韓 樂，王延榮，2

（1.北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京100083；2.北京航空航天大學(xué)江西研究院，南昌330096）

0 引言

葉輪機(jī)械中的氣動(dòng)彈性現(xiàn)象導(dǎo)致葉片高循環(huán)疲勞失效，其中氣動(dòng)彈性失穩(wěn)和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)是2個(gè)主要方面。隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能的大幅提升，葉片氣動(dòng)負(fù)荷增大，結(jié)構(gòu)更加緊湊，顫振和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)問題愈加突出。

氣動(dòng)彈性失穩(wěn)（顫振）是彈性系統(tǒng)在氣流中的耦合自激振動(dòng)，屬于氣動(dòng)彈性力學(xué)中的動(dòng)穩(wěn)定性問題。當(dāng)轉(zhuǎn)子葉片發(fā)生顫振時(shí)，流體激勵(lì)源于葉片振動(dòng)本身，在激勵(lì)與振動(dòng)相互作用下短時(shí)間內(nèi)振幅急劇增大，進(jìn)而造成葉片破壞。目前常用的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性分析方法包括能量法[1-2]和特征值法[3-4]。Erdos等[5]和He[6]將相位延遲（phase lag）法應(yīng)用于氣彈穩(wěn)定性預(yù)測，使能量法的計(jì)算速度大幅提高；通過結(jié)合Hanamur等[7]研究的影響系數(shù)法使特征值法的分析效率顯著提高；趙瑞勇等[8]和Fu等[9]利用上述方法對風(fēng)扇葉片的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性也進(jìn)行了分析。

轉(zhuǎn)子葉片強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)通常是由前排葉片尾跡或下游葉片的勢擾動(dòng)引起的，激勵(lì)頻率與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和引起激勵(lì)的結(jié)構(gòu)特征直接相關(guān)，且不受葉片振動(dòng)的影響?；诮怦罘椒▉矸治鋈~片強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。Kielb等[10]將強(qiáng)迫響應(yīng)問題的求解分為3個(gè)階段：識(shí)別來自上下游流動(dòng)的不均勻性；計(jì)算葉片非定常氣動(dòng)力；獲取葉片振動(dòng)響應(yīng)。文獻(xiàn)[11-12]中將最后1個(gè)階段又分為非線性結(jié)構(gòu)建模和柔性葉片的氣動(dòng)彈性響應(yīng)求解。

此外，還可以采取耦合法分析葉片氣動(dòng)彈性問題，包括強(qiáng)耦合法和弱耦合法。強(qiáng)耦合法是將流體力學(xué)控制方程和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程統(tǒng)一求解，由于2個(gè)計(jì)算域的時(shí)間和空間尺寸相差偏大，此方法求解難度較大，且計(jì)算量也極大；弱耦合法則利用每個(gè)子系統(tǒng)原有的求解方法，通過固體域與流體域相關(guān)邊界條件的交替迭代更新數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)對耦合作用的模擬，雖然耗費(fèi)很多計(jì)算資源，但部分學(xué)者仍采用該方法分析氣動(dòng)彈性問題。Sadeghi等[13]采用時(shí)域法分析了NASA67轉(zhuǎn)子葉片扭轉(zhuǎn)模態(tài)下的氣動(dòng)彈性，發(fā)現(xiàn)在某折合頻率下葉片會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象；徐可寧[14]自主編寫了有限元程序，結(jié)合計(jì)算流體力學(xué)軟件分析了錯(cuò)頻葉盤振動(dòng)的局部化現(xiàn)象；Espinal[15]利用弱耦合方法分析了某軸流跨聲速葉片的氣動(dòng)彈性問題，驗(yàn)證了相位延遲法的可靠性。在多數(shù)情況下，由于考慮到計(jì)算能力，利用弱耦合法在多級環(huán)境中分析氣動(dòng)彈性問題通常仍是難以開展的。

針對上述問題，本文分別以壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片和高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片模型為例，對氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析，給出了壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性特征和高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)特征。

1 分析方法

1.1 氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性分析方法

目前多采用能量法和特征值法進(jìn)行氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性預(yù)測，由于耦合法計(jì)算量過大，難以應(yīng)用于工程，一般多用于校核所發(fā)展的新方法。下面主要介紹顫振預(yù)測的能量法和特征值法。

