段永瑞 阮小曼 代祥艷

摘 要： 參照價(jià)格是指消費(fèi)者依據(jù)產(chǎn)品的歷史價(jià)格主觀形成的基準(zhǔn)價(jià)格。參照價(jià)格隨時(shí)間變化，且參照價(jià)格的變化與當(dāng)時(shí)的價(jià)格和參照價(jià)格有關(guān)。在雙渠道下，消費(fèi)者對不同的渠道具有不同偏好，且需求隨時(shí)間的變化與價(jià)格和參照價(jià)格有關(guān)。采用控制論方法，分別得到了單渠道和雙渠道結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)價(jià)格變化路徑，以及參照價(jià)格的變化路徑，并得出如下結(jié)論：1）穩(wěn)態(tài)價(jià)格與初始參照價(jià)格無關(guān)。當(dāng)初始參照價(jià)格高于穩(wěn)態(tài)價(jià)格時(shí)，價(jià)格函數(shù)隨時(shí)間遞減，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格;當(dāng)初始參照價(jià)格低于穩(wěn)態(tài)價(jià)格時(shí)，價(jià)格函數(shù)隨時(shí)間遞增，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格。2）在兩種策略中，穩(wěn)態(tài)價(jià)格均隨著參照價(jià)格彈性系數(shù)、折扣因子和記憶因子的增大而變小。

關(guān)鍵詞： 雙渠道;參照價(jià)格;動(dòng)態(tài)定價(jià);穩(wěn)態(tài)價(jià)格

中圖分類號： F 76

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Dynamic Pricing Policy for a Dual-channel SupplyChain Considering Reference Price

DUAN Yongrui RUAN Xiaoman DAI Xiangyan

（School of Economics and Management， Tongji Unversity， Shanghai 200092， China）

Abstract： Reference price refers to the benchmark price subjectively formed by consumers according to the historical price of a product. The reference price is changing over time， and the change rate of reference price is dependent on both the price and reference price. In the dual channel case， the consumers preference on the two channels is different. And the change of demand over time is related to price and reference price. By using the cybernetics method， the optimal price change path and the reference price change path under single channel and double channel structure are derived. The main conclusions are as follows： 1） the steady state price is independent of the initial reference price. When the initial reference price is higher than the steady-state price， the sale price function will decrease gradually and reach the steady price at last. When the initial reference price is lower than the steady price， the sale price function will increase until it reaches the stable price. 2） The steady state price is decreasing in the reference price elasticity coefficient， discount factor and memory factor.

Key words： dual-channel; reference price; dynamic pricing strategy; steady-state price

1 問題描述

考慮由單一制造商和單一零售商組成的兩級供應(yīng)鏈系統(tǒng)銷售單一產(chǎn)品，產(chǎn)品的銷售渠道分為傳統(tǒng)的線下渠道和線上渠道，假設(shè)制造商和零售商雙方信息是完全的。消費(fèi)者在做購買決策時(shí)，不僅要考慮產(chǎn)品的銷售價(jià)格，還會(huì)考慮其主觀形成的參照價(jià)格。參照價(jià)格與產(chǎn)品過去的銷售價(jià)格、同類產(chǎn)品的銷售價(jià)格、消費(fèi)者對該產(chǎn)品的認(rèn)知等因素有關(guān)。

考慮參照價(jià)格的雙渠道供應(yīng)鏈銷售系統(tǒng)如圖1所示。

在前人的研究文獻(xiàn)中，參照價(jià)格依賴產(chǎn)品的過去銷售價(jià)格并且隨著時(shí)間變化。當(dāng)消費(fèi)者遇到一個(gè)基于記憶效應(yīng)的新價(jià)格時(shí)，會(huì)隨之調(diào)整主觀形成的參照價(jià)格。記憶效應(yīng)是指消費(fèi)者對過去銷售價(jià)格的記憶。參照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013）的研究，本文將采用下面的微分方程表示參照價(jià)格隨時(shí)間的變化：

