劉有婷

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)統(tǒng)治著宇宙?！焙?jiǎn)單的數(shù)字、符號(hào)通過(guò)自由組合卻能夠產(chǎn)生描述萬(wàn)物的語(yǔ)言，這是許多數(shù)學(xué)家沉迷于數(shù)學(xué)的原因。上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授李友林也是沉迷于數(shù)學(xué)的一名研究人員。在他看來(lái)，熱愛(ài)數(shù)學(xué)的人是一群對(duì)世界充滿(mǎn)好奇、渴望在抽象中感知自然秩序的人。而令李友林癡迷的領(lǐng)域是已經(jīng)具有100多年歷史的“切觸幾何”。

走進(jìn)切觸幾何世界

平時(shí)喜歡安靜的李友林，在談起自己所研究的領(lǐng)域時(shí)卻總是滔滔不絕。

據(jù)他介紹，切觸幾何是研究奇數(shù)維流形上的完全不可積超平面場(chǎng)的幾何。它是偶數(shù)維流形上的辛幾何的奇數(shù)維對(duì)應(yīng)。所謂完全不可積是說(shuō)流形中的任何超曲面在其中任何開(kāi)集上都不與所給超平面場(chǎng)處處相切。直觀(guān)看來(lái)，這意味著超平面場(chǎng)“轉(zhuǎn)得太多了”以至于不能與任何超曲面的切叢重合。Darboux證明奇數(shù)維流形上的切觸結(jié)構(gòu)在局部上都是一樣的，所以切觸幾何的研究?jī)?nèi)容和結(jié)果都是與流形整體有關(guān)的，這一點(diǎn)與黎曼幾何不同。

切觸幾何起源于1872年Sophus Lie引 入切觸變換作為研究微分方程組的一種幾何工具。切觸結(jié)構(gòu)可以用來(lái)描述一些物理現(xiàn)象。Gibbs和Caratheodory用它來(lái)描述熱力學(xué)。幾何光學(xué)中的Huygens原理等價(jià)于切觸幾何中的一個(gè)論斷。切觸幾何也與其他若干數(shù)學(xué)分支有聯(lián)系，比如低維拓?fù)?、辛幾何、代?shù)幾何中的奇點(diǎn)理論、多復(fù)變中的Stein流形，等等。多個(gè)數(shù)學(xué)分支在切觸幾何這個(gè)舞臺(tái)上交融互動(dòng)，演繹出一幕幕精彩絕倫的數(shù)學(xué)戲劇。

現(xiàn)代切觸幾何真正開(kāi)端于1983年Bennequin發(fā)現(xiàn)了三維歐氏空間上存在一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)切觸結(jié)構(gòu)不一樣的切觸結(jié)構(gòu)，后者含有一個(gè)“過(guò)度扭轉(zhuǎn)”的圓盤(pán)而前者不含有。所謂過(guò)度扭轉(zhuǎn)是說(shuō)切觸平面場(chǎng)與圓盤(pán)的切平面場(chǎng)限制在圓盤(pán)的邊界上的時(shí)候是重合的。含有過(guò)度扭轉(zhuǎn)的圓盤(pán)的切觸三維流形被稱(chēng)為過(guò)度扭轉(zhuǎn)的，否則稱(chēng)為胎緊的。過(guò)度扭轉(zhuǎn)的概念后來(lái)也被推廣到高維的情形。切觸流形最基本的問(wèn)題是什么樣的流形上有切觸結(jié)構(gòu)，以及給定流形上的切觸結(jié)構(gòu)的分類(lèi)。最早Gromov對(duì)于任何開(kāi)的定向的奇數(shù)維流形上的切觸結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分類(lèi)。之后1989年，Eliashberg對(duì)于任何閉的定向的三維流形上的過(guò)度扭轉(zhuǎn)的切觸結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分類(lèi)。2014年，Eliashberg完全解決了閉的定向的奇數(shù)維流形上的過(guò)度扭轉(zhuǎn)的切觸結(jié)構(gòu)的存在性和分類(lèi)問(wèn)題。Eliashberg因?yàn)樗谇杏|幾何等領(lǐng)域中的杰出貢獻(xiàn)而在2020年獲得沃爾夫獎(jiǎng)。

切觸流形的辛填充是指一個(gè)辛流形以它為邊界并且其辛形式在邊界上與切觸結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足某種兼容性。切觸流形的Stein填充是指一個(gè)Stein domain以它為邊界并且其復(fù)結(jié)構(gòu)在邊界上與切觸結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足某種兼容性。Stein填充蘊(yùn)含辛填充，辛填充蘊(yùn)含胎緊。給定一個(gè)切觸流形，一個(gè)自然的問(wèn)題就是理解它的所有辛填充和Stein填充。

