曹冬梅，曾祥梅

(1. 延安大學(xué) 物電學(xué)院，陜西 延安 716000；2. 西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710121)

光既是粒子又是波，表征光波動(dòng)屬性的現(xiàn)象有光的干涉、衍射和偏振. 相對(duì)于光的干涉理論，光的衍射理論更為復(fù)雜，在理論教學(xué)的過(guò)程中，大部分學(xué)生感覺(jué)比較抽象而難以理解，采用MATLAB數(shù)值仿真光的圓孔衍射現(xiàn)象可以指導(dǎo)教學(xué). 由于光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的，因而討論圓孔衍射現(xiàn)象對(duì)光學(xué)儀器的應(yīng)用，具有重要的實(shí)際意義. 而目前關(guān)于光的圓孔衍射問(wèn)題的教學(xué)研究大多局限于圓孔衍射的橫向光場(chǎng)討論[1-3]，對(duì)平行平面光經(jīng)圓孔衍射的縱向光強(qiáng)、遠(yuǎn)場(chǎng)光束的定量研究相對(duì)較少. 本文從菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式[4]出發(fā)，在單色平面波近似下，對(duì)該公式進(jìn)行了數(shù)值求解，討論了光波通過(guò)圓孔衍射后的橫向、縱向光強(qiáng)和遠(yuǎn)場(chǎng)光束分布特點(diǎn). 將光的衍射現(xiàn)象直觀化，可以加深學(xué)生對(duì)光的衍射理論和現(xiàn)象的全面理解.

1 光的圓孔衍射理論

圖1所示為平行平面光波通過(guò)圓孔衍射的示意圖.圓孔所在平面處z=0，接收屏置于z處，光沿著z軸正方向入射，假設(shè)l為光源到小孔中Q點(diǎn)的距離，r表示圓孔中的源點(diǎn)Q到場(chǎng)點(diǎn)P的距離.當(dāng)圓孔的線度∑滿足λ<Σ

(1)

式中θ為點(diǎn)Q到點(diǎn)P的連線與z軸的夾角.在菲涅耳—基爾霍夫衍射積分公式的適用范圍內(nèi)，討論光在真空中傳播時(shí)的光強(qiáng)分布.

圖1 光的圓孔衍射示意圖

2 數(shù)值仿真結(jié)果及理論分析

2.1 軸上點(diǎn)光強(qiáng)分布與菲涅耳數(shù)

平行平面光垂直入射，取波長(zhǎng)λ=632.8 nm，分析z軸上點(diǎn)的光強(qiáng)分布.首先保持圓孔半徑不變，計(jì)算軸上點(diǎn)的光強(qiáng)分布.
圖2為圓孔半徑ρ=1 mm時(shí)，z軸上點(diǎn)的光強(qiáng)分布隨距離z的變化關(guān)系，縱坐標(biāo)光強(qiáng)度單位為W/cm2，下文同.當(dāng)0.1 m1.6 m時(shí)，光強(qiáng)逐漸減小，不再出現(xiàn)振蕩的情形，即軸上點(diǎn)光強(qiáng)的大小與考察點(diǎn)到圓孔距離z有關(guān).其次，當(dāng)改變圓孔半徑時(shí)，計(jì)算軸上某一特定點(diǎn)的光強(qiáng)分布與圓孔半徑大小的變化關(guān)系.從圖3可見(jiàn)，當(dāng)圓孔半徑從1 mm開(kāi)始逐漸增大時(shí)，z=10 m處軸上點(diǎn)光強(qiáng)呈現(xiàn)振蕩變化的現(xiàn)象，即軸上點(diǎn)光強(qiáng)的大小除了與考察點(diǎn)到圓孔距離z有關(guān)外，還與圓孔半徑大小有關(guān).根據(jù)菲涅耳波帶數(shù)定義N≈ρ2/(λz)，菲涅耳波帶數(shù)N的數(shù)值與考察點(diǎn)到圓孔距離z成反比，與圓孔半徑ρ平方的大小成正比，無(wú)論是距離z的變化，還是圓孔半徑ρ的變化，都將引起菲涅耳波帶數(shù)N的數(shù)值的變化，軸上點(diǎn)光強(qiáng)度的變化實(shí)質(zhì)上取決于圓孔對(duì)軸上點(diǎn)露出的菲涅耳波帶數(shù).

