王剛 杜亞雯 董全林

摘 要： 為解決滾轉角穩(wěn)定控制系統設計參數難以選取的問題，提出一種新的設計方法。在動力學建模與誤差分析的基礎上，根據滾轉通道的特點對閉環(huán)特征方程進行了簡化。利用傳遞函數標準型將控制系統設計問題轉化為參數優(yōu)化問題， 給出了利用遺傳算法綜合設計指標、優(yōu)化計算參數的方法。算例表明，利用遺傳算法設計的滾轉角穩(wěn)定控制系統具有良好的性能。

關鍵詞：滾轉角穩(wěn)定控制系統;控制器設計;參數優(yōu)化;傳遞函數標準型;遺傳算法

中圖分類號：TJ765.2?? 文獻標識碼： A? 文章編號：1673-5048（2021）03-0109-06

0 引? 言

一般來說，軸對稱導彈的橫向靜穩(wěn)定度很小，產生的恢復力矩也很小。彈體外形的不對稱會產生滾轉力矩，在飛行的初始階段，滾轉角速度有增大的趨勢，阻尼力矩也隨之增大，直到與滾轉力矩平衡為止，導彈保持一定的滾轉角速度，滾轉角的趨勢是發(fā)散的[1]。

對于采用側滑轉彎（STT）三通道控制的導彈來說，保持飛行過程中滾轉角在0°附近能夠減少俯仰、偏航通道的交叉耦合，實現三通道分離設計[2]。

舵機的指標也與滾轉通道密切相關。為使三通道控制正常工作，滾轉駕駛儀應設計得比側向駕駛儀快，舵機的帶寬、最大角速度等指標主要取決于滾轉通道。

對于垂直發(fā)射的導彈，為了實現全向快速轉彎，通常控制系統首先需要進行滾轉角穩(wěn)定控制，使彈體縱對稱面與發(fā)射平面重合[3]。

在進行滾轉角穩(wěn)定控制系統設計時，難點是確定設計參數的取值。通常在設計時將內外回路分離[4]，利用根軌跡法分別設計阻尼回路與位置回路的參數。這一過程較復雜，且難以獲得最優(yōu)設計參數。傳統的參數設計方法通常不考慮舵機動力學或將舵機視為簡單的1階環(huán)節(jié)[5]，這樣得到的設計參數受舵機性能的影響較大。當舵機延遲較大時，控制回路可能會產生大幅振蕩甚至失穩(wěn)。本文在設計時將舵機視為二階系統，這更接近于舵機的動力學模型情況。針對設計參數難以選取的問題，本文利用傳遞函數標準型引入計算參數，將控制器設計問題轉化為計算參數優(yōu)化問題。計算參數有清晰的物理意義及確定的取值范圍，與系統閉環(huán)特征根位置及動態(tài)性能密切相關，更加便于進行控制器的設計。本文詳細介紹了利用遺傳算法對計算參數進行全局尋優(yōu)的方法，包括參數編碼方式、適應度函數、約束函數的選取以及遺傳操作過程等，這是在工程上非常實用的方法。

1 滾轉角穩(wěn)定控制系統模型

1.1 滾轉通道動力學模型

不考慮干擾力矩時，滾轉通道動力學方程表示為[6]

γ¨=-cωγ·-cδδx（1）

式中：γ·為滾轉角速度; γ¨為滾轉角加速度;cω 為由滾轉角速度產生的滾轉阻尼力矩，其表達式為cω=-MωxxJx， Mωxx<0，cω>0;cδ 為由副翼舵偏角產生的滾轉操縱力矩，cδ=MδxxJx，若規(guī)定正的副翼舵偏角產生負的滾轉控制力矩，則，Mδxx<0， cδ>0;δx為副翼舵偏角。