21世紀(jì)初，Ozsvath和Szabo引入Heegaard Floer同調(diào)。這是一系列關(guān)于閉的定向的三維流形的強(qiáng)有力的不變量。Giroux建立了描述切觸三維流形的拓?fù)涫侄?，開(kāi)書(shū)分解。把這兩項(xiàng)工作結(jié)合起來(lái)，Ozsvath和Szabo對(duì)切觸三維流形定義了一個(gè)切觸不變量。如果切觸不變量非零，那么這個(gè)切觸三維流形是胎緊的;如果切觸不變量為零，那么這個(gè)切觸三維流形就不是強(qiáng)辛填充的。

與數(shù)學(xué)為伴

李友林是湖南衡陽(yáng)人，本科畢業(yè)于蘭州大學(xué)，博士畢業(yè)于北京大學(xué)。這一路走來(lái)，李友林始終與數(shù)學(xué)為伴。在北大讀研究生期間，李友林師從王詩(shī)宬院士，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了三維流形的拓?fù)洹．?dāng)時(shí)李友林也通過(guò)丁帆教授知道了有切觸幾何這樣一個(gè)研究方向。丁帆教授是我國(guó)最早從事切觸幾何研究的學(xué)者。

2008年博士畢業(yè)之后，李友林來(lái)到上海交通大學(xué)工作，決定從事切觸幾何的研究。據(jù)李友林介紹，他所研究的切觸幾何是流形上的一種幾何結(jié)構(gòu)，而想要弄明白切觸結(jié)構(gòu)，他首要做的就是先把流形結(jié)構(gòu)搞清楚。研究生期間的學(xué)習(xí)經(jīng)歷為他后來(lái)的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。“切觸幾何在中國(guó)的相關(guān)研究人員較少，僅在個(gè)位數(shù)?！崩钣蚜种赋觥榱吮M快到達(dá)切觸幾何的研究前沿，在2012年和2016年，李友林分別前往美國(guó)佐治亞理工學(xué)院和加州大學(xué)洛杉磯分校訪(fǎng)問(wèn)。在訪(fǎng)問(wèn)期間，李友林結(jié)識(shí)了很多切觸幾何方面的同行和朋友，對(duì)這一方向有了更加深入的認(rèn)識(shí)，也堅(jiān)定了研究切觸幾何的決心。

經(jīng)過(guò)十余年的研究，李友林在三維流形上的胎緊切觸結(jié)構(gòu)的分類(lèi)、過(guò)度扭轉(zhuǎn)切觸結(jié)構(gòu)的識(shí)別、切觸結(jié)構(gòu)的切觸不變量、勒讓德紐結(jié)、切觸三維流形的辛填充和Stein填充等方面取得了一系列成果。在這期間，李友林得到了國(guó)內(nèi)國(guó)外很多人的支持和幫助，如李友林與Kaloti（Georgia Tech）、Ozbagci（土耳其Koc大學(xué)）分別合作，對(duì)一些典型的切觸三維流形的辛填充進(jìn)行了分類(lèi);李友林與丁帆、劉亞晶（UCLA）分別合作，解決了一些切觸三維流形的辛填充的存在性問(wèn)題。

在Giroux把三維流形上的切觸結(jié)構(gòu)與三維流形的忽略掉穩(wěn)定化的開(kāi)書(shū)分解建立一一對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上，李友林與Etnyre（Georgia Tech）合作，將緊致帶邊曲面的同調(diào)本質(zhì)的曲線(xiàn)復(fù)形引入到對(duì)開(kāi)書(shū)分解的研究過(guò)程中，并用它給出一個(gè)開(kāi)書(shū)分解是可以去穩(wěn)定化的一個(gè)充分必要條件。利用這一條件，李友林與Etnyre進(jìn)一步對(duì)承載標(biāo)準(zhǔn)的切觸三維球面的頁(yè)面虧格為零的開(kāi)書(shū)分解的去穩(wěn)定化問(wèn)題做出了解答。

此外，丁帆與Geiges還發(fā)現(xiàn)，任何切觸三維流形都可以從標(biāo)準(zhǔn)的切觸三維球面出發(fā)，沿著一個(gè)勒讓德鏈環(huán)做切觸手術(shù)而得到。李友林與丁帆、吳忠濤（香港中文大學(xué)）合作，通過(guò)切觸三維流形的手術(shù)描述來(lái)研究其過(guò)度扭轉(zhuǎn)性質(zhì)和切觸不變量，給出切觸三維流形是過(guò)度扭轉(zhuǎn)（或者不變量為零）的若干充分條件。

對(duì)于未來(lái)，李友林沒(méi)有特別明確的期許，只想堅(jiān)持沿著研究切觸幾何這條路走下去，享受在數(shù)學(xué)世界里自由探索的樂(lè)趣和發(fā)現(xiàn)的喜悅。