1.1.1 能量法

假設(shè)顫振以葉片某一階固有振型出現(xiàn)，通過計(jì)算1個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)葉片與流場間的能量交換來預(yù)測顫振。如果1個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)周圍氣流對葉片所作的非定常氣動(dòng)功總和Waero為正，則葉片發(fā)生氣動(dòng)彈性失穩(wěn)，如果考慮機(jī)械阻尼，則機(jī)械阻尼耗散功與氣動(dòng)功之和決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

基于能量法預(yù)測顫振的主要流程如下：

（1）計(jì)算葉片的固有模態(tài)，分析中可考慮穩(wěn)態(tài)氣動(dòng)力和離心力的影響；

（2）將所關(guān)注的葉片固有模態(tài)位移映射到流場網(wǎng)格葉片表面上；

（3）指定流場中的葉片按照所得到固有模態(tài)振動(dòng)，進(jìn)行非定常流場分析；

（4）計(jì)算收斂后，提取葉片表面的力和位移，計(jì)算1個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的非定常氣動(dòng)功，進(jìn)而得到氣動(dòng)阻尼；

（5）根據(jù)氣動(dòng)阻尼的正負(fù)判斷系統(tǒng)氣彈穩(wěn)定性。

在得到葉片表面節(jié)點(diǎn)集中力和節(jié)點(diǎn)位移后，非定常氣動(dòng)功可表示為

式中：i為節(jié)點(diǎn)編號；nnode和ntstep分別為葉片表面流體節(jié)點(diǎn)總數(shù)和1個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的時(shí)間步數(shù)；j為時(shí)間步編號；F為節(jié)點(diǎn)集中力，N；D為節(jié)點(diǎn)相對于葉片平衡位置的位移，m。

本文以Moffatt等[16]提出的氣動(dòng)模態(tài)阻尼比（Aerodynamic Modal Damping Ratio，AMDR）來表征氣動(dòng)阻尼的大小，基于等效黏性阻尼的概念，氣動(dòng)模態(tài)阻尼比ζaero可表示為

式中：q為指定模態(tài)的正則化幅值；ω為給定模態(tài)的固有振動(dòng)圓頻率，rad/s。

基于等效黏性阻尼的形式，可直接與機(jī)械阻尼等代數(shù)相加得到總阻尼。

在相位延遲邊界條件下，通過存儲(chǔ)1個(gè)周期內(nèi)邊界面上的所有信息實(shí)現(xiàn)對模型的簡化[5]。再利用時(shí)間范疇的傅里葉級數(shù)分解見式（3），進(jìn)一步避免存儲(chǔ)周期邊界上的全部信息，僅需存儲(chǔ)傅里葉系數(shù)An就可在后處理中通過這些系數(shù)求出任意時(shí)間點(diǎn)的變量信息[6]。

當(dāng)考慮非零葉間相位角時(shí)，需要指定相鄰葉片按照一定的時(shí)間相位差振動(dòng)，相鄰2片葉片振動(dòng)時(shí)間差為

式中：σ為葉間相位角。

1.1.2 特征值法

對于調(diào)諧葉盤結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，不考慮機(jī)械阻尼時(shí)，物理坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：u為位移向量；M、K和f分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和葉片振動(dòng)所引起的非定常氣動(dòng)力向量。

假設(shè)葉片按照簡諧形式振蕩u=Ueλt，并將位移幅值向量U寫成模態(tài)疊加的形式，式（5）可表示為

式中：Φ為模態(tài)矩陣；q為模態(tài)位移向量；Ω為對角矩陣。

當(dāng)Φ中只包含某一階模態(tài)時(shí)，Ω的表達(dá)式為

式中：Ω中各元素為葉片各階次頻率的平方。

對于調(diào)諧系統(tǒng)，式（7）的各對角線元素相等，每個(gè)元素代表相應(yīng)葉片的固有頻率，通過修改對角線元素便于引入錯(cuò)頻。

當(dāng)結(jié)合影響系數(shù)法時(shí)，式（6）中模態(tài)坐標(biāo)系下的氣動(dòng)力向量可表示為

式中：A為模態(tài)坐標(biāo)系下的氣動(dòng)力影響系數(shù)矩陣，代表了各葉片對參考葉片的影響，對調(diào)諧系統(tǒng)，A為循環(huán)矩陣，有如下形式