圖2中，0.1 m1.6 m區(qū)域.即軸上點(diǎn)光強(qiáng)度連續(xù)減小的區(qū)域?qū)?yīng)的菲涅耳數(shù)在較小范圍內(nèi)單調(diào)減小，該區(qū)域?yàn)榉颥樅藤M(fèi)衍射區(qū)(遠(yuǎn)場(chǎng))；菲涅耳數(shù)大于等于1時(shí)，為菲涅耳衍射區(qū)(近場(chǎng))； 當(dāng)菲涅耳數(shù)大于某一較大的閾值時(shí)(對(duì)應(yīng)大的圓孔半徑ρ或小的軸上點(diǎn)的距離z)，菲涅耳數(shù)的增大將不再影響軸上點(diǎn)的光強(qiáng)分布，此時(shí)對(duì)應(yīng)光的直線傳播現(xiàn)象.

圖2 軸上點(diǎn)光強(qiáng)分布

圖3 軸上點(diǎn)光強(qiáng)隨圓孔半徑大小的變化

圖4 軸上點(diǎn)光強(qiáng)隨菲涅耳數(shù)的變化

2.2 橫向光強(qiáng)分布

在菲涅耳衍射區(qū)，取不同的菲涅耳數(shù)N，利用MATLAB計(jì)算平面光波通過(guò)圓孔衍射的橫向光強(qiáng)分布，見(jiàn)圖5.
圖5(a)為菲涅耳數(shù)N取偶數(shù)時(shí)的橫向光強(qiáng)分布圖，從圖中可以看出，中心點(diǎn)的光強(qiáng)為零；圖5(b)為菲涅耳數(shù)N取奇數(shù)時(shí)的橫向光強(qiáng)分布圖，中心點(diǎn)的光強(qiáng)達(dá)到最大值.且隨著菲涅耳數(shù)的增大，外圍明紋的亮度在增強(qiáng)，光強(qiáng)的空間調(diào)制越顯著，衍射效應(yīng)越來(lái)越明顯.

(a)菲涅耳數(shù)N取偶數(shù)

(b)菲涅耳數(shù)N取奇數(shù)

(c)菲涅耳數(shù)N<1圖5 圓孔衍射的橫向光強(qiáng)分布

圖6 遠(yuǎn)場(chǎng)衍射區(qū)橫向光強(qiáng)分布

當(dāng)菲涅耳數(shù)N<1時(shí)，隨著N值的減小，平行平面光經(jīng)圓孔衍射后，橫向光強(qiáng)分布圖不再變化，即演化成中心光強(qiáng)為最大值、兩邊光強(qiáng)逐漸減小的光束.如圖5(c)所示的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，中央部分為艾里斑，隨著菲涅耳數(shù)的減小，艾里斑半徑在逐漸增大.仔細(xì)分析中央艾里斑內(nèi)的光強(qiáng)度分布和高斯線型非常類似，圖6中給出了兩種線型的對(duì)比，圖中實(shí)線為光強(qiáng)的橫向分布圖，虛線為模擬的高斯型分布，在遠(yuǎn)場(chǎng)夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)橫向光強(qiáng)的實(shí)際分布與高斯型的分布非常接近.

2.3 遠(yuǎn)場(chǎng)光束的演化

圖7為艾里斑半徑隨z變化的關(guān)系曲線，圖中實(shí)線部分為衍射遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域內(nèi)仿真所得的光斑半徑值，虛線部分為對(duì)光斑半徑線性擬合的結(jié)果.從圖中可以看出：在仿真區(qū)域內(nèi)的光斑半徑ω(z)近似為線性的，而高斯光束中定義光斑半徑：

(2)

其中ω0為高斯光束的束腰半徑，在遠(yuǎn)場(chǎng)z>>z0時(shí)，ω(z)≈zλ/ω0，此時(shí)光斑半徑與距離z成正比，與圖7結(jié)論完全吻合.進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，線性擬合曲線在z=0時(shí)近似為0，即在遠(yuǎn)場(chǎng)形成“高斯光束”的束腰在z=0處，即衍射圓孔處.

圖7 光斑半徑隨傳輸距離z的變化

選擇當(dāng)傳輸距離z=15 m時(shí)的光強(qiáng)分布為基準(zhǔn)，通過(guò)仿真計(jì)算此時(shí)光束的光斑半徑為3.838 mm，對(duì)應(yīng)的發(fā)散角為

(3)

則遠(yuǎn)場(chǎng)形成的高斯光束所對(duì)應(yīng)的束腰半徑ω0≈0.8 mm左右.若將ω0≈0.8 mm代入ω(z)的表達(dá)式可得ω(z=15 m)=3.86 mm，與仿真結(jié)果非常接近.即平行平面光束經(jīng)半徑為1 mm的圓孔衍射后，在遠(yuǎn)場(chǎng)演化成束腰在圓孔、束腰半徑約為0.8 mm、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角約為0.51 mrad的高斯型光束.這個(gè)過(guò)程與平行平面光在具有軸對(duì)稱特點(diǎn)的對(duì)稱共焦腔中演化為高斯光束的過(guò)程完全類似，此時(shí)的圓孔作用類似于共焦腔中的小鏡子，在空氣中自由演化的過(guò)程類似于共焦腔內(nèi)自由行進(jìn)的過(guò)程.

