李 哲 彭 鵬 黃海生

1(西安郵電大學(xué)電子工程學(xué)院 陜西 西安 710121)2(延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 陜西 延安 716000)

0 引 言

隨著無(wú)人機(jī)技術(shù)的發(fā)展，路徑規(guī)劃[1]成為研究熱點(diǎn)，眾多學(xué)者提出了一系列路徑規(guī)劃方法?；趫D形的方法如Voronoi圖法[2]和基于勢(shì)場(chǎng)的方法如人工勢(shì)場(chǎng)法[3-4]，按照路徑搜索方法可以分為決策型搜索方法如A*算法[5]、D*算法和隨機(jī)型搜索方法如粒子群優(yōu)化算法[6]、蟻群優(yōu)化算法[7]、進(jìn)化算法[8]、快速擴(kuò)展隨機(jī)樹(shù)法[9]，以及多種方法的組合應(yīng)用[10-11]?；诹黧w計(jì)算的SIMPLEC法借鑒流體流動(dòng)的性質(zhì)進(jìn)行路徑規(guī)劃，但只是將障礙物區(qū)域設(shè)為邊界(即第二類邊界條件)，沒(méi)有對(duì)可飛行區(qū)域風(fēng)險(xiǎn)程度進(jìn)行區(qū)分。流體法的主要計(jì)算方法有數(shù)值法[12-13]和解析法[14-17]，數(shù)值法適合全局路徑規(guī)劃，運(yùn)算量較大，解析法能適合局部快速路徑規(guī)劃，但是綜合環(huán)境因素能力較差。

為了解決人工勢(shì)場(chǎng)、SIMPLEC法等傳統(tǒng)勢(shì)場(chǎng)法綜合復(fù)雜環(huán)境因素能力弱的問(wèn)題，提出建立磁導(dǎo)率線性過(guò)渡帶的方法。在將障礙物設(shè)為邊界區(qū)域的基礎(chǔ)上，對(duì)可飛行區(qū)域根據(jù)飛行任務(wù)設(shè)置不同的相對(duì)磁導(dǎo)率(簡(jiǎn)稱為磁導(dǎo)率)以更好地綜合環(huán)境信息能力，建立障礙物、興趣區(qū)域、飛行限定高度磁導(dǎo)率過(guò)渡帶模型，將起點(diǎn)設(shè)為高磁勢(shì)點(diǎn)，將目標(biāo)點(diǎn)設(shè)為低磁勢(shì)點(diǎn)，再利用有限元分析法生成全局磁場(chǎng)方向進(jìn)行路徑規(guī)劃，最后對(duì)生成路徑進(jìn)行評(píng)估檢測(cè)。

1 磁場(chǎng)特點(diǎn)和路徑規(guī)劃

人工磁場(chǎng)法利用現(xiàn)存磁場(chǎng)特性進(jìn)行路徑規(guī)劃，用到的磁場(chǎng)為無(wú)源磁場(chǎng)[19]。以下是無(wú)源磁場(chǎng)和路徑規(guī)劃相關(guān)性質(zhì)的論證，包括連通性、避障性、邊界突變性。

1.1 連通性

磁場(chǎng)連通性是指磁感線總是從高磁勢(shì)點(diǎn)指向低磁勢(shì)點(diǎn)，且磁通密度B在磁導(dǎo)率不發(fā)生突變的情況下總是連續(xù)變化的，則穿過(guò)閉合曲面S的磁通量ψ為:

ψ=∮SB·dS

(1)

對(duì)式(1)應(yīng)用散度定理：

(2)

式中：V為閉合曲面S所包圍的體積，穿過(guò)一個(gè)封閉面S的磁通量等于離開(kāi)這個(gè)封閉曲面的磁通量，即磁通線永遠(yuǎn)是連續(xù)的。路徑規(guī)劃的目的是從出發(fā)點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)規(guī)劃出一條路徑，磁感線的閉合性和連續(xù)性符合這個(gè)特點(diǎn)。