根據式（1）得到由副翼舵偏角到滾轉角速度的傳遞函數為

γ·（s）δx（s）=krTrs+1（2）

式中：kr是傳遞函數的穩(wěn)態(tài)增益，kr=-cδcω，kr<0;Tr是

動力學時間常數，Tr=1cω。

根據舵機模型及其動力學模型可得到被控對象傳遞函數框圖如圖1所示。

其中：δxc為副翼舵指令;ks為舵機增益，根據前文的規(guī)定，ks=-1;ωs為舵機頻率;ξs為舵機阻尼比;δxa為舵機輸出的副翼舵偏角;δB為干擾力矩等效的舵偏角，δB=LMδxx，L為干擾力矩，Mδxx為舵機效率。

根據圖1，可得滾轉角輸出和副翼舵指令之間的傳遞函數為

γδxc=kss2ω2s+2ξsωss+1 krTrs+1 1s（3）

該傳遞函數是控制系統開環(huán)傳遞函數的一部分。由式（3）可知，控制系統固有環(huán)節(jié)的相角滯后已接近180°，系統的相角裕度不大，設計穩(wěn)定控制系統需要設法增加相角超前環(huán)節(jié)[7]。

1.2 控制系統框圖

常見的三通道控制導彈上均裝有三軸速率陀螺，可以通過速率陀螺測量的滾轉角速度作為反饋信號，構成閉環(huán)控制系統來提高系統的相角裕度。根據被控對象傳遞函數可以得出轉速反饋閉環(huán)控制系統，如圖2所示[8]。

圖中：Kγ·為阻尼回路增益;Gk（s）為位置環(huán)控制器。

盡管目前智能控制算法已經得到廣泛的應用，但是

在導彈的工程實踐中，還是以經典控制為主。本文以工程實踐為背景，選擇PID控制。常用的位置環(huán)控制器有P控制器與PI控制器兩種。

P控制器：Gk（s）=Kγ，Kγ為比例環(huán)節(jié)增益。

PI控制器：Gk（s）=Kγ1+KIs，KI為積分環(huán)節(jié)增益。

要設計的參數就是Kγ，Kγ·，KI。

2 設計指標及誤差分析

2.1 控制器設計指標

滾轉角穩(wěn)定控制系統的任務主要是消除因干擾產生的滾轉角誤差，保持執(zhí)行坐標系與測量坐標系間的相位關系。

滾轉角穩(wěn)定控制系統的主要設計指標包括：

（1）允許的最大滾轉角偏差為1°，

指在各種干擾作用下，系統允許的最大滾轉角誤差;

（2）誤差角消除時間為te≤0.4 s，

指消除70%的最大滾轉角誤差所需的時間;

（3）穩(wěn)定性：相位裕度不小于45°，幅值裕度不小于6 dB。

2.2 誤差分析

滾轉角穩(wěn)定控制系統指令跟蹤性能一般不是考慮的重點，設計時應著重考慮干擾力矩對滾轉角誤差的影響[9]，因此，控制系統輸入選取干擾舵偏角δB，輸出選取Δγ或γ。實際上，由于指令為0，Δγ與γ是反向的，無論選哪個變量做輸出，不影響分析結論。為更具一般性，采用PI控制器進行分析。由圖2可得，從干擾到誤差的傳遞函數：

en=Δγ（s）δB（s）=

-krs（Trs+1）

1+kss2ω2s+2ξsωss+1krTrs+1

Kγ·+Kγ1+KIs1s

（4）

根據終值定理，干擾為單位階躍時的穩(wěn)態(tài)誤差為

essn=lims0sen1s=lims01ksKγ+ksKγKIs

（5）

采用PI控制器時，由于控制器積分項的存在，essn=0，系統沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差，最終的穩(wěn)態(tài)誤差為0。但是，這并不意味著系統最大滾轉角誤差滿足指標要求。當干擾舵偏角加入系統后，系統會產生滾轉角誤差，最大誤差近似為

essn=-1ksKγ=1Kγ（6）

隨著積分環(huán)節(jié)開始作用，誤差逐步消除，最終為0。

如果采用P控制器，穩(wěn)態(tài)誤差表達式與式（6）相同。然而采用P控制器，控制系統是一個有差系統。

假設導彈飛行過程中，可能出現的最大干擾力矩為L，等效的干擾舵偏角輸入為δB=LMδxx，對應的穩(wěn)態(tài)誤差應滿足指標要求，LMδxx1Kγ≤157.3， 則有

