劉家良

商人們總是希望投資少利潤大. 其實，與利潤最大值、投資最小值有關(guān)的方案設(shè)計問題，都可以借助一次函數(shù)知識來解決.

例1（2020·湖南·懷化）某商場計劃采購甲、乙兩種不同型號的平板電腦共20臺，已知甲型平板電腦進(jìn)價為1600元，售價為2000元;乙型平板電腦進(jìn)價為2500元，售價為3000元.

（1）設(shè)該商場購進(jìn)甲型平板電腦x臺，請寫出全部售出后該商店獲利y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

（2）若該商場采購兩種平板電腦的總費用不超過39 200元，全部售出所獲利潤不低于8500元，請設(shè)計出所有采購方案，并求出使商店獲得最大利潤的采購方案及最大利潤.

分析：（1）由題意可求甲、乙型平板電腦售出后每臺各自獲利，欲求20臺平板電腦全部售出后的獲利，需由甲型平板電腦的售出量求得乙型平板電腦的售出量;（2）由甲、乙型平板電腦每臺的進(jìn)價、數(shù)量并結(jié)合題意得采購費用的不等式，由獲利函數(shù)式并結(jié)合題意得利潤的不等式，組成不等式組，求得解集，并結(jié)合x為正整數(shù)，得到x的整數(shù)值，即得采購方案，再由一次函數(shù)的增減性得到最大利潤.

解：（1）由題意得y = （2000 - 1600）x + （3000 - 2500）（20 - x） = - 100x + 10 000.

即全部售出后該商場獲利y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y = - 100x + 10 000.

（2）由題意得[1600x+2500（20-x）≤39 200，-100x+10 000≥8500.]解得12 ≤ x ≤ 15. ∵x為正整數(shù)，∴x = 12，13，14，15.

共有四種采購方案：①甲型平板電腦12臺，乙型平板電腦8臺;②甲型平板電腦13臺，乙型平板電腦7臺;③甲型平板電腦14臺，乙型平板電腦6臺;④甲型平板電腦15臺，乙型平板電腦5臺.

∵y = - 100x + 10 000，且 - 100<0，∴y隨x的增大而減小.

當(dāng)x = 12時，y有最大值，y最大值 = - 100 × 12 + 10 000 = 8800.

即采購甲型平板電腦12臺、乙型平板電腦8臺時商場獲得最大利潤，最大利潤是8800元.

例2（2020·云南）眾志成城抗疫情，全國人民在行動. 某公司決定安排大、小貨車共20輛，運送260噸物資到A地和B地，支援當(dāng)?shù)乜箵粢咔? 每輛大貨車裝15噸物資，每輛小貨車裝10噸物資，這20輛貨車恰好裝完這批物資. 已知兩種貨車的運費如表1，現(xiàn)安排上述裝好物資的20輛貨車（每輛大貨車裝15噸物資，每輛小貨車裝10噸物資）中的10輛前往A地，其余前往B地，設(shè)前往A地的大貨車x輛，這20輛貨車總運費為y元.

（1）20輛貨車中大貨車、小貨車各幾輛？

（2）求y與x的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍.

（3）若運往A地的物資不少于140噸，求總運費y的最小值.

分析：（1）由大、小貨車的數(shù)量，每輛車的載重量及貨物總量可得方程，解方程求得大、小貨車的數(shù)量.

（2）總運費為大、小貨車的運費和，可用列表格的方式將大、小貨車去往A，B兩地各自的車輛數(shù)量、運費展現(xiàn)出來，如表2.

表2

[車型 目的地 A地運費/元 B地運費/元 大貨車 900x 1000 × （12 - x） 小貨車 500（10 - x） 700 × [10 - （12 - x）] ]

（3）由運往A地物資的大、小貨車的數(shù)量，每輛車的載重量結(jié)合題意列出不等式，求得解集，結(jié)合x為正整數(shù)求得x的整數(shù)值，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得運費的最小值.

解：（1）設(shè)大貨車有a輛，則小貨車有（20 - a）輛，

根據(jù)題意得15a + 10（20 - a） = 260，解得a = 12. ∴20 - a = 8.

即大貨車有12輛，小貨車有8輛.

（2）由題意得y = 900x + 1000（12 - x） + 500（10 - x） + 700[10 - （12 - x）] = 100x + 15 600.

由題意得[x≥0，12-x≥0，10-x≥0，10-（12-x）≥0.]解得2 ≤ x ≤ 10，且x為整數(shù).

（3）由15x + 10（10 - x） ≥ 140，解得x ≥ 8.

∵x ≤ 10，∴ 8 ≤ x ≤ 10，且x為整數(shù). ∵y = 100x + 15 600，k = 100>0，∴y隨x的增大而增大.

當(dāng)x = 8時，y取最小值，最小值為y = 100 × 8 + 15 600 = 16 400.

使總運費最少的調(diào)配方案是：8輛大貨車、2輛小貨車前往A地，4輛大貨車、6輛小貨車前往B地.最少運費為16 400元.

以上兩例，著實讓我們感悟到求一次函數(shù)的最值是獲取各類問題的最佳方案的切入點.

同步演練

某商場準(zhǔn)備購進(jìn)A，B兩種型號電腦，每臺A型號電腦進(jìn)價比每臺B型號電腦多500元，用40 000元購進(jìn)A型號電腦的數(shù)量與用30 000元購進(jìn)B型號電腦的數(shù)量相同，請解答下列問題：（1）A，B型號電腦每臺進(jìn)價各是多少元？（2）若每臺A型號電腦售價為2 500元，每臺B型號電腦售價為1 800元，商場決定同時購進(jìn)A，B兩種型號電腦20臺，且全部售出，請寫出所獲利潤y（單位：元）與A型號電腦x（單位：臺）的函數(shù)關(guān)系式，若商場用不超過36 000元購進(jìn)A，B兩種型號電腦，A型號電腦至少購進(jìn)10臺，則有幾種購買方案？（3）在（2）問的條件下，用不超過所獲得的最大利潤的資金再次購買A，B兩種型號電腦捐贈給某個福利院，請直接寫出捐贈A，B型號電腦總數(shù)最多是多少臺.

答案：（1）A型電腦每臺進(jìn)價2000元，B型電腦每臺進(jìn)價1500元.（2）y = 200x + 6000，三種購買方案：甲10臺，乙10臺;甲11臺，乙9臺;甲12臺，乙8臺.（3）最多5臺.