李中生，秦紅星

(唐山學(xué)院 河北省智能裝備數(shù)字化設(shè)計(jì)及過(guò)程仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000)

0 引言

可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃是實(shí)施可靠性增長(zhǎng)管理的重要依據(jù)，繪制可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線是可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃的重要組成部分。可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線為可靠性測(cè)試提供了臨時(shí)的里程碑，用以判定可靠性增長(zhǎng)測(cè)試方案是否合理?？煽啃砸?guī)劃曲線一般由可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃模型生成，可直觀地描述可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃的整個(gè)過(guò)程。

1956年，美國(guó)學(xué)者Weiss建立了一個(gè)理想化的可靠性增長(zhǎng)過(guò)程數(shù)學(xué)模型，該模型是可靠性增長(zhǎng)技術(shù)的雛形[1]。1964年，Duane提出了一種學(xué)習(xí)曲線方法，用于監(jiān)測(cè)機(jī)電系統(tǒng)的可靠性增長(zhǎng)程度并預(yù)測(cè)其可靠性增長(zhǎng)進(jìn)程[2]。1970年Selby和Miller將Duane假設(shè)擴(kuò)展為一種動(dòng)態(tài)的規(guī)劃工具，可以根據(jù)事先設(shè)定的增長(zhǎng)率預(yù)估系統(tǒng)在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)的平均故障間隔時(shí)間(Mean Time Between Failure，MTBF)[3]?；陬A(yù)測(cè)方法的規(guī)劃模型(Planning Model Based On Projection Methodology，PM2模型)[4]是一種被廣泛使用的可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃模型，其主要特點(diǎn)是規(guī)劃曲線在任何給定的可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間內(nèi)都能達(dá)到設(shè)定的可靠性目標(biāo)值，從而獲得了試驗(yàn)決策者的推崇。PM2模型是一種基于項(xiàng)目里程碑式的規(guī)劃模型，試驗(yàn)管理部門(mén)通過(guò)制定必須實(shí)現(xiàn)的測(cè)試目標(biāo)并充分利用現(xiàn)有的測(cè)試資源進(jìn)而確定可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的增長(zhǎng)率。自2009年6月以來(lái)，PM2模型一直是美國(guó)陸軍產(chǎn)品開(kāi)發(fā)測(cè)試計(jì)劃中的一項(xiàng)具體要求[5]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃模型的固有參數(shù)開(kāi)展了許多有價(jià)值的研究，如1990年美國(guó)的Ellner和Trapnell發(fā)布了一系列針對(duì)不同武器裝備和不同實(shí)驗(yàn)條件下的總平均值為0.69的改進(jìn)有效性系數(shù)(d)的參考值[6]；2013年Calomeris和Herbert指出，不同的試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間和系統(tǒng)初始MTBF值(Initial MTBF,MI)以及不同的目標(biāo)MTBF值(Final MTBF,MF)都將生成不同形狀的規(guī)劃曲線[7]；2014年Crow指出，對(duì)于完全由新技術(shù)構(gòu)成的武器系統(tǒng)，管理策略參數(shù)可以取較大的數(shù)值，如0.95，而對(duì)于在設(shè)計(jì)中使用原有技術(shù)的其他系統(tǒng)，管理策略參數(shù)應(yīng)取較小的數(shù)值[8]；2015年Awad對(duì)系統(tǒng)的初始故障率展開(kāi)了靈敏度分析[9]；2019年李中生等對(duì)PM2模型的多個(gè)參數(shù)進(jìn)行了單參數(shù)靈敏度分析[10，11]。

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)PM2模型的規(guī)劃曲線與其兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)乘積之間的關(guān)系研究較少，而這兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)的乘積將直接決定可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的成敗，為此本文研究了PM2規(guī)劃曲線與兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)乘積之間的關(guān)系，并推導(dǎo)出了這兩個(gè)參數(shù)乘積的通用取值范圍。

1 PM2模型和參數(shù)

PM2模型的各參數(shù)和數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)d：改進(jìn)有效性系數(shù)。d屬于可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的過(guò)程管理參數(shù)，表征糾正措施的有效程度，其取值范圍一般為[0.6，0.8]。

(2) MS：管理策略，也屬于過(guò)程管理參數(shù)。MS是指系統(tǒng)的B類故障率與系統(tǒng)的初始故障率之比，常用取值范圍為[0.7，0.95]。其中B類故障是指如果在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)中發(fā)生，則被確定為需要進(jìn)行糾正的那些系統(tǒng)性故障。相反地，即使在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)中被發(fā)現(xiàn)也不進(jìn)行糾正的系統(tǒng)性故障及所有的殘余性故障，稱為A類故障。且有：

(1)

其中：λA為A類故障所導(dǎo)致的系統(tǒng)失效率；λB為B類故障所導(dǎo)致的系統(tǒng)失效率。

(3)MI：系統(tǒng)的初始平均故障間隔時(shí)間，表示為：

(2)