Kγ≥57.3LMδxx（7）

可見，只要選擇足夠大的位置環(huán)增益，采用比例控制能夠滿足穩(wěn)態(tài)誤差要求。實際設計過程中，可根據式（7），確定設計參數Kγ的取值下限。

2.3 設計參數與性能指標的關系

控制系統的設計參數包括：KI、Kγ與Kγ·，設計參數與系統指標的關系如下：

（1） 由式（6）可知，Kγ決定了系統在干擾輸入情況下可能出現的最大滾轉角誤差和誤差角消除時間;

（2）? 由式（5）可知，KIKγ之積決定了控制器積分項消除滾轉角偏差的速度，與誤差角消除時間指標密切相關;

（3） 由圖2可知，Kγ·為系統帶來了超前反饋，決定了系統的穩(wěn)定性，與穩(wěn)定性指標密切相關。

3 控制器設計及參數優(yōu)化

3.1 控制器設計問題的轉化

實際操作過程中，由于設計參數與性能指標之間沒有定量對應關系，直接利用設計參數進行調試難度較大，給控制器的設計帶來了困難。為了解決這一問題，本文將系統閉環(huán)傳遞函數化為標準型[10]，通過標準型定義一組計算參數，利用待定系數法求得設計參數與計算參數之間的關系，將問題轉化為尋找滿足系統指標的計算參數。計算參數有清晰的物理意義及確定的取值范圍，與系統閉環(huán)特征根位置及動態(tài)性能密切相關，更加便于進行參數調試。

以PI控制器為例，根據閉環(huán)系統框圖，可得從系統的閉環(huán)傳遞函數為

（10）

式中：τ為一階根時間常數;ξH，ωH為高頻二階根阻尼比及固有頻率;ξL，ωL為低頻二階根阻尼比及固有頻率。稱τ，ξH，ωH，ξL，ωL為計算參數?？梢酝ㄟ^給定計算參數的值來獲得設計參數，輔助進行設計。

由于舵機頻率ωs一般數值較大，滾轉通道時間常數Tr一般較小，故Trω2skskrKγKI的值一般也很小，也就是一階根的時間常數τ很小。由于一階根距離虛軸很遠，不是系統的主導極點，只影響系統高頻性能，對系統設計頻段的動態(tài)性能影響不大。因此在分析時可以忽略分母的5次項，從而系統閉環(huán)傳遞函數可近似為

可見：

（1） 計算參數ξH，ωH，ξL，ωL不是獨立變量，給定其中任意3個值，可由式（12）得到另外1個計算參數的值，從而得到全部設計參數的值;

（2） 計算參數中有兩個阻尼項ξH和ξL，取值范圍一般在0到1之間，低頻根的自然頻率ωL一般不會超過舵機頻率的1/3，均具有明確的物理意義和取值范圍，因此可以選擇ξH，ξL和ωL作為計算參數;

（3） 由于在計算過程中，只忽略了小時間常數的1階環(huán)節(jié)，所以由設計參數得到的特征根與原始系統的根非常接近，能夠較真實地反映系統根的分布情況。

通過以上過程，將選取設計參數KI，Kγ與Kγ·的問題轉化為選取合適的計算參數ξH，ξL，ωL的問題。

3.2 基于遺傳算法的計算參數優(yōu)化

在選擇計算參數時，需要綜合考慮最大滾轉角誤差、誤差角消除時間和相位裕度、幅值裕度、開環(huán)截止頻率等設計指標，本質上是一個復雜的非線性、多約束、多目標參數優(yōu)化問題[11]。通過傳統的優(yōu)化方法很難得到全局最優(yōu)解，遺傳算法是解決這類問題的有力工具[12]。