當(dāng)僅考慮1階模態(tài)時(shí)，式（9）中的各分塊矩陣變?yōu)槌?shù)。將式（8）帶入式（6）中，可得到如下的特征值

通過求解式（10）所表示的特征值，便可得到復(fù)特征值λ，其中實(shí)部代表阻尼，虛部代表頻率。系統(tǒng)發(fā)生顫振（氣彈失穩(wěn)）的依據(jù)為：存在特征值滿足

當(dāng)Φ為質(zhì)量歸一模態(tài)振型時(shí)，氣動(dòng)阻尼表示為

1.2 強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析方法

在強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析中，當(dāng)葉片發(fā)生振動(dòng)時(shí)，其表面的壓力擾動(dòng)主要源于上下游氣流的周期性激勵(lì)，而與葉片本身的變形關(guān)系不大。因此，先計(jì)算1個(gè)葉片掃掠周期內(nèi)剛性葉片周圍的非定常流場，再將其作為外部激勵(lì)施加于葉片的有限元模型上。雖然這種假設(shè)對計(jì)算精度的影響不大，但可以極大地提高計(jì)算效率，適用于工程分析，其分析流程如圖1所示。

圖1 強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析方法及流程

主要步驟為：

（1）建立葉片流體域計(jì)算模型，進(jìn)行定常模擬；

（2）建立葉片有限元模型，進(jìn)行模態(tài)分析；

（3）通過葉片Campbell圖確定共振轉(zhuǎn)速，明確重點(diǎn)關(guān)注的模態(tài)階次；

（4）結(jié)合模態(tài)分析結(jié)果，找到所關(guān)注模態(tài)階次振動(dòng)應(yīng)力較大的位置作為瞬態(tài)計(jì)算的監(jiān)測點(diǎn)；

（5）分析在轉(zhuǎn)靜干涉作用下的非定常流場特征，并提取1個(gè)周期內(nèi)葉片表面非定常氣動(dòng)力；

（6）計(jì)算在共振狀態(tài)下葉片強(qiáng)迫響應(yīng)特征，當(dāng)振動(dòng)穩(wěn)定后終止計(jì)算；

（7）給出各監(jiān)測點(diǎn)沿應(yīng)力最大方向的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)，利用傅里葉變換分析動(dòng)應(yīng)力特征。

2 壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性分析

2.1 計(jì)算模型

以高壓壓氣機(jī)模型中間級的轉(zhuǎn)子葉片為研究對象，相關(guān)設(shè)計(jì)和材料參數(shù)見表1。建立孤立轉(zhuǎn)子葉片模型并計(jì)算在級條件下的氣動(dòng)阻尼，各參數(shù)包括進(jìn)口總溫、總壓和氣流角、出口靜壓，見表2，其子午面流道如圖2所示。

表1 轉(zhuǎn)子葉片的無量綱設(shè)計(jì)參數(shù)和材料參數(shù)

表2 級條件下進(jìn)出口平均參數(shù)

圖2 轉(zhuǎn)子葉片及上下游流道

2.2 定常流場分析

建立轉(zhuǎn)子葉片的流場計(jì)算模型，根據(jù)葉片在多級環(huán)境中的位置截取計(jì)算域，如圖3所示。計(jì)算網(wǎng)格采用O4H拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，沿流向布置69層網(wǎng)格；周向布置57層網(wǎng)格（包括主流區(qū)33層和葉片周圍O網(wǎng)格13層）；徑向布置53層（間隙內(nèi)13層）；單通道網(wǎng)格約為26.1萬。湍流模型選擇標(biāo)準(zhǔn)k-ε雙方程模型，第1層網(wǎng)格距壁面距離為1×10-5m。進(jìn)口給定總溫、總壓和速度方向，出口給定靜壓條件，相關(guān)條件由多級計(jì)算結(jié)果提取。計(jì)算結(jié)果見表3。從表中可見，轉(zhuǎn)子的氣動(dòng)效率較高。在不同條件下葉尖流場如圖4所示。從圖中可見，此時(shí)為在亞聲速條件下葉片全展向工作。