r′（t）=e（p（t）-r（t））

其中：r′（t）=d（r（t））/dt;r（t）表示消費(fèi)者的參照價(jià)格;p（t）表示產(chǎn)品銷售價(jià)格;e表示記憶因子且0#e，即消費(fèi)者對過去產(chǎn)品的記憶能力。假設(shè)消費(fèi)者最初的參照價(jià)格為r（0），即r（0）=r0。r0可能由多種因素決定，比如消費(fèi)者對產(chǎn)品的認(rèn)知能力、相似產(chǎn)品的價(jià)格等。此外，記憶因子e越大，表明消費(fèi)者對產(chǎn)品過去價(jià)格的記憶能力越強(qiáng)，也就是說消費(fèi)者對產(chǎn)品的忠誠度越低。

參照Fibich等（2003）和Zhang等（2013）的研究，本文運(yùn)用線性函數(shù)表示參照價(jià)格與銷售價(jià)格的差額和產(chǎn)品需求的關(guān)系。

線上渠道需求函數(shù)為

d1 （t）=ρa(bǔ)-bp1 （t）+β[r1 （t）-p1 （t）]（1）

線下渠道需求函數(shù)為

d2 （t）=（1-ρ）a-bp2 （t）+β[r2 （t）-p2 （t）]（2）

其中：r和1-r分別表示消費(fèi)者對線上渠道和線下渠道的接受程度，0

2 建模和分析

本節(jié)研究不同的渠道結(jié)構(gòu)下考慮參照價(jià)格的動(dòng)態(tài)定價(jià)策略。首先考慮單渠道時(shí)的定價(jià)策略，然后在此基礎(chǔ)上考慮雙渠道集中策略下的定價(jià)問題。運(yùn)用最優(yōu)控制方法，得到了兩種策略下的最優(yōu)價(jià)格函數(shù)。

2.1 單渠道供應(yīng)鏈動(dòng)態(tài)定價(jià)策略

假設(shè)制造商不開通線上渠道，僅通過線下渠道銷售其產(chǎn)品。假設(shè)供應(yīng)鏈采用集中式?jīng)Q策，目標(biāo)是使整個(gè)供應(yīng)鏈系統(tǒng)在無限時(shí)間區(qū)間上的利潤最大。

需求函數(shù)為

d（t）=a-bp（t）+b（r（t）-p（t））

制造商利潤函數(shù)為

π1=∫+∞0e-τt[（p（t）-w（t））d（t）]dt

其中，t為折現(xiàn)因子。

零售商利潤函數(shù)為

π2=∫+∞0e-τt[（w（t）-c）d（t）]dt

因此，單渠道的定價(jià)模型為

maxp（t）30p（p）=p1+p2=0+e-tt[（p（t）-c）d（t）]dt

s.t. r′（t）=e（p（t）-r（t））， r（0）=r0（3）

模型（3）為動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制問題，價(jià)格p（t）為決策變量，參照價(jià)格r（t）為狀態(tài)變量，因此本文應(yīng)用最優(yōu)控制的方法研究模型（3）所給出的定價(jià)問題。

為此，首先構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：

H（p，r，l）=（p（t）-c）[a-bp（t）+b（r（t）-p（t））]+l（t）e[p（t）-r（t）]（4）

可得如下最優(yōu)控制條件：

H（p，r，l）p=0

l′（t）=tl-H（p，r，l）r

r′（t）=H（p，r，l）l

r（0）=r0，l（0）=0（5）

通過求解，我們能得出下面的結(jié)論：

性質(zhì)1 若制造商采用單渠道，最優(yōu)銷售價(jià)格路徑為：

pb（t）=p0b-（r0-p0b）（1+me）emt（6）

參照價(jià)格路徑為：

rb（t）=p0b-（r0-p0b）emt（7）

其中

pb0=（t+e）a+（b+b）（t+he）c（t+e）b+（b+b）（t+he）（8）

m=t2-（t2+e）（t2+he），h=bb+b（9）

由性質(zhì)1可以得到如下結(jié)論：

性質(zhì)2 在單渠道中價(jià)格和參照價(jià)格最終趨近于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)價(jià)格p0b。當(dāng)初始參照價(jià)格大于穩(wěn)態(tài)價(jià)格，即r03>p0b時(shí)，最優(yōu)銷售價(jià)格隨著時(shí)間遞減，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格p0b;當(dāng)r0