遺傳算法在求解時按照特定的編碼方式，在滿足約束函數的前提下，以適應度函數為目標，采用概率的變遷規(guī)則來自動調整參數搜索的方向，從而進行全局參數尋優(yōu)。其優(yōu)點是搜索過程不易陷入局部最優(yōu)，能夠快速可靠地解決復雜參數優(yōu)化問題。遺傳算法優(yōu)化的重點在于參數編碼方式、適應度函數、約束函數的選取以及遺傳操作過程[13]。

（1） 參數編碼方式

遺傳算法處理的是參數的編碼，而非參數本身，算法并不理解參數的含義。常見的參數編碼方式有兩種：二進制編碼與浮點編碼。二進制編碼是遺傳算法中最主要的編碼方式，具有編解碼、交叉、變異等操作簡單等優(yōu)點。浮點數編碼則使用決策變量的真值，便于較大空間的遺傳搜索，運算效率高，可處理復雜的決策變量約束條件。由于滾轉角穩(wěn)定控制系統優(yōu)化時需要處理復雜的非線性約束條件，因此采用浮點數編碼更為合適。

滾轉角穩(wěn)定控制系統的優(yōu)化參數是ξH，ξL，ωL，均有確定的取值范圍，一般來說，ξL>0， ξH<1，0<ωL<ωs/3。進行參數優(yōu)化時，為提高搜索效率，需要對參數進行歸一化處理，由于ξH，ξL取值范圍已在（0，1）區(qū)間，因此，只需對ωL進行歸一化處理即可，將3ωL/ωs作為優(yōu)化參數計算。

（2） 適應度函數選取

適應度函數是遺傳算法優(yōu)化的目標函數，遺傳算法按照使適應度函數最小的方向進行參數尋優(yōu)，因此，適應度函數在選擇時需要綜合考慮多個設計指標，本質上是一個多目標優(yōu)化問題[14]。

最大滾轉角偏差指標與設計參數Kγ密切相關，近似呈反比;誤差角消除時間指標與設計參數KγKI乘積密切相關，KγKI越大，積分環(huán)節(jié)的增益越大，會產生更大的控制信號，更快地消除誤差。

適應度函數在選取時可綜合考慮這兩個指標，在滿足穩(wěn)定裕度與截止頻率的前提下，選取盡量大的Kγ和KI值，通過構造合適的權重系數，可將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題[15]。適應度函數可以選擇為

u=k1Kγ+k2KγKI

k1<0

k2<0? （13）

（3） 約束函數選取

約束函數是遺傳算法參數尋優(yōu)過程中必須滿足的等式或不等式關系，在本例中，可將幅值裕度、相角裕度和截止頻率等要求用約束函數來處理，滾轉角穩(wěn)定控制系統的非線性約束條件可以表示為

6-Gm≤0

45-Pm≤0

ωCR-ωs/3≤0

1-ωCR≤0? （14）

式中：Gm為幅值裕度;Pm為相角裕度;ωCR為截止頻率;ωs為舵機頻率。

（4）? 遺傳操作

a. 創(chuàng)建初始種群。

創(chuàng)建由50個成員組成的初始種群，生成初始種群時，設置合適的范圍可提高遺傳算法的搜索效率。根據滾轉角穩(wěn)定控制系統的特點，將初始種群ξH， ξL參數限制在0.5附近，3ωL/ωs限制在0.3附近。

b. 計算種群個體的適應度值，根據適應度值為每個成員打分。

為避免初始種群界限的影響，保持種群的多樣性，為成員打分時依據適應度值排序，取排序后成員在隊列中的序號作為其得分，種群中最適應的個體得分為1，第2名得分為2，以此類推。

c. 選擇父輩進行遺傳操作產生子輩。

根據每個成員的得分值，采用隨機均勻函數法選擇父輩，進行遺傳操作產生子輩，遺傳操作包括：

復制：將父輩的基因直接遺傳到子輩，這些成員稱為精英子輩。為防止算法早衰，進行優(yōu)化時，僅將排名前3的父輩基因直接遺傳給精英子輩。

交叉：將兩個父輩的某些基因進行交換形成子輩，使得子輩從不同的父輩中遺傳優(yōu)良基因，這是遺傳算法的主要操作。進行優(yōu)化時，約80%的子輩由交叉生成，交叉的方法采用兩點法。

