王瑋，周肖飛，陳文斐，翟云飛

(1. 西安交通工程學(xué)院，陜西 西安710300；2. 陜西汽車控股集團有限公司，陜西 西安710200)

0 引言

在車輛耐久分析中，往往通過靜力學(xué)分析求解單位載荷作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，疊加道路載荷譜后形成應(yīng)力時間歷程曲線求解疲勞壽命。這種方法簡單直接，得到了大量的應(yīng)用[1]。也有將載荷譜直接加載到分析部件上，求解瞬態(tài)動力學(xué)響應(yīng)，以考察結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性對疲勞的影響，使疲勞結(jié)果更接近真實[2]。但采用瞬態(tài)方法往往帶來更多的計算量，在工程中需要一種能夠保證精度且更快速的分析手段。

在結(jié)構(gòu)安裝位置處布置加速度傳感器獲取載荷激勵，通過傅里葉變換(FFT)轉(zhuǎn)換為功率譜密度曲線(PSD)，然后通過隨機響應(yīng)分析估算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力范圍，進而計算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命[1]。這種方法計算效率較高，精度滿足需求，故而被廣泛應(yīng)用。但隨著車輛耐久試驗的復(fù)雜化，每次試驗往往包含多種路面工況，由于不同路面的激勵頻率和幅值都有所不同，該隨機過程無法用平穩(wěn)過程描述。因此在進行傅里葉變換時會對PSD幅值進行平均。

圖1為一個典型的車輛耐久試驗路譜，其中搓板路激勵的時間較長，頻率較低，幅值較小，而比利時路面激勵的時間極短，頻率較高，幅值極大。在這種情況下，直接的傅里葉變換會導(dǎo)致搓板路激勵和比利時路激勵在相同頻率時出現(xiàn)幅值平均，從而導(dǎo)致最終的損傷值偏低。

圖1 某路試加速度譜

本文提出了采用損傷等效原則的PSD生成方案，實現(xiàn)轉(zhuǎn)換前后載荷幅值和頻率的一致，為解決復(fù)雜路面激勵提供了一種解決方案。

1 基于FDS的PSD生成方案

1.1 處理流程

基于FDS的PSD生成，就是通過原始載荷譜計算損傷譜，再由損傷譜轉(zhuǎn)換為PSD譜。在轉(zhuǎn)換過程中必須遵守兩個原則：第一，必須保證轉(zhuǎn)換前后對結(jié)構(gòu)造成的疲勞損傷是一致的；第二，必須保證在轉(zhuǎn)換前后載荷的幅值是相同的。其轉(zhuǎn)換流程如圖2所示。

圖2 基于FDS的PSD譜生成流程

1.2 沖擊響應(yīng)譜

1932年，美國工程師Biot通過研究地震對相關(guān)結(jié)構(gòu)的損傷時發(fā)現(xiàn)：單自由度振子系統(tǒng)的響應(yīng)由其自然頻率主導(dǎo)，低于自然頻率的部分表現(xiàn)為準靜態(tài)效應(yīng)；超出自然頻率的部分隨著激勵頻率的增加會逐漸減弱；在自然頻率附近，結(jié)構(gòu)的振動幅值會大幅度增加。此時，其幅值大小由系統(tǒng)阻尼決定，動態(tài)響應(yīng)與靜態(tài)響應(yīng)的比值稱之為幅值比Q，當阻尼為0.05時，幅值比Q=10[3]，如圖3所示。

圖3 激勵頻率與加速度響應(yīng)的關(guān)系

將時域載荷譜與該頻率響應(yīng)函數(shù)相乘，得到在當前自然頻率下的時域響應(yīng)信號。采集該響應(yīng)信號的最大值，可描繪出結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)與自然頻率之間的關(guān)系曲線(此時只為一個點)，即為單自由度振子系統(tǒng)的響應(yīng)譜曲線(response spectrum, RS)

將其推廣到多自由度系統(tǒng)上，由于多自由度系統(tǒng)具有多個自然頻率，就需要重復(fù)上述分析過程，分別計算載荷譜在不同自然頻率下的最大響應(yīng)，將所有的最大響應(yīng)點相連，可獲得多自由度系統(tǒng)最大響應(yīng)與頻率的關(guān)系，即為沖擊響應(yīng)譜(shock response spectrum，SRS)。其計算流程如圖4所示。

圖4 沖擊響應(yīng)譜獲取流程

1.3 損傷譜的獲取

受沖擊響應(yīng)譜的啟發(fā)，Halfpenny提出了利用時域信號計算損傷譜的方法，將各個頻率下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)通過雨流計數(shù)統(tǒng)計，直接加載到S-N曲線上，可獲得載荷在各個頻率下的損傷值。在獲得某個自然頻率下的時域響應(yīng)曲線后，直接用該響應(yīng)曲線進行雨流統(tǒng)計，然后計算其累計損傷，即可得出損傷譜(fatigue damage spectrum，F(xiàn)DS)[4]，如圖5所示。

圖5 損傷譜獲取流程

其方法分為4個步驟：

1)將激勵信號加載在單自由度系統(tǒng)上，計算在某個自然頻率下的載荷時間歷程；

2)對該載荷時間歷程進行雨流計數(shù)，計算該頻率下的累計損傷；

3)多次重復(fù)前兩步操作，計算多個頻率下的累計損傷；

4)將損傷與頻率描繪在平面坐標系中，即為損傷譜。

損傷譜可以清晰地表達出在某個頻率下載荷對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的損傷值大小，可以更準確地反映出載荷對結(jié)構(gòu)的破壞能力。