其中：λI為系統(tǒng)的初始失效率。

(4)MF：系統(tǒng)經(jīng)歷可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)后最終可實(shí)現(xiàn)的平均故障間隔時(shí)間，屬于試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)。

(5)MGP(Growth Potential，GP)：系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的最大平均故障間隔時(shí)間，表示為：

(3)

(6) GPDM(Growth Potential Design Margin)：系統(tǒng)的增長(zhǎng)潛力比,表示為：

(4)

由于測(cè)試時(shí)間和成本的限制，MF的值通常會(huì)小于MGP值。根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)，GPDM的最大值約為1.5。根據(jù)式(3)和式(4)，單次可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)增長(zhǎng)率(MF/MI)的取值范圍約為[1.5，3.0]。如果要求的試驗(yàn)增長(zhǎng)率超出此范圍，則可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)應(yīng)分階段進(jìn)行。

(7)λ(t)：系統(tǒng)在時(shí)間t(t為測(cè)試持續(xù)時(shí)間)時(shí)的預(yù)期失效強(qiáng)度,表示為：

λ(t)=λA+(1-d)λB+d·h(t).

(5)

其中：h(t)為新的B類故障在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生的概率,對(duì)于PM2模型，其定義式為：

(6)

其中：βPM2為hPM2(t)的形狀參數(shù),且有：

(7)

其中：T為參數(shù)，表示可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)持續(xù)時(shí)間，屬于試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)。聯(lián)合式(5)～式(7)可得：

(8)

聯(lián)合式(1)和式(2)可得：

(9)

對(duì)于一個(gè)給定的目標(biāo)值，式(8)可轉(zhuǎn)換為：

(10)

顯然有d·MS·MF-(MF-MI)>0，即：

(11)

對(duì)式(10)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得：

(12)

式(12)表明，對(duì)于PM2模型，無(wú)論過(guò)程管理參數(shù)d和MS取何值，只要測(cè)試持續(xù)時(shí)間t等于試驗(yàn)設(shè)計(jì)持續(xù)時(shí)間T,試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)總能夠達(dá)到。

2 參數(shù)靈敏度分析

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)持續(xù)時(shí)間靈敏度分析

假設(shè)某待測(cè)試系統(tǒng)的初始平均故障間隔時(shí)間MI為100 h,目標(biāo)平均故障間隔時(shí)間MF為150 h,且兩個(gè)管理參數(shù)的乘積(d·MS)為0.7。令可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)持續(xù)時(shí)間T分別等于9 000 h、10 000 h、11 000 h、12 000 h，依據(jù)式(10)可得可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線,如圖1所示。

由圖1可見(jiàn)，可靠性增長(zhǎng)測(cè)試將在T=9 000 h結(jié)束；可靠性增長(zhǎng)測(cè)試將在T=10 000 h時(shí)達(dá)到目標(biāo)值；可靠性增長(zhǎng)測(cè)試將在T=11 000 h時(shí)達(dá)成目標(biāo)；可靠性增長(zhǎng)測(cè)試將在T=12 000 h時(shí)達(dá)到預(yù)期值，即參數(shù)T作為一個(gè)重要的主觀輸入的試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)，將決定可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)何時(shí)結(jié)束以及何時(shí)滿足試驗(yàn)預(yù)期。

2.2 單次增長(zhǎng)率為1.5時(shí)的參數(shù)靈敏度分析

假定某系統(tǒng)的初始平均故障間隔時(shí)間MI為100 h，目標(biāo)平均故障間隔時(shí)間MF為150 h，且試驗(yàn)設(shè)計(jì)持續(xù)時(shí)間T=10 000 h。令(d·MS)分別等于0.33、0.34、0.54、0.74，由式(10)可得可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線，如圖2所示。

由圖2可見(jiàn)，兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)的乘積d·MS對(duì)可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線有很大的影響，d·MS=0.34時(shí)的規(guī)劃曲線描述了在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過(guò)程中，由于對(duì)所發(fā)生故障持續(xù)地整改，系統(tǒng)由初始的失效率逐步增長(zhǎng)到目標(biāo)失效率的過(guò)程；d·MS=0.33時(shí)的規(guī)劃曲線描述了在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過(guò)程中，系統(tǒng)的失效率由初始失效率急速增長(zhǎng)為無(wú)窮大，之后突變到無(wú)窮小，然后逐漸增長(zhǎng)到目標(biāo)失效率，這表明在特定的試驗(yàn)條件下，兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)的乘積d·MS存在最小值。對(duì)于本例由式(11)可得最小值為1/3，即d·MS的值需大于此最小值，否則可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的結(jié)果不能滿足目標(biāo)值。

2.3 單次增長(zhǎng)率為2.0時(shí)的參數(shù)靈敏度分析

令某系統(tǒng)的初始平均故障間隔時(shí)間MI為100 h,目標(biāo)平均故障間隔時(shí)間MF為200 h,試驗(yàn)設(shè)計(jì)持續(xù)時(shí)間T為10 000 h。d·MS分別取0.49、0.51、0.71、0.91，據(jù)式(10)可得可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線，如圖3所示。