變異：由一個父輩在某些基因位隨機變異產生子輩，變異可以使遺傳算法具備一定的隨機性，能夠保持種群的多樣性，在更大的搜索空間尋優(yōu)。優(yōu)化時采用的方法是將一個高斯分布的隨機數加到父輩向量的每一項上，為使算法收斂，每一代的變異子輩的數量將逐漸減少。

d. 用子輩形成新種群，繼續(xù)進行遺傳操作。

e. 算法收斂后退出操作，得到最優(yōu)解。

4 仿真驗證

某正常式布局導彈動力學系數為：cω=226.48 s-1，cd=4 496.62 s-2;舵機動力學參數為：ωs=62.8 rad/s，ks=-1，ξs=0.7。

采用遺傳算法進行參數優(yōu)化，為提高搜索效率，根據滾轉角穩(wěn)定控制回路特點對初始參數取值范圍進行限制，令ξL>0.49， ξH<0.51，? 0.29<3ωL/ωs<0.31。優(yōu)化時，參數的取值范圍設為：ξL>0， ξH<1，0<3ωL/ωs<1;

適應度函數選為：u=-170Kγ-KγKI; 約束函數選為

6-Gm≤0

45-Pm≤0

ωCR-20≤0

1-ωCR≤0

（15）

計算參數優(yōu)化的結果：ξH=0.542，ξL=0. 603，ωL=12.57。適應度函數與計算參數的變化如圖3～6所示。

與計算參數對應的設計參數值為：KI=8.674 1，Kγ·=0.024 4，Kγ=1.013。利用Simulink建立系統模型并完成仿真，可得系統單位階躍響應如圖7所示，舵信號如圖8所示，開環(huán)波特圖如圖9所示，系統閉環(huán)零、極點如圖10所示。

仿真結果表明：滾轉角穩(wěn)定控制系統的設計的最大誤差角不超過0.8°，誤差角消除時間約0.25 s，相角裕度61.4°，幅值裕度17.9 dB，具有良好的性能。

5 結? 論

對于采用STT控制、三通道分離設計的導彈來說，滾轉角穩(wěn)定控制系統的作用主要是消除干擾力矩引起的誤差角，控制系統設計的難點在于確定設計參數取值。利用傳遞函數標準型引入計算參數，可以將控制系統設計問題轉化為計算參數優(yōu)化問題。計算參數物理概念清晰，有確定的取值范圍，利用遺傳算法可快速獲得近似最優(yōu)解。算例表明，利用這種方法設計的滾轉角穩(wěn)定控制系統具有良好的性能。

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A Design Method of Roll Angle Stability Control System

Wang Gang1， Du Yawen2， Dong Quanlin2*

（1. Jiangnan Industries Group Co. Ltd.， Changsha 410205， China;

2. School of Instrumentation Science and Opto-Electronics Engineering，Beihang University，Beijing 100191， China）

Abstract： To solve the problem of difficult selection of design parameters for roll angle stability control system， a new design method is proposed. On the basis of dynamic modeling and error analysis， the closed-loop characteristic equation is simplified according to the characteristics of roll channel. The standard form of transfer function is used to convert the control system design problem to parameter optimization problem. The method of synthesizing design indexes and optimizing design parameters by using genetic algorithm is given. Example shows that the roll angle stability control system designed by genetic algorithm has good performance.

Key words：? roll angle stability control system;controller design;parameter optimization;standard form of transfer function;genetic algorithm

收稿日期：2019-06-01

作者簡介：王剛（1981-），男，河北高陽人，高級工程師，研究方向為導彈制導控制系統設計。

通訊作者：董全林（1964-），男，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博士生導師，研究方向為超顯微儀器技術、慣性導航與制導。