由性質(zhì)2可知，當(dāng)r03>p0b時(shí)，銷售價(jià)格從一個(gè)較高值逐漸遞減，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時(shí)應(yīng)該采用撇脂定價(jià)策略。當(dāng)r0

性質(zhì)3 p0be<0，p0bb>0，p0br0=0

由性質(zhì)3可知，e越大，即消費(fèi)者對參照價(jià)格與銷售價(jià)格差額r（t）-p（t）越敏感，穩(wěn)態(tài)銷售價(jià)格越低;b越大，即消費(fèi)者對產(chǎn)品過去價(jià)格記憶能力越強(qiáng)，穩(wěn)態(tài)銷售價(jià)格越高;折現(xiàn)因子越大，穩(wěn)態(tài)銷售價(jià)格越低。穩(wěn)態(tài)銷售價(jià)格和初始參照價(jià)格無關(guān)，事實(shí)上當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格等于參照價(jià)格，此時(shí)參照價(jià)格不再對產(chǎn)品的需求有影響。

2.2 雙渠道供應(yīng)鏈動(dòng)態(tài)定價(jià)策略

本節(jié)考慮由一個(gè)制造商和一個(gè)零售商組成的雙渠道供應(yīng)鏈系統(tǒng)，制造商不僅通過零售商銷售其產(chǎn)品，還開通了線上渠道直接銷售其產(chǎn)品。本節(jié)主要研究線上渠道和線下渠道在無限時(shí)間水平上的動(dòng)態(tài)定價(jià)問題。假設(shè)制造商采取集中式?jīng)Q策，目標(biāo)是使整個(gè)系統(tǒng)的利潤最大。

假設(shè)線上渠道的價(jià)格為p1（t），線上渠道的價(jià)格為p2（t），則制造商利潤函數(shù)為

π1=∫+∞0e-τt[p1（t）- c]d1（t）+（w-c）d2（t）dt

零售商利潤函數(shù)為

π2=∫+∞0e-τt（p2（t）-w）d2dt

在集中式?jīng)Q策下總利潤函數(shù)為

p（p1（t），p2（t））=p1+p2=+0e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt

令r1（t）為線下渠道的參照價(jià)格函數(shù)，r2（t）為線上渠道的參照價(jià)格函數(shù)。參照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013），線下和線上渠道的參照價(jià)格的變化可表示為：

r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））（10）

r′2（t）=e（p2（t）-r2（t））（11）

由于兩個(gè)決策變量，求解過程較為復(fù)雜。為簡化運(yùn)算，本文假設(shè)p2（t）=μp1（t），r2（t）=μr1（t），0#m=1，即線上渠道價(jià)格和線下渠道價(jià)格之比為定值。此時(shí)式（10）和式（11）為同一個(gè)方程。特別地，當(dāng)m=1時(shí)，線上渠道和線下渠道銷售價(jià)格相同。服裝行業(yè)的許多企業(yè)為維護(hù)品牌形象，選擇線上渠道和線下渠道同價(jià)策略，如Nike、Zara、Belly等。

因此，雙渠道結(jié)構(gòu)下的定價(jià)模型為：

maxp1（t），p2（t）3cp（p1（t），p2（t））=0+e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt

s.t. r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））， r1（0）=r0（12）

首先構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：

H（p1，p2，r，l）=（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2+le（p1（t）-r1（t））

