正確性。具體結論如下：

1.采用有限元分析結合波數(shù)分解技術獲得等間距加筋圓柱殼振動的色散曲線，采用參數(shù)等效手段將加筋圓柱殼的振動參數(shù)等效為耦合振子鏈的振動參數(shù)，基于圓柱殼彎曲波動理論和統(tǒng)計理論給出不等間距加筋圓柱殼的無序度參數(shù)，進而利用耦合振子鏈模型的局域化因子公式預報給出不等間距加筋圓柱殼的振動局域化因子。該方法有效規(guī)避了對加筋圓柱殼模型進行復雜的解析分析，實現(xiàn)了對加筋圓柱殼開展無序局域化定量分析的工程化應用。

2.對不等間距加筋圓柱殼局域化因子的預報結果分析表明：無序局域化因子的數(shù)值在特定的通頻帶內(nèi)隨頻率變化不大，近似為常數(shù);不同通頻帶的局域化因子數(shù)值不同，更高頻率的通頻帶所對應的局域化因子具有更大值;局域化因子同加強筋布置的不規(guī)則程度相關，越不規(guī)則將導致“通頻帶平均局域化因子”越大;周向模式階數(shù)越高，將導致局域化因子越大。

3.通過不等間距加強筋圓柱殼的實例分析證實了“采用不等間距加強筋設計來實現(xiàn)加筋圓柱殼振動局域化”的可行性，驗證了本文所采取的局域化預報方法和所得規(guī)則的正確性。

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作者簡介： 紀? 剛（1975-），男，副研究員。電話：（027）65461152; E-mail： 909092586@qq.com