尚濤

（中交二公局第四工程有限公司，河南 洛陽 471013）

1 概述

在高速公路建設(shè)過程中，不完整曲線在匝道線路設(shè)計時中極為常見，很多測量工作者在進行坐標(biāo)計算時，一般采用交點法或線元法兩種計算方式進行電算，線元法根據(jù)曲線元素的起點坐標(biāo)、切線方位角、曲率半徑以及待求點曲率半徑為基礎(chǔ)，計算待求點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，可適用于任意曲線的計算。因為線元法是將每段線元分開進行計算，故輸入數(shù)據(jù)量較大，同時如果不完整端處于線路首段或尾段時，其曲率半徑設(shè)計不予提供，需要自己進行計算。交點法通過交點坐標(biāo)、里程以及起終點里程、切線方位角（或起點切線方位角及轉(zhuǎn)角）、緩和曲線長度以及圓曲線半徑進行計算，僅適用于完整緩和曲線的計算。因交點法可以計算每個交點控制范圍內(nèi)的線元統(tǒng)一計算，故輸入數(shù)據(jù)量相對較少，但對曲線的完整性提出了要求。兩種算法各有利弊，在不同計算類型中可擇優(yōu)選取。

2 緩和曲線計算原理

直線以及圓曲線計算都相對簡單，這里不再贅述，重點討論曲線的計算過程。

考慮到線路設(shè)計時緩和曲線的產(chǎn)生原理，其曲率半徑一般從∞過渡到圓半徑R，曲線上各點需滿足緩和曲線參數(shù)方程：A2=RS，其中A 為緩和曲線參數(shù)，R 為待求點的曲率半徑，S 為待求點至起點ZH（HZ）點的長度。當(dāng)S 趨近于0 時，R 趨近于∞，參考曲線設(shè)計原理，即當(dāng)滿足半徑從∞過渡到圓半徑時即認(rèn)為曲線完整，未從∞過渡到圓半徑時認(rèn)為不完整。

2.1 常規(guī)完整緩和曲線計算

針對完整緩和曲線的計算，相關(guān)教材中均給出了曲線計算公式，現(xiàn)以圖1 所示的曲線中進行分析。

完整緩和曲線計算過程中，ZH（HZ）點至JD 的切線方位角已知，設(shè)為α1；ZH（HZ）點坐標(biāo)已知，設(shè)為（X0、Y0）；ZH（HZ）里程已知，設(shè)為K1，需要求取曲線上任一點P（KP）點的坐標(biāo)。

根據(jù)教材內(nèi)容并結(jié)合圖1，過P 點（圖1 中P 點=HY（YH）點）處切線角β0 的計算公式如式（1）所示：

式（1）中，L′為待求點P 至起點曲線起點ZH（HZ）長度，R為圓曲線長度，Ls 為曲線起點ZH（HZ）至終點HY（YH）完整長度，且β0 以弧度為單位。

P 點在圖1 坐標(biāo)系下的坐標(biāo)計算公式如式（3）所示：

式（3）中x、y 分別代表P 點在圖1 中數(shù)學(xué)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，其他參數(shù)與式（1）中相同。

由上式可以計算得出起點待求點P 至ZH（HZ）之間的弦長L，如式（4）所示：

綜合式（1）、（2）可計算起點待求點P 至ZH（HZ）之間的坐標(biāo)方位角β=α1-δ0，結(jié)合式（4）可計算待求點P 點坐標(biāo)，如下式（5）所示：

2.2 不完整緩和曲線的計算

不完整緩和曲線在小半徑匝道線路設(shè)計時經(jīng)常出現(xiàn)，其半徑從圓半徑R 大過渡到R 小，設(shè)置形式如圖2 所示。

圖2 不完整緩和曲線示意圖

針對不完整緩和曲線，假設(shè)理論上存在一個ZH（HZ）點,如圖2 所示。假設(shè)已知條件：交點里程、交點坐標(biāo)、與前后交點之間的坐標(biāo)方位角、R 小值、R 大處或R 小處坐標(biāo)、R 大處或R 小處里程，以此為基礎(chǔ)求取曲線上任一點P（KP）點的坐標(biāo)。

假設(shè)假定ZH（HZ）點至實際緩和曲線起點之間緩和曲線長度為L1，實際緩和曲線長度為L2、ZH（HZ）點至HY（YH）點完整緩和曲線長度為LS，根據(jù)緩和曲線參數(shù)方程：

依據(jù)式（6）可計算得出LS，繼而LS-L2 求得L1 值，再代入緩和曲線參數(shù)方程：

依據(jù)式（7）可計算得出R 大，依據(jù)L1 可計算R 大處里程，至此即可利用線元法套入Gauss-Legendre 公式直接計算曲線上任一待求點的坐標(biāo)。