1.2 避障性

依據(jù)磁屏蔽效應(yīng)，磁場(chǎng)邊界和空穴處磁場(chǎng)分布符合齊次諾曼邊界條件。在邊界和空穴處，磁勢(shì)下降方向垂直于交界面，n為法向單位向量，磁勢(shì)下降方向和交界面法方向關(guān)系如下：

(3)

式中：Vm為磁勢(shì)下降方向。

磁場(chǎng)方向垂直于磁勢(shì)下降方向，滿足路徑規(guī)劃中的避障要求。

1.3 邊界突變性

為了拓寬流體場(chǎng)理論在三維路徑規(guī)劃中的應(yīng)用，在非障礙物區(qū)域設(shè)置為不同磁導(dǎo)率的材料。不同磁導(dǎo)率區(qū)域交界處存在磁場(chǎng)方向突變的情況，磁導(dǎo)率突變邊界的磁場(chǎng)方向性質(zhì)如圖1所示。

圖1 磁導(dǎo)率突變邊界條件

由恒定磁場(chǎng)的兩個(gè)基本方程∮SB·dS=0和∮CH·dl=I，其中：dl為環(huán)路線元；I為環(huán)路電流?？傻玫酱艌?chǎng)的邊界條件：

(4)

式中：n為法向單位向量；t為切向單位向量；B1n和B2n分別為分界面兩側(cè)磁通密度的法向分量；H1t和H2t分別為分界面兩側(cè)磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。由式(4)知，在分界面處的磁通密度B的法向分量連續(xù)，無(wú)源磁場(chǎng)電流面密度JS=0，所以磁場(chǎng)強(qiáng)度H的切向分量連續(xù)，此時(shí)有：

(5)

由式(5)知，磁導(dǎo)率突變邊界有磁場(chǎng)方向突變情況，不利于產(chǎn)生平滑路徑，所以提出磁導(dǎo)率連續(xù)過(guò)渡帶方法。

2 人工磁場(chǎng)路徑規(guī)劃算法

2.1 環(huán)境建模

首先要進(jìn)行環(huán)境信息提取，在物理仿真軟件COMSOL上建立等比例的飛行場(chǎng)景模型，飛行區(qū)域和磁場(chǎng)內(nèi)容對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，提出了根據(jù)環(huán)境中障礙物、興趣區(qū)域、高度限定要求建立磁導(dǎo)率偏移模型，然后進(jìn)行網(wǎng)格劃分，計(jì)算每個(gè)網(wǎng)格單元的磁場(chǎng)方向，最后在MATLAB中迭代生成路徑。算法流程如圖2所示。

圖2 人工磁場(chǎng)路徑規(guī)劃算法流程

現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的障礙物或者興趣區(qū)域可簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方體、球體或其組合，故采用圖3所示模型闡述人工磁場(chǎng)算法流程。

圖3 示例模型

2.2 有限元分析求解

首先要對(duì)上述模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用Delaunay四面體網(wǎng)格劃分法把飛行區(qū)域網(wǎng)格化[18-20]，網(wǎng)格化后的飛行區(qū)域如圖4所示。

圖4 示例模型網(wǎng)格劃分

采用整型數(shù)組n(i,e)將單元編碼和節(jié)點(diǎn)編碼聯(lián)系起來(lái)。這里用i=1，2，3，4表示每一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，而e=1,2,3,M,其中M表示四面體單元總數(shù)。在n(i,e)中，存儲(chǔ)第e個(gè)單元中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的全局節(jié)點(diǎn)信息。每個(gè)四面體單元內(nèi)磁勢(shì)Ф近似為：

Фe(x,y,z)=ae+bex+cey+dez

(6)

將式(6)應(yīng)用到單元的四個(gè)節(jié)點(diǎn)上可以確定四個(gè)系數(shù)ae、be、ce、de和單元體積Ve。將第j個(gè)節(jié)點(diǎn)上所得系數(shù)回代式(6)可得：

(7)

式(7)中插值函數(shù)為：

(8)

靜磁場(chǎng)是以磁勢(shì)Ф表示的無(wú)源場(chǎng)，可列泛函數(shù)如下：

(9)