可得如下最優(yōu)控制條件：

H（p1，p2，r，l）p=0

l′（t）=tl-H（p1，r，l）r

r1′（t）=H（p1，r，l）l

r1（0）=r0，l（0）=0

p2（t）=mp1（t），r2（t）=mr1（t），0#m=1

通過求解，可得性質(zhì)4。

性質(zhì)4 在雙渠道結(jié)構(gòu)中，制造商采用集中式?jīng)Q策，則線下渠道的最優(yōu)價(jià)格函數(shù)為

p1d（t）=p0d-（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt

線上渠道的最優(yōu)價(jià)格函數(shù)為

p2d（t）=mp0d-m（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt

其中，

p0d=ra+（1-r）am+bF（1+m2）+（bc+bc）（1+m）+Ee+bF（1+m2）2（b+b）（1+m2）;

m=11（b+b）（1+m2）（-b+b（b+2bt+2bt-1）m2+（2b+2b）t-（（bm2+bm2+2bt+2bm2t+b（-1+m2）t））2+4（1+m2）（b2（-2+（3+4m2）+4（1+m2）t）-（bò-2b）（-m2+2b（1+m2）（+t））+b（-bò（-1+2（1+m2）+2（1+m2）t）+（-（2+m2）+b（-2+8（1+m2）+8（1+m2）t）））））1/2;

E=[（b+2b-b）（b+m2）（am+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）]/[（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2];

F=[（am+bc+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）（（-1+m2）+2b（1+m2）（+t）+（b2+2m2+2（1+m2）t））]/[（1+m2）（（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2）]

性質(zhì)5 在雙渠道供應(yīng)鏈動(dòng)態(tài)定價(jià)策略中，當(dāng)r3>F時(shí)，線下渠道最優(yōu)銷售價(jià)格函數(shù)隨時(shí)間遞減，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格p0d，線上渠道最優(yōu)價(jià)格函數(shù)也隨時(shí)間遞減，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格mp0d。當(dāng)r0

由性質(zhì)5可知，當(dāng)r3>F時(shí)，線上渠道銷售價(jià)格和線下渠道銷售價(jià)格均從一個(gè)較高值逐漸遞減，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時(shí)兩個(gè)渠道均采用撇脂定價(jià)策略。當(dāng)r0

3 算例分析

本節(jié)主要通過算例分析驗(yàn)證模型的有效性。參考Zhang等（2014）的研究，參數(shù)設(shè)置如下：市場規(guī)模a=1000，制造商的生產(chǎn)成本c=30，銷售價(jià)格彈性系數(shù)參照價(jià)格彈性系數(shù)為b=7，折扣因子t=0.2，記憶因子e=0.2。

（1）最優(yōu)價(jià)格函數(shù)

在單渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略中，令r0=83.9，pb（t）=82.9+0.3e-0.14t;令r0=81.9，pb（t）=82.9-0.3e-0.14t。最優(yōu)價(jià)格函數(shù)如圖2所示：

在雙渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略中，令r0=71.5，線下渠道的最優(yōu)價(jià)格函數(shù)為pd1（t）=70.5+0.2e-0.2t。

令r0=69.5時(shí)，線上渠道的最優(yōu)價(jià)格函數(shù)為pd1（t）=70.5-0.2e-0.2t，如圖3所示。

由圖2和圖3可知，在單渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略和雙渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略中，當(dāng)初始參照價(jià)格r0大于穩(wěn)態(tài)價(jià)格時(shí)，銷售價(jià)格函數(shù)隨著時(shí)間遞減，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格。當(dāng)初始參照價(jià)格r0小于穩(wěn)態(tài)價(jià)格時(shí)，銷售價(jià)格函數(shù)隨著時(shí)間遞增，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格。對于任一給定的初始參照價(jià)格，銷售價(jià)格函數(shù)都將會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)價(jià)格相同，并且與初始參照價(jià)格無關(guān)。

（2）b對銷售價(jià)格函數(shù)的影響

由圖4和圖5可知，在單渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略和雙渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略中，在其他參數(shù)不變的情況下，參照價(jià)格彈性系數(shù)越大，銷售價(jià)格越低。即消費(fèi)者對參照價(jià)格與銷售價(jià)格的差額越敏感，最優(yōu)銷售價(jià)格越低。