結(jié)合式（1）、（2）可計算R 大處切線角βR 大以及緩和曲線偏角δR 大的值，同時可以計算R 大處bR 大的值，如式（8）所示：

結(jié)合已知條件中該交點與前后交點之間的坐標(biāo)方位角以及求得的bR 大值，可以計算R 大處至假定ZH（HZ）點之間的坐標(biāo)方位角，再結(jié)合求得的δR 大的值即可計算假定ZH（HZ）點至JD 之間的坐標(biāo)方位角。

結(jié)合式（3）、（4）可計算R 大處至假定ZH（HZ）點之間弦長；結(jié)合式（5）即可計算得到假定ZH（HZ）點的坐標(biāo)值。

至此已將不完整曲線進行了還原，求取了假定ZH（HZ）點處里程、坐標(biāo)、以及切線方位角等數(shù)據(jù)，此時即可利用交點法進行曲線上任一待求點的坐標(biāo)。

3 工程實例

以作者參建的某高速公路項目一小半徑A 匝道設(shè)計曲線要素為例進行理論運用。設(shè)計曲線要素如表1 所示。

根據(jù)曲線要素表分析可知，該匝道設(shè)計線形為：JD1：起點（BP 點=HY 點）右轉(zhuǎn)至YH 點、再右轉(zhuǎn)至HZ 點；JD2：ZH（同上一曲線HZ 點）、左轉(zhuǎn)至HY 點、再左轉(zhuǎn)至YH 點；JD3:在R=240m與R=100m 兩個不同半徑的圓之間加設(shè)緩和曲線左轉(zhuǎn)過渡至HY 點、再左轉(zhuǎn)至YH 點、最后左轉(zhuǎn)至HZ 點；JD4：ZH（同上一曲線HZ 點）、右轉(zhuǎn)至HY 點、最后右轉(zhuǎn)至YH 點。其中EP 點既為A匝道終點同時也為JD4 控制范圍內(nèi)最后一段曲線YH 點。

根據(jù)曲線計算原理部分中的敘述：JD3 控制曲線范圍以內(nèi)在R=240m 與R=100m 兩個不同半徑的圓之間加設(shè)緩和曲線為不完整曲線。

為驗證不完整曲線還原理論方法，以下僅利用JD3 中提供的數(shù)據(jù)計算：

將A=145、R=100 代入A2=RS 可計算完整緩和曲線長度Ls=210.250m，實際緩和曲線段為122.646m，故假定ZH（HZ）點至實際緩和曲線起點處有210.250-122.646=87.604m 的理論長度，代入式（7），可求得此處緩和曲線的曲率半徑R′=240.000，與設(shè)計JD2 提供的曲線半徑完全相同。至此利用線元法進行電算時已具備完整輸入條件。

同時可結(jié)合曲線計算原理部分對不完整緩和曲線進行還原，還原出假定ZH（HZ）點的里程、坐標(biāo)及切線方位角。

依據(jù)JD3、JD2 坐標(biāo)可計算JD3 至JD2 之間的坐標(biāo)方位角：247°11′04″。依據(jù)JD3 坐標(biāo)、里程及切線長，可計算實際曲線起點處坐標(biāo)（8754.715，652.558）、里程：AK0+152.110。依據(jù)式（1）、（8）可計算b0=6°58′16.65″，故實際緩和曲線起點處至假定ZH 點之間的坐標(biāo)方位角為：254°09′20.65″、假定ZH（HZ）點處切線方位角為：77°38′28.98″。依據(jù)式（3）、（4）、（5）即可得到假定ZH（HZ）點坐標(biāo)數(shù)據(jù)（8730.834，568.413）。至此利用交點法進行電算時已具備完整輸入條件。

為驗證曲線還原方法的正確性，以上文中求得的假定ZH（HZ）點的里程、坐標(biāo)、切線方位角作為起算數(shù)據(jù)，以線元法進行電算驗證，以假定ZH（HZ）點推算BP 點坐標(biāo)，結(jié)果如表2 所示。

結(jié)合表1、表2 中BP 點坐標(biāo)值可以看出，ΔX=-1mm，ΔY=-6mm，誤差產(chǎn)生的原因主要由計算過程中取位精度導(dǎo)致，而非計算方法錯誤；同時對于高速公路匝道施工測量而言，數(shù)據(jù)精度也在可控范圍以內(nèi)。

表1 A 匝道設(shè)計曲線要素表（考慮布局問題，刪去前幾位坐標(biāo)）

表2 以假定ZH（HZ）點為起算數(shù)據(jù)推算BP 點坐標(biāo)成果統(tǒng)計

4 結(jié)論

本文結(jié)合曲線計算原理，對完整緩和曲線的計算進行了詳細(xì)說明，對不完整曲線的計算也提出了兩種方法：一是利用既有數(shù)據(jù)計算曲線不完整端的曲率半徑，為線元法電算提供已知數(shù)據(jù)；二是通過曲線還原，將假定ZH（HZ）點進行還原，求取其理論里程、坐標(biāo)以及切線方位角，并結(jié)合作者參建的某高速公路一小半徑匝道設(shè)計曲線要素進行了驗證，通過數(shù)據(jù)驗證，充分說明了計算方法的合理性，可為同類型曲線計算提供參考。