3 圓孔衍射實(shí)驗(yàn)分析

如圖8所示為一組圓孔衍射圖樣[7]，圓孔直徑從最上端左側(cè)開(kāi)始向右連續(xù)增大，一直增大到最后一行的最右端，對(duì)應(yīng)圓孔直徑從1 mm增大為4 mm，衍射圖樣是在距衍射屏1 m的位置處拍攝的結(jié)果.

首先分析徑向光強(qiáng)分布.除最高一行衍射圖樣外，第二行開(kāi)始從左向右隨著圓孔半徑的增大，衍射圖樣中心位置時(shí)而為亮點(diǎn)，時(shí)而為暗點(diǎn)，呈現(xiàn)出一定的周期性變化現(xiàn)象.與仿真結(jié)果圖3類似，在保持接收屏位置保持不變時(shí)，軸上點(diǎn)光強(qiáng)分布隨圓孔半徑的增加呈現(xiàn)出一定的周期性變化現(xiàn)象，當(dāng)菲涅耳數(shù)為奇數(shù)時(shí)中心點(diǎn)為亮點(diǎn)，當(dāng)菲涅耳數(shù)為偶數(shù)時(shí)中心點(diǎn)為暗點(diǎn).類似的結(jié)論在文獻(xiàn)[8]的實(shí)驗(yàn)中也得到了驗(yàn)證.對(duì)最高一行衍射圖樣，中心一直為亮點(diǎn)，此時(shí)圓孔孔徑相對(duì)較小，接收屏處于1 m位置時(shí)孔面只露出中心帶的一小部分，所以隨著圓孔增大，露出的中心帶面積也相應(yīng)增加，亮度逐漸增強(qiáng).其次，分析橫向光強(qiáng)分布.從上到下，衍射圖樣“可見(jiàn)”分布范圍隨著菲涅爾數(shù)的增大而增大，當(dāng)菲涅爾數(shù)較大時(shí)，光強(qiáng)的空間調(diào)制越顯著，與仿真結(jié)果圖5(a)與圖5(b)結(jié)論相吻合.

圖8 隨孔徑增大的圓孔衍射圖樣

對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射光斑分析時(shí)，采用如圖9所示實(shí)驗(yàn)光路，首先對(duì)激光束進(jìn)行擴(kuò)束，擴(kuò)束后的平行光垂直入射到半徑為0.65 mm的圓孔進(jìn)行衍射，接受屏置于遠(yuǎn)場(chǎng)的不同位置z，最后用SunTime300C型號(hào)的CCD對(duì)接受屏上的衍射光斑進(jìn)行拍攝，前面加裝了同品牌鏡頭SunTimeST0612H，相機(jī)有效像素為2048 H*1536 V.
圖10顯示的是在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下接受屏上的光斑分布規(guī)律，從圖可見(jiàn)中心光強(qiáng)分布基本符合高斯型分布，且隨著傳輸距離的增大，光斑的尺寸也逐漸增大，與圖7所得結(jié)論一致. 受拍攝技術(shù)的限制外側(cè)圓環(huán)幾乎沒(méi)有呈現(xiàn)出來(lái).

圖9 遠(yuǎn)場(chǎng)拍攝實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖10 遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣

4 結(jié)束語(yǔ)

利用MATLAB 對(duì)菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)了平行平面光波通過(guò)圓孔后衍射光場(chǎng)的可視化，可以非常直觀的看出衍射的模擬結(jié)果. 通過(guò)在不同條件下的衍射光強(qiáng)的模擬發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀察和理論結(jié)果非常吻合. 當(dāng)菲涅耳數(shù)小于1時(shí)，平行平面光波通過(guò)圓孔衍射，在遠(yuǎn)場(chǎng)就會(huì)形成高斯型的光強(qiáng)分布，與平行平面光在具有軸對(duì)稱特點(diǎn)的對(duì)稱共焦腔中演化為高斯型的分布具有類似的過(guò)程. 將計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)運(yùn)用到物理光學(xué)的教學(xué)和實(shí)驗(yàn)中，可幫助學(xué)生加深對(duì)物理現(xiàn)象的理解，拓寬學(xué)生的視野，實(shí)現(xiàn)了大學(xué)物理系列課程教學(xué)和實(shí)驗(yàn)手段的現(xiàn)代化.