□ 金 城 □ 高 通 □ 懷天澍 □ 楊勝康

1.上海航天精密機(jī)械研究所 上海 2016002.西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 西安 710071

1 分析背景

可靠性是機(jī)械零部件的一個(gè)重要質(zhì)量指標(biāo)特征,受工況、零部件尺寸、安裝精度、材料參數(shù)等不確定因素影響。20世紀(jì)70年代初,蘇聯(lián)首先開展了機(jī)床可靠性研究,形成了機(jī)床可靠性基礎(chǔ)理論。20世紀(jì)80年代,美國也大力開展機(jī)床可靠性分析研究。我國在20世紀(jì)80年代末開始數(shù)控機(jī)床可靠性研究。機(jī)床可靠性是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn),主軸系統(tǒng)作為數(shù)控機(jī)床的核心部件之一,研究從未止步。目前,國內(nèi)外針對(duì)數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)的可靠性做了大量研究。張鵬[1]運(yùn)用故障樹分析與故障模式、影響及危害性分析方法分析了數(shù)控機(jī)床主傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性。張李鐵等[2]采用故障模式、影響及危害性分析方法,確定了數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)的故障模式和原因,為數(shù)控機(jī)床的維修策略提供了參考。籍永建等[3]對(duì)機(jī)床主軸常見的故障模式進(jìn)行了分析,并提出了提高主軸可靠性的措施。秦少軍等[4-5]對(duì)主軸可靠性的影響因素進(jìn)行了分析,建立可靠性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行主軸系統(tǒng)可靠性預(yù)測(cè)。李兆軍等[6]基于有限元法建立電機(jī)組主軸系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程,采用可靠性理論及模糊理論構(gòu)建振動(dòng)可靠性模糊模型。劉征[7]針對(duì)重型數(shù)控機(jī)床,基于不精確概率理論的混合不確定性統(tǒng)一量化框架,對(duì)機(jī)床的零部件進(jìn)行考慮多失效模式相關(guān)性的可靠性建模與分析。王德超等[8]采用模糊綜合評(píng)判法進(jìn)行分析,求得機(jī)床主軸系統(tǒng)的危害度,并對(duì)主軸系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性評(píng)價(jià)。胡軍[9]根據(jù)可靠性分析理論,運(yùn)用有限元分析軟件的概率設(shè)計(jì)功能,對(duì)數(shù)控導(dǎo)軌磨床的主軸進(jìn)行可靠性分析。劉智鍵等[10]針對(duì)機(jī)床主軸的可靠性預(yù)測(cè)需求,提出一種基于蒙特卡洛模擬法的機(jī)床主軸可靠度求解方法,有效進(jìn)行機(jī)床主軸的可靠性預(yù)測(cè)。以上學(xué)者圍繞可靠性分析方法、機(jī)床主軸系統(tǒng)可靠性分析、主軸系統(tǒng)失效形式等做了大量研究,并取得了許多重要研究成果,但是針對(duì)機(jī)床主軸系統(tǒng)的可靠性建模大多是基于數(shù)據(jù)的,當(dāng)獲得的數(shù)據(jù)較少或無法獲得數(shù)據(jù)時(shí),針對(duì)主軸系統(tǒng)可靠性建模的研究則較少。筆者將改進(jìn)一次二階矩法與克里金重要度抽樣方法相結(jié)合,提出基于改進(jìn)一次二階矩法和克里金重要度抽樣方法的考慮主軸軸承動(dòng)態(tài)磨損過程的數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)可靠性分析方法,提高了數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)可靠度的計(jì)算效率。

2 改進(jìn)一次二階矩法

改進(jìn)一次二階矩法又稱設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法,以功能函數(shù)的線性化泰勒展開點(diǎn)為設(shè)計(jì)點(diǎn),該點(diǎn)位于功能函數(shù)的失效面上,從根本上解決了一次二階矩存在的問題。

假設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為:

Z=gx(X)=0

(1)

式中:gx(X)為功能函數(shù);X為基本隨機(jī)向量。

Z>0,結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)。Z<0,結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)。Z=0,結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)。

假設(shè)x*為極限狀態(tài)面上的一點(diǎn),在x*點(diǎn)處依據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開并取一次項(xiàng),有:

Z=gx(x*)=0

(2)

(3)

基于符合相互獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量具有線性組合的性質(zhì),展開式ZL的均值μZL與標(biāo)準(zhǔn)差σZL分別為:

(4)

(5)

式中:σXi為Xi的標(biāo)準(zhǔn)差。

可靠度指標(biāo)β為:

(6)

(7)

(8)

式中:Yi為Xi的標(biāo)準(zhǔn)化變量。

基于變量靈敏度因數(shù)的方程式為:

(9)

(10)

可靠度指標(biāo)的幾何意義及設(shè)計(jì)點(diǎn)如圖1所示。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi),公式(10)為隨機(jī)變量的法線式超平面方程,其長度即為可靠度指標(biāo)β。極限狀態(tài)面上的點(diǎn)x*即為設(shè)計(jì)點(diǎn)[11]。

▲圖1 可靠度指標(biāo)幾何意義及設(shè)計(jì)點(diǎn)