圖3 轉(zhuǎn)子葉片定常流場分析計(jì)算域

表3 定常流場計(jì)算結(jié)果

圖4 典型葉高下的流場

進(jìn)一步給出了多級環(huán)境和孤立轉(zhuǎn)子模擬（級條件下）50%葉高截面的壓力分布，如圖5所示。從圖中可見，壓力面吻合較好，吸力面存在一定差異。其原因是在多級環(huán)境下，流動(dòng)偏離設(shè)計(jì)狀態(tài)并逐級放大所致。

圖5 典型葉高葉片表面壓力分布

2.3 模態(tài)分析

建立轉(zhuǎn)子葉片有限元模型及冷熱態(tài)葉型，如圖6所示。從圖中可見，采用8節(jié)點(diǎn)6面體單元，分別沿徑向和弦向各布置41層和29層網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，厚度方向布置3層網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)和單元總數(shù)分別為3567和2240。在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下的靜力分析結(jié)果如圖7所示。由離心力作用引起的最大靜變形約為0.55 mm。隨后進(jìn)行含預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析，重點(diǎn)考查葉尖前緣附近應(yīng)力較大的振型(第4和7~9階模態(tài))，其振型和模態(tài)應(yīng)力分布如圖8所示。

圖6 轉(zhuǎn)子葉片有限元模型和冷熱態(tài)葉型對比

圖7 葉片在離心力作用下的靜變形

圖8 轉(zhuǎn)子葉片振型（左）和模態(tài)應(yīng)力（右）

2.4 振蕩流場和氣動(dòng)阻尼分析

分別采用能量法和特征值法對轉(zhuǎn)子葉片的氣動(dòng)阻尼進(jìn)行分析。非定常流場的多通道計(jì)算域如圖9所示。在計(jì)算過程中指定葉片按照不同模態(tài)振動(dòng)，分析各節(jié)徑下的氣動(dòng)阻尼。在設(shè)置葉片振幅時(shí)，按照50 MPa振動(dòng)應(yīng)力對應(yīng)的振幅進(jìn)行折算，得到各階振幅和AF值，見表4。AF=2πfA，代表了葉片的振動(dòng)速度。以定常計(jì)算結(jié)果作為非定常計(jì)算的初始流場，在1個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)劃分60個(gè)非定常時(shí)間步，當(dāng)流場參數(shù)達(dá)到穩(wěn)態(tài)振蕩時(shí)停止計(jì)算。分別通過式（2）和式（12）計(jì)算氣動(dòng)阻尼。

圖9 非定常流場計(jì)算域模型

表4 在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下葉片的動(dòng)頻、振幅及AF值

以第8階模態(tài)為例，葉片表面非定常氣動(dòng)力幅值分布如圖10所示。從圖中可見，對高階模態(tài)而言，參考葉片振動(dòng)引起的非定常氣動(dòng)力主要集中在中間2~3個(gè)通道內(nèi)。

圖10 第8階模態(tài)下葉片表面非定常氣動(dòng)力幅值

在第8階模態(tài)下氣動(dòng)阻尼隨節(jié)徑的變化如圖11所示。從圖中可見，通過2種方法得到的氣動(dòng)阻尼較為一致，特別是最小氣動(dòng)阻尼相互吻合。

圖11 第8階模態(tài)下氣動(dòng)阻尼

在各階模態(tài)下最小氣動(dòng)阻尼及其對應(yīng)的節(jié)徑見表5。從表中可見，高階模態(tài)氣動(dòng)阻尼反而更小，若附近存在激勵(lì)成分，可能引起較顯著的振動(dòng)應(yīng)力。結(jié)合圖8中模態(tài)分析結(jié)果，一旦激起第7、8和9階模態(tài)，在葉尖近前緣和近尾緣區(qū)域可能出現(xiàn)較大的振動(dòng)應(yīng)力。在第4階模態(tài)下，氣動(dòng)阻尼隨模態(tài)頻率增加而減小。因此對該轉(zhuǎn)子葉片而言，需要重點(diǎn)關(guān)注第2階弦向彎曲（第7階模態(tài)）和第8、9階模態(tài)的氣動(dòng)阻尼。

表5 不同模態(tài)下的最小氣動(dòng)阻尼及其節(jié)徑數(shù)