同理，當(dāng)d·MS=0.49時(shí)可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃試驗(yàn)的規(guī)劃曲線無(wú)法用常理解釋。對(duì)于本例由式(11)可得d·MS最小值為1/2，即d·MS的值必須大于此最小值。

2.4 單次增長(zhǎng)率為3.0時(shí)的參數(shù)靈敏度分析

令某系統(tǒng)的初始平均故障間隔時(shí)間MI為100 h,目標(biāo)平均故障間隔時(shí)間MF為300 h,且試驗(yàn)設(shè)計(jì)持續(xù)時(shí)間T為10 000 h。d·MS分別取0.66、0.67、0.77、0.87，據(jù)式(10)可得可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線，如圖4所示。

圖1 不同參數(shù)T對(duì)應(yīng)的 圖2 增長(zhǎng)率為1.5時(shí)不同 圖3 增長(zhǎng)率為2.0時(shí)不同 圖4 增長(zhǎng)率為3.0時(shí)不同 可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃 d·MS值對(duì)應(yīng)的可靠性增長(zhǎng) d·MS值對(duì)應(yīng)的可靠性增長(zhǎng) d·MS值對(duì)應(yīng)的可靠性增長(zhǎng) 曲線 規(guī)劃曲線 規(guī)劃曲線 規(guī)劃曲線

對(duì)于本例由式(11)可得最小閾值為2/3，即d·MS的值必須大于此最小值，否則可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的結(jié)果不能滿足可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃的目標(biāo)值。

3 實(shí)例

某公司擬對(duì)現(xiàn)有的機(jī)械手系統(tǒng)開(kāi)展可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，以增加其使用可靠性和平均故障間隔時(shí)間，試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)和過(guò)程管理參數(shù)由項(xiàng)目管理部門(mén)確定，原始可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 原始可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃數(shù)據(jù)

經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的可靠性試驗(yàn)后，質(zhì)檢部門(mén)發(fā)現(xiàn)實(shí)際平均故障間隔時(shí)間并未達(dá)到目標(biāo)值，為此公司組織開(kāi)展原因分析，但始終找不到根本原因。作者按式(11)對(duì)此次可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)做如下判別：

d·MS=0.48<1-MI/MF=0.53.

即兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)乘積d·MS的取值不合理。隨后提出兩種改進(jìn)方案：①公司需提高過(guò)程管理參數(shù)MS到0.9，要求公司加大B類故障的認(rèn)定比例，并按照公司一貫的改進(jìn)有效性系數(shù)d對(duì)試驗(yàn)過(guò)程中所發(fā)生的B類故障進(jìn)行改進(jìn)；②公司需提高過(guò)程管理參數(shù)d到0.7，即公司需提高對(duì)B類故障的改進(jìn)手段。

圖5為按照原始的試驗(yàn)過(guò)程管理參數(shù)繪制的可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線。在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)開(kāi)始后，系統(tǒng)的MTBF由初始值(MI=47 h)先緩慢而后急速減小為負(fù)無(wú)窮大，之后突變到正無(wú)窮大，然后先急速而后緩慢降低到目標(biāo)值(MF=100 h)，系統(tǒng)MTBF突變的時(shí)間點(diǎn)約為t=1 451.5 h。這種不合理現(xiàn)象是由于式(10)的分母為負(fù)數(shù)所致。

圖5 原測(cè)試方案的可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線

表2為方案修改后的可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)規(guī)劃數(shù)據(jù)。圖6為改進(jìn)后的可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線。

表2 修改后的規(guī)劃數(shù)據(jù)

由圖6可知，在整個(gè)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過(guò)程中，方案1的即時(shí)MTBF值總是大于方案2的即時(shí)MTBF值，因此如果兩種方案都能滿足要求，則建議優(yōu)先選擇方案1。

圖6 改進(jìn)測(cè)試方案后的可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃曲線

4 結(jié)論

本文對(duì)PM2模型的參數(shù)開(kāi)展了靈敏度分析，發(fā)現(xiàn)對(duì)于既定的測(cè)試方案，兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)的乘積 (d·MS) 均存在取值下限?；诖?，本文推導(dǎo)了其通用的取值范圍，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了取值范圍的有效性。根據(jù)研究，可以得出以下結(jié)論：

(1) PM2模型的兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)的乘積，對(duì)于可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃有很大的影響。

(2) 對(duì)于每一個(gè)既定的可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃測(cè)試方案，PM2模型的兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)的乘積均有一個(gè)確定的取值范圍，如果實(shí)際值脫離此范圍，將導(dǎo)致可靠性增長(zhǎng)規(guī)劃測(cè)試失敗。

(3) 通過(guò)預(yù)先判斷PM2模型的參數(shù)取值，可以降低未達(dá)成測(cè)試目標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)。即如果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)過(guò)程管理參數(shù)的乘積小于其取值下限，則應(yīng)在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)開(kāi)始前予以調(diào)整。