設(shè)計(jì)點(diǎn)x*在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中可以表示為:

(11)

將設(shè)計(jì)點(diǎn)轉(zhuǎn)換到原始空間中,有:

(12)

根據(jù)上述分析,經(jīng)反復(fù)迭代求解,直至求得滿足迭代要求的可靠度指標(biāo)。結(jié)構(gòu)的可靠度R為:

R=φ(β)

(13)

式中:φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的累積分布函數(shù)。

3 克里金模擬方法

克里金模擬方法是一種改進(jìn)的線性回歸分析技術(shù),由線性回歸部分和非參數(shù)部分兩部分組成,具體模型為:

g(x)=F(β1,x)+z(x)=f(x)Tβ1+z(x)

(14)

式中:g(x)為輸出響應(yīng);F(β1,x)為變量β1、x的多項(xiàng)式;f(x)T為變量x的多項(xiàng)式;β1為回歸因數(shù);z(x)提供模擬局部偏差的近似。

z(x)是均值為零的平穩(wěn)高斯過程,但是該高斯過程的協(xié)方差不為零,即z(x)同分布不獨(dú)立,空間內(nèi)任意兩點(diǎn)x、w的協(xié)方差為:

(15)

高斯相關(guān)函數(shù)的計(jì)算效率較高,而且其應(yīng)用范圍是最廣泛的。高斯相關(guān)函數(shù)為:

(16)

式中:xi和wi為空間內(nèi)任意兩點(diǎn)x、w的第i個(gè)分量;θi為相關(guān)性參數(shù);δi為光滑程度參數(shù),一般取2,表示相關(guān)方程式無限可微。

給定訓(xùn)練樣本[x(1),x(2),…,x(p)],x(i)是R域上的第i個(gè)樣本點(diǎn),訓(xùn)練樣本點(diǎn)的響應(yīng)為:

Y=[y1,y2,…,yp]

(17)

(18)

(19)

(20)

克里金模型確定之后,可以通過確定的模型預(yù)測(cè)未知點(diǎn)的響應(yīng)。假定樣本點(diǎn)為x,基于已經(jīng)確定的模型,可以估計(jì)出新樣本的響應(yīng)值?？死锝痤A(yù)測(cè)值的計(jì)算公式如下:

(21)

(22)

(23)

克里金模擬方法是一種精確的插值方法,任意已知訓(xùn)練點(diǎn)x(i)的預(yù)測(cè)值G(x(i))是準(zhǔn)確的,即:

(24)

4 結(jié)構(gòu)可靠性分析

結(jié)構(gòu)失效屬于小概率事件,對(duì)小概率事件進(jìn)行評(píng)估是比較困難的。結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)越復(fù)雜,就越能反映真實(shí)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)變量下的響應(yīng),但是復(fù)雜的功能函數(shù)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率下降。針對(duì)以上難點(diǎn),筆者提出克里金重要度抽樣方法,將克里金插值與克里金重要度抽樣方法相結(jié)合,基于已知信息及克里金模擬方法建立的插值模型來對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行模擬,所需的評(píng)估模型通過少量訓(xùn)練樣本即可確定,對(duì)未知樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度比較高?？死锝鹬匾瘸闃臃椒鞒虉D如圖2所示。

(1) 基于改進(jìn)的一次二階矩迭代求解狀態(tài)方程的設(shè)計(jì)點(diǎn)。

(3) 初始數(shù)值試驗(yàn)設(shè)計(jì)。這一步驟的主要目的是確定克里金模型的訓(xùn)練樣本。為了減少模擬過程中的計(jì)算量,將步驟(1)計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)過程中產(chǎn)生的樣本和對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值作為初始訓(xùn)練樣本及對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

(4) 基于數(shù)值試驗(yàn)設(shè)計(jì)建立克里金模型。DACE工具箱是應(yīng)用于軟件的克里金工具箱,被廣泛應(yīng)用于克里金模型建立及分析中。本方法基于已知的訓(xùn)練樣本及對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng),采用DACE工具箱建立克里金模型。

▲圖2 克里金重要度抽樣方法流程

(7) 學(xué)習(xí)停止條件。通過設(shè)置合理的學(xué)習(xí)停止條件來保證克里金模型的有效性。定義使學(xué)習(xí)函數(shù)最小的那個(gè)樣本對(duì)應(yīng)的U值大于等于2時(shí),學(xué)習(xí)停止,此時(shí)表示將所有樣本正確分在安全域和失效域的概率大于97.7%,即結(jié)構(gòu)失效概率可靠度為97.7%。

(8) 擴(kuò)大數(shù)值試驗(yàn)設(shè)計(jì)。若步驟(7)中的學(xué)習(xí)停止條件不滿足,則將學(xué)習(xí)函數(shù)值最小的那個(gè)樣本增加到數(shù)值試驗(yàn)設(shè)計(jì)中,然后基于新生成的訓(xùn)練樣本點(diǎn)重新訓(xùn)練克里金模型,直至步驟(7)中的學(xué)習(xí)停止條件滿足。