（3）t對銷售價(jià)格函數(shù)的影響

由圖6和圖7可知，在單渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略和雙渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略中，在其他參數(shù)不變的情況下，折扣因子越大，穩(wěn)態(tài)銷售價(jià)格越低，折扣因子越小，銷售價(jià)格越大。同時(shí)，折扣因子越小，價(jià)格變化越大，而折扣因子越大，價(jià)格變化越小。

（4）e對銷售價(jià)格函數(shù)的影響

由圖8和圖9可知，在單渠道和雙渠道供應(yīng)鏈動(dòng)態(tài)定價(jià)策略中，最優(yōu)價(jià)格均隨著記憶因子的增大而變小。即消費(fèi)者對過去價(jià)格的記憶能力越強(qiáng)，品牌忠誠度越低，穩(wěn)態(tài)價(jià)格越低;反之，消費(fèi)者對過去產(chǎn)品價(jià)格的記憶能力越弱，品牌忠誠度越高，穩(wěn)態(tài)價(jià)格越高。

4 結(jié)論

本文主要研究了單渠道動(dòng)態(tài)定價(jià)策略和雙渠道供應(yīng)鏈在集中式?jīng)Q策下的動(dòng)態(tài)定價(jià)策略。考慮參照價(jià)格對需求的影響，參照價(jià)格隨時(shí)間變化，且參照價(jià)格的變化與當(dāng)時(shí)的價(jià)格和參照價(jià)格有關(guān)。本文分別構(gòu)建了單渠道和雙渠道的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，應(yīng)用控制論方法對模型進(jìn)行求解，得知兩種策略下的最優(yōu)價(jià)格路徑和參照價(jià)格路徑。通過對最優(yōu)價(jià)格的分析得到了：穩(wěn)態(tài)價(jià)格與初始參照價(jià)格的取值無關(guān)，對于任意給定的初始參照價(jià)格，銷售價(jià)格函數(shù)都將會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，并且穩(wěn)態(tài)價(jià)格相同。當(dāng)初始參照價(jià)格高于穩(wěn)態(tài)價(jià)格時(shí)，銷售價(jià)格路徑隨時(shí)間遞減，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格。反之，當(dāng)初始參照價(jià)格低于穩(wěn)態(tài)價(jià)格時(shí)，銷售價(jià)格路徑隨時(shí)間遞增，直至達(dá)到穩(wěn)態(tài)價(jià)格。此外，穩(wěn)態(tài)價(jià)格會(huì)隨著參照價(jià)格彈性系數(shù)、折扣因子和記憶因子的增大而變小，并應(yīng)用算例驗(yàn)證了上述結(jié)論。

本文假設(shè)市場上只存在單一產(chǎn)品、單一制造商和零售商，而現(xiàn)實(shí)中的消費(fèi)市場往往存在多種替代性產(chǎn)品、多個(gè)制造商和零售商，很多零售商也開通了自己的線上渠道。因此，考慮多個(gè)制造商和零售商以及多種替代產(chǎn)品的多渠道定價(jià)問題是下一步研究的方向。本文假設(shè)所有的消費(fèi)者對同一產(chǎn)品有著相同的參照價(jià)格和參照價(jià)格彈性系數(shù)。事實(shí)上，不同的消費(fèi)者對同一產(chǎn)品有著不同的參照價(jià)格，對參照價(jià)格與銷售價(jià)格的差額敏感度也不同。因此，未來的研究中可以將消費(fèi)者在參照效應(yīng)上的異質(zhì)性考慮到定價(jià)策略中。

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收稿日期：2021-03-02

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71771179;71532015;71371139）

作者簡介：段永瑞（1975—），女，山西太原人，教授，博導(dǎo)，研究方向：服務(wù)運(yùn)作管理，E-mail：yrduan@163.com。