式中：S1表示第一類邊界面；S2表示第二類邊界面；Ф0為已知磁勢(shì)點(diǎn)。

將上述邊值問(wèn)題寫(xiě)為等價(jià)的泛函數(shù)極值問(wèn)題：

(10)

式中:M表示體單元總數(shù)。Fe由式(11)給出。

(11)

(12)

(13)

有了式(12)給出的單元方程后整合所有M個(gè)單元得到方程：

(14)

(15)

示例模型在z=0.15 km處磁場(chǎng)方向的大致分布如圖5所示。

圖5 磁場(chǎng)強(qiáng)度方向分布

2.3 飛行路徑生成

(1) 初始迭代方向選擇。磁場(chǎng)有限元分析法理論上會(huì)生成無(wú)數(shù)條磁通流線，出發(fā)方向的選擇對(duì)路徑的質(zhì)量影響較大，要選擇磁勢(shì)下降最快的方向，在一個(gè)以起點(diǎn)為球心、10 m為半徑的球面上檢測(cè)磁勢(shì)最低的點(diǎn)，以起點(diǎn)和球面上最低磁勢(shì)點(diǎn)的連線作為初始迭代方向。

(2) 迭代生成路徑。在確定好初始迭代方向后，從起點(diǎn)開(kāi)始迭代，沿著飛行器當(dāng)前所在單元的磁場(chǎng)方向He移動(dòng)步長(zhǎng)u，為了表示每一條路徑L的形式，設(shè)任意一條路徑中有n個(gè)節(jié)點(diǎn)(包括起始點(diǎn)和終點(diǎn))。

L=(p1,p2,…,pi,…,pn) 1≤i≤n,n≥2

(16)

式中：p1為起點(diǎn)坐標(biāo)；pn為終點(diǎn)坐標(biāo)；pi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。pi+1和pi的迭代關(guān)系如式(17)所示，從p1開(kāi)始迭代直到最新點(diǎn)和終點(diǎn)距離小于設(shè)定值。

(17)

(3) 路徑檢測(cè)。對(duì)所得路徑進(jìn)行無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)檢測(cè)，若不符合則調(diào)整模型參數(shù)，重新生成路徑直到生成路徑滿足要求為止。

2.4 路徑評(píng)估函數(shù)的建立

用相鄰兩路徑段pi-1pi和pipi+1夾角的余弦cosθi評(píng)估路徑平滑度，函數(shù)值越大路徑越平滑。路徑平滑度評(píng)價(jià)函數(shù)f1[21]為：

(18)

式中：n表示路徑節(jié)點(diǎn)數(shù)。

路徑風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估函數(shù)f2的建立。計(jì)算每一個(gè)路徑點(diǎn)pi到各個(gè)障礙物最近點(diǎn)的距離d和障礙物表面風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)V以評(píng)估路徑的風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算如式(19)所示，函數(shù)值越小路徑風(fēng)險(xiǎn)越小。

(19)

式中：m表示障礙物個(gè)數(shù)；n表示路徑節(jié)點(diǎn)數(shù)。

3 磁導(dǎo)率偏移模型

為了將不同障礙物危險(xiǎn)程度和飛行任務(wù)要求體現(xiàn)在磁場(chǎng)模型中，首先依據(jù)SIMPLEC流體場(chǎng)算法，將障礙物實(shí)體對(duì)應(yīng)為磁場(chǎng)中的空穴；其次對(duì)可飛行區(qū)域處理，對(duì)可飛行空間中各個(gè)位置設(shè)統(tǒng)一的較高磁導(dǎo)率，稱為基準(zhǔn)磁導(dǎo)率μs；然后分別對(duì)障礙物、興趣區(qū)域、飛行高度限定建立不同的磁導(dǎo)率偏移模型函數(shù)Δμ；最后將所有飛行區(qū)域組成部分的磁導(dǎo)率偏移模型函數(shù)Δμ疊加到基準(zhǔn)磁導(dǎo)率μs上，生成磁場(chǎng)方向以進(jìn)行路徑規(guī)劃。