(9) 計(jì)算失效概率變異因數(shù)。若步驟(7)中的學(xué)習(xí)停止條件滿足,表明在步驟(2)中生成的樣本量下計(jì)算出了滿足學(xué)習(xí)條件的失效概率,但是該樣本量是否已經(jīng)足夠大,所得到的結(jié)構(gòu)失效概率是否可靠,仍需探討,同時(shí)計(jì)算預(yù)測(cè)的失效概率變異因數(shù)。

(10) 更新樣本群。為了保證通過克里金預(yù)測(cè)的結(jié)構(gòu)失效概率是可靠的,若計(jì)算的失效概率變異因數(shù)過大,則需要增加樣本數(shù)量?；诓襟E(3)訓(xùn)練的克里金模型,對(duì)更新后的樣本計(jì)算克里金均值及克里金方差,直至失效概率變異因數(shù)足夠小。此時(shí),通過克里金預(yù)測(cè)的結(jié)構(gòu)失效概率即為最終的結(jié)果。

5 應(yīng)用實(shí)例分析

筆者采用某型號(hào)數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)作為應(yīng)用實(shí)例研究對(duì)象,其主軸結(jié)構(gòu)如圖3所示。主軸系統(tǒng)采用的角接觸球軸承型號(hào)為7210B,具體參數(shù)見表1。采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真計(jì)算。

表1 角接觸球軸承參數(shù)

建立主軸系統(tǒng)的功能函數(shù)為g(u):

g(u)=0.001-Δ′

(25)

式中:Δ′為由磨損引起的主軸軸端徑向跳動(dòng)。

該精密數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)允許的最大徑向跳動(dòng)為0.001 mm。

經(jīng)分析,確定主軸系統(tǒng)可靠性功能函數(shù)的隨機(jī)變量為:

uT=[Db,Di,Do,α0,λ]

(26)

通過計(jì)算及查閱相關(guān)資料,獲取各隨機(jī)變量的均值,根據(jù)公差標(biāo)準(zhǔn)確定各幾何尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差。主軸系統(tǒng)各隨機(jī)變量均值與標(biāo)準(zhǔn)差見表2。

表2 主軸系統(tǒng)各隨機(jī)變量均值及標(biāo)準(zhǔn)差

針對(duì)可靠性功能函數(shù),基于表2,采用改進(jìn)一次二階矩法和克里金重要度抽樣方法計(jì)算主軸系統(tǒng)可靠度,并與蒙特卡洛模擬法進(jìn)行對(duì)比,可靠度及失效率曲線分別如圖4、圖5所示。蒙特卡洛模擬法與克里金重要度抽樣方法可靠度計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表3。

▲圖4 主軸系統(tǒng)可靠度曲線

▲圖5 主軸系統(tǒng)失效率曲線

由圖4、圖5、表3可以看出,主軸系統(tǒng)隨著服役時(shí)間的推移,可靠度呈現(xiàn)出不同的狀態(tài)。0時(shí)刻時(shí),主軸系統(tǒng)的可靠度為1。當(dāng)服役時(shí)間小于1×105min時(shí),主軸系統(tǒng)的可靠度曲線較為平穩(wěn),主軸系統(tǒng)的可靠度變化不大。當(dāng)服役時(shí)間為4.2×105min時(shí),可靠度降為0.52。

表3 主軸系統(tǒng)可靠度計(jì)算結(jié)果對(duì)比

克里金重要度抽樣方法與直接蒙特卡洛模擬法的計(jì)算結(jié)果誤差不大,表中給出的結(jié)果中最大誤差產(chǎn)生于服役時(shí)間為2.94×105min時(shí),計(jì)算誤差為1.36%,但是克里金重要度抽樣方法的抽樣次數(shù)遠(yuǎn)少于蒙特卡洛模擬法,即采用克里金重要抽樣度方法計(jì)算主軸系統(tǒng)可靠度時(shí),具有較高的計(jì)算效率。

根據(jù)圖4及圖5可得,主軸系統(tǒng)的可靠度隨著服役時(shí)間的推移不斷降低。隨著軸承磨損量的增大,引起主軸系統(tǒng)軸端徑向跳動(dòng)量呈增大趨勢(shì),導(dǎo)致主軸系統(tǒng)向性能退化方向發(fā)展,從而表現(xiàn)出主軸的可靠度呈不斷下降趨勢(shì)。在分析過程中,沒有考慮主軸零件的缺陷、工藝及質(zhì)量控制等其它失效形式,僅對(duì)軸承疲勞磨損引起的主軸軸端徑向跳動(dòng)進(jìn)行分析,因此主軸系統(tǒng)的失效率曲線具有浴盆曲線中后半段的特性。

6 結(jié)束語

筆者為提高計(jì)算效率,將克里金重要度抽樣方法與克里金模擬方法相結(jié)合,提出了基于克里金重要度抽樣方法的數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)可靠性分析方法。將計(jì)算結(jié)果與蒙特卡洛模擬法、改進(jìn)一次二階矩法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果表明,基于克里金重要度抽樣方法計(jì)算主軸系統(tǒng)的可靠度,效率明顯提高,主軸系統(tǒng)的可靠度隨著服役時(shí)間的推移而下降。