1.4 極端響應(yīng)譜

對于時域載荷而言，沖擊響應(yīng)譜能夠清晰地給出結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)與頻率的關(guān)系，但在實際中，很多載荷都是隨機性的，使用PSD譜表達載荷分布更為準確。如何用類似與SRS的方式簡單地表達出結(jié)構(gòu)的最大響應(yīng)，1953年，Miles給出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方根值(RMS)與頻率的關(guān)系式[5]，假設(shè)激勵為高斯分布，則對于加速度而言

(1)

對于位移而言

(2)

其中：Q為幅值比；fn為結(jié)構(gòu)的自然頻率。

1978年，Lalanne通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，對于窄帶的激勵而言，其激勵分布更偏向于瑞利分布(rayleigh)，故需要將上式進行修正[6]，修正后的方程如式(3)和式(4)所示，對于加速度而言

(3)

對于位移而言

(4)

此即為極端響應(yīng)譜(extreme response spectrum, ERS)。

1.5 極端響應(yīng)譜的損傷曲線估計

2002年，Lalanne基于極端響應(yīng)譜的估計，提出了基于ERS的損傷曲線方程，使得可以直接從PSD曲線中獲取FDS[7]，其結(jié)構(gòu)如下：

(5)

其中：fn為結(jié)構(gòu)自然頻率；K為結(jié)構(gòu)剛度；C和b為材料疲勞參數(shù)；Γ為伽馬方程，其具體形式為

(6)

1.6 基于FDS的隨機譜合成

式(3)表示由PSD譜計算極端響應(yīng)譜的過程，式(5)表示極端響應(yīng)譜和損傷譜的關(guān)系，將兩方程進行反推，即可獲得從損傷譜計算極端響應(yīng)譜的方法。而損傷譜可直接將時域載荷譜通過雨流計數(shù)獲取。如此，就打通了從時域譜如何獲取PSD譜的全過程，但在這個流程中，需要考慮安全因子的影響。

安全因子可用載荷大小與材料疲勞強度的比值來表達：

(7)

實際工程中，施加在結(jié)構(gòu)上載荷往往表現(xiàn)出明顯的隨機性，由于材料的疲勞性能同樣存在隨機性，因此安全因子不僅要考慮載荷大小和疲勞強度，同時還需要考慮存活率的影響。

圖6中，x軸表示應(yīng)力大小，y軸表示出現(xiàn)概率。假設(shè)隨機載荷和材料疲勞強度均呈現(xiàn)高斯分布，那么兩條概率分布曲線的重合區(qū)域即為結(jié)構(gòu)在該隨機載荷作用下的失效率，非重合區(qū)域則為存活率。顯然兩者存在以下關(guān)系：失效率+存活率=1。

圖6 材料的失效率

對于高斯分布，安全因子與存活率可用下式表達：

(8)

其中：a′表示存活率；VR表示強度變化率；VE表示載荷變化率，其可用下式表達：

(9)

(10)

其中σR和σE分別是材料疲勞強度和載荷的標準差。

將式(5)反推并考慮安全因子的影響，可獲得從FDS求解PSD的方程

(11)

2 基于FDS的PSD隨機疲勞分析

某商用車電瓶箱結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7 某商用車電瓶箱示意圖

在約束位置加載幅值為1g的正弦波，計算頻率從1Hz～200Hz的掃頻響應(yīng)。圖8為521號單元在3個方向的頻率響應(yīng)曲線。

圖8 單元應(yīng)力頻響曲線

在電池包根部粘貼加速度傳感器，采集到根部的加速度載荷如圖9所示。

圖9 電瓶箱根部的加速度譜

由于路譜具有很強的隨機性，因此常采用隨機振動的方式計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)。對x方向的譜分別采用直接轉(zhuǎn)換的方式和FDS轉(zhuǎn)換的方式轉(zhuǎn)成PSD譜，如圖10所示。

圖10 兩種方式生成的PSD譜

可以看出，由于存在幅值的平均，采用傅里葉變換直接生成PSD譜的最大值明顯被削弱了，采用FDS轉(zhuǎn)換的方式計算出來的PSD譜在低頻段(3Hz以內(nèi))偏小，而在高頻段(10Hz以上)偏大，這是由于路譜在低頻段能量偏低但時間較長，在高頻段能量較大但時間偏短造成的。

在疲勞分析軟件中，分別加載直接轉(zhuǎn)換的PSD譜和采用本文方法轉(zhuǎn)換的PSD譜計算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，結(jié)果如圖11所示。

圖11 兩種載荷下電池包的壽命云圖

由圖11可知，采用兩種PSD譜計算的壽命分布趨勢基本一致，但量級上存在較大差異，采用直接轉(zhuǎn)換PSD譜計算的最小壽命為5.2×106次循環(huán)，采用本文方法計算的電池包壽命為2003次循環(huán)。鑒于該最小壽命往往出現(xiàn)在約束周邊的應(yīng)力集中位置，真實結(jié)果應(yīng)大于最小壽命，對結(jié)構(gòu)重點部位壽命進行采集，與試驗結(jié)果對比如表1所示。

表1 計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比 單位：次

由表1可知，采用本文方法轉(zhuǎn)換的PSD譜在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的損傷要遠大于直接轉(zhuǎn)換PSD譜的損傷，與實際試驗結(jié)果也比較吻合。

3 結(jié)語

在工程實際中，大多數(shù)路試路譜都很復(fù)雜，而且呈現(xiàn)出明顯的隨機性，采用傳統(tǒng)方法計算疲勞壽命需要對路譜進行分割，單獨計算各路段的三向損傷，然后將損傷進行線性疊加，這帶來了巨大的工作量。通過FDS進行PSD譜的轉(zhuǎn)換，可以大幅度縮減重復(fù)工作，并且保證轉(zhuǎn)換前后損傷的統(tǒng)一，對工程應(yīng)用有很大的幫助。