3.1 障礙物磁導(dǎo)率偏移模型

在無(wú)人機(jī)飛行任務(wù)中，不同障礙物具有不同的危險(xiǎn)程度，比如某些山體有泥石流滑坡威脅。為了將這種危險(xiǎn)系數(shù)隨距離障礙物變化的情況加入到路徑規(guī)劃影響因素中，提出磁導(dǎo)率過(guò)渡帶障礙物模型，以過(guò)渡帶厚度(R1-R0)和風(fēng)險(xiǎn)程度V正比關(guān)系作為建模依據(jù)，障礙物風(fēng)險(xiǎn)越大，過(guò)渡帶厚度越大。建模時(shí)，障礙物內(nèi)部依舊對(duì)應(yīng)為磁場(chǎng)內(nèi)部空穴，在障礙物外部建立磁導(dǎo)率偏移過(guò)渡帶函數(shù)，以球型為例建立障礙物磁導(dǎo)率偏移模型函數(shù)Δμa：

(20)

式中：μ0表示空穴；r為自變量，代表當(dāng)前點(diǎn)距離球心的距離；μ1表示障礙物實(shí)體邊緣偏移磁導(dǎo)率；R0表示球形障礙物半徑；R1表示球形障礙物過(guò)渡帶半徑；Ω0為障礙物實(shí)體內(nèi)部；Ω1為障礙物外部過(guò)渡帶。過(guò)渡帶模型示意圖如圖所示6所示，圖中S和E點(diǎn)分別為出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)。

圖6 障礙物磁導(dǎo)率偏移模型

3.2 興趣區(qū)域磁導(dǎo)率偏移模型

在無(wú)人機(jī)飛行任務(wù)中，往往有些區(qū)域是飛行中的感興趣區(qū)域，路徑規(guī)劃需要經(jīng)過(guò)這些區(qū)域。以球形興趣區(qū)域?yàn)槔?，磁?dǎo)率偏移函數(shù)如下：

(21)

式中：μ3表示較高磁導(dǎo)率；R0表示興趣區(qū)域半徑；R1表示興趣區(qū)域磁導(dǎo)率過(guò)渡帶半徑；Ω2為興趣區(qū)域內(nèi)部；Ω3為興趣區(qū)域外部過(guò)渡帶。興趣區(qū)域模型磁場(chǎng)方向分布如圖7所示，可以看出，磁導(dǎo)率漸變過(guò)渡帶使磁場(chǎng)分布連續(xù)，不會(huì)出現(xiàn)突變情況，且對(duì)磁場(chǎng)分布的擾動(dòng)能力增強(qiáng)。

圖7 興趣區(qū)域模型流線

3.3 飛行高度限定磁導(dǎo)率偏移模型

根據(jù)飛行高度要求，將在限定高度之下建立磁導(dǎo)率線性過(guò)渡帶，將目標(biāo)高度之上設(shè)為低磁導(dǎo)率，以此建立了飛行高度限定磁導(dǎo)率偏移函數(shù)如下：

(22)

式中：z表示空間中某點(diǎn)的高度；h表示限定高度；μ4表示z>h位置的偏移磁導(dǎo)率；k表示磁導(dǎo)率從地面向高處的變化率。

3.4 模型重疊區(qū)域μ的處理

不同模型存在重疊情況，為了保證全局磁導(dǎo)率連續(xù)，就要保證磁導(dǎo)率分布的連續(xù)，在模型重疊區(qū)域做磁導(dǎo)率數(shù)值疊加處理，其中障礙物實(shí)體內(nèi)部不疊加保持空穴，疊加公式如下：

(23)

式中：l、m分別表示為障礙物、興趣區(qū)域數(shù)量。

4 綜合仿真和分析

4.1 飛行高度約束與避險(xiǎn)綜合仿真

為了人工磁場(chǎng)測(cè)試障礙物模型和飛行高度限定模型的綜合路徑規(guī)劃性能，進(jìn)行了若干組不同限定高度的避障對(duì)比實(shí)驗(yàn)，仿真環(huán)境設(shè)置I、II和II三個(gè)障礙物，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)V=0.1，其中：仿真一的限定高度為0.1 km；仿真二的限定高度為0.2 km；起點(diǎn)為(0,0.5,0) km；終點(diǎn)為(2,0.5,0) km；k=2 000。飛行環(huán)境信息見(jiàn)表1。

表1 障礙物和飛行限高綜合仿真飛行環(huán)境參數(shù)

仿真結(jié)果如圖8和表2所示，生成路徑在保證平滑度和距離障礙物保持安全距離的條件下分別實(shí)現(xiàn)了限高0.1 km和0.2 km的避障飛行任務(wù)，滿足飛行高度路徑長(zhǎng)度占比分別為79%和73%。

(a) 限高h(yuǎn)=0.1 km 3D視圖 (b) 限高h(yuǎn)=0.1 km 2D主視圖

表2 不同飛行高度限定仿真結(jié)果對(duì)比

4.2 算法對(duì)比

為測(cè)試障礙物模型和興趣區(qū)域中的綜合路徑規(guī)劃性能，分別使用SIMPLEC法、人工勢(shì)場(chǎng)法和人工磁場(chǎng)算法進(jìn)行路徑規(guī)劃。對(duì)于興趣區(qū)域，在實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)置I和II兩個(gè)圓柱形障礙物，預(yù)設(shè)障礙物I風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)V1=0.12大于障礙物II風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)V2=0.04，故設(shè)障礙物I的過(guò)渡帶大于障礙物II，過(guò)渡帶內(nèi)外邊緣偏移磁導(dǎo)率分別為Δμi和Δμo，III為圓柱形興趣區(qū)域，設(shè)起點(diǎn)為(0,0.5,0.15) km，終點(diǎn)為(2,0.5,0.15) km，飛行環(huán)境信息見(jiàn)表3。

表3 障礙物和興趣區(qū)域綜合仿真飛行環(huán)境組成

三組仿真結(jié)果見(jiàn)圖9和表4。可以看出三種方法均能規(guī)劃出從起點(diǎn)到終點(diǎn)且完成避障和興趣區(qū)域巡視的路徑規(guī)劃，人工磁場(chǎng)法的路徑平滑性能、興趣區(qū)域搜索性能、避險(xiǎn)性能比傳統(tǒng)SIMPLEC分別提高了4.6%、3.1%、21.01%，比人工勢(shì)場(chǎng)法分別提高了4.3%、47%、12.14%。

(a) SIMPLEC法3-D視圖 (b) SIMPLEC法平面俯視圖

表4 不同算法仿真結(jié)果對(duì)比

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種人工磁場(chǎng)的三維路徑規(guī)劃方法，該方法以人工磁場(chǎng)方向生成路徑，在建模過(guò)程中，在可飛區(qū)域根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)程度設(shè)立磁導(dǎo)率偏移模型。仿真證明了人工磁場(chǎng)算法能完成擴(kuò)大障礙物擾動(dòng)磁場(chǎng)、興趣區(qū)域搜索、定高飛行等復(fù)雜飛行任務(wù)，同時(shí)滿足路徑平滑和無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)約束。仿真數(shù)據(jù)表明：

(1) 人工磁場(chǎng)法可實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)勢(shì)場(chǎng)法不具備的飛行高度限定路徑規(guī)劃，路徑規(guī)劃均可保持70%以上路徑長(zhǎng)度滿足設(shè)定飛行高度。

(2) 人工磁場(chǎng)法在路徑平滑性能、興趣區(qū)域搜索性能、避險(xiǎn)性能上比傳統(tǒng)SIMPLEC法和人工勢(shì)場(chǎng)法更具優(yōu)勢(shì)，在路徑長(zhǎng)度方面與傳統(tǒng)SIMPLEC和人工勢(shì)場(chǎng)法相當(dāng)。其擴(kuò)展了勢(shì)場(chǎng)法在避險(xiǎn)路徑規(guī)劃與決策上的應(yīng)用，具有應(yīng)用價(jià)值。