同樣以第8階模態(tài)為例，最小氣動(dòng)阻尼所在節(jié)徑下葉片表面的氣動(dòng)功密度分布如圖12所示。從圖中可見，葉身表面大部分區(qū)域氣動(dòng)功幅值接近0，只是在葉尖近前緣區(qū)域有1個(gè)明顯的負(fù)功區(qū)。

圖12 第8階模態(tài)60節(jié)徑下氣動(dòng)功密度

3 強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析

3.1 計(jì)算模型

對渦輪模型的高壓轉(zhuǎn)子葉片進(jìn)行分析，其流場計(jì)算域如圖13所示。從圖中可見，模型包括高低壓渦輪轉(zhuǎn)子、上游進(jìn)口導(dǎo)葉和下游支板。模型中的設(shè)計(jì)參數(shù)和設(shè)計(jì)工況下的進(jìn)出口邊界條件見表6。4排葉片不滿足約化條件，所以采用全環(huán)模型進(jìn)行非定常計(jì)算。在計(jì)算域中各排葉片的網(wǎng)格見表7。每排葉片各通道的網(wǎng)格拓?fù)浜途W(wǎng)格數(shù)保持一致。在非定常計(jì)算中給定時(shí)間步，確保高、低壓渦輪葉片均經(jīng)過整數(shù)時(shí)間步后通過彼此1個(gè)葉片柵距。

圖13 渦輪葉片CFD計(jì)算模型

表6 渦輪轉(zhuǎn)子葉片無量綱設(shè)計(jì)參數(shù)和進(jìn)出口氣動(dòng)參數(shù)

表7 各排葉片網(wǎng)格數(shù) 萬

3.2 定常和非定常流場分析

在葉片壓力面和吸力面的90%、70%和50%葉高大約10%、50%和90%弦長處分別設(shè)置壓力監(jiān)測點(diǎn)，如圖14所示。為保證信號的周期性，提取壓力信號完整周期進(jìn)行傅里葉分析。以弦向S1位置的3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)為例，壓力隨時(shí)間的變化曲線如圖15所示，此時(shí)流場中存在多個(gè)擾動(dòng)成分。

圖14 葉片表面監(jiān)測點(diǎn)

圖15 監(jiān)測點(diǎn)壓力隨時(shí)間的變化

以吸力面S1和S3監(jiān)測位置為例，對葉片表面監(jiān)測點(diǎn)的壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)頻分析，得到頻域信號如圖16所示。從圖中可見，主要激勵(lì)為上游進(jìn)口導(dǎo)葉（12192 Hz）及其倍頻成份和在尾緣附近存在低壓渦輪引起的激勵(lì)（37060 Hz）。

圖16 監(jiān)測點(diǎn)非定常氣動(dòng)力頻譜分析

流場90%和50%葉高截面的相對馬赫數(shù)分布結(jié)果如圖17所示。從圖中可見，在高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片尾緣存在明顯的激波結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致低壓葉片帶來的勢擾動(dòng)難以向上游傳播，因此高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片主要感受來自進(jìn)口導(dǎo)葉帶來的擾動(dòng)，幅值可達(dá)60~70 kPa。

圖17 90%和50%葉高截面相對馬赫數(shù)分布

3.3 模態(tài)分析

基于流場模型建立有限元模型，如圖18所示。通過葉片冷熱態(tài)轉(zhuǎn)換獲得冷態(tài)葉型[17]。采用8節(jié)點(diǎn)6面體單元，其中節(jié)點(diǎn)數(shù)為3450，單元數(shù)為2552，K447A為葉片材料。

圖18 高壓渦輪葉片有限元模型

對高壓渦輪葉片進(jìn)行靜力分析，在溫度場和離心載荷（100%轉(zhuǎn)速）作用下高壓渦輪的靜變形如圖19所示。從圖中可見，溫度場形成較大的徑向變形，離心力和氣動(dòng)力則使葉片更加“展開”，形成較大的周向變形。在幾種載荷影響下，葉片最大變形均出現(xiàn)在葉尖尾緣區(qū)域。

圖19 不同載荷下高壓渦輪葉片靜變形

進(jìn)行含預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析，結(jié)合前排導(dǎo)葉和低壓渦輪的激勵(lì)得到高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片的Campbell圖，如圖20所示。在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下，進(jìn)口導(dǎo)葉通過頻率位于第4、5階模態(tài)之間，低壓渦輪帶來的激勵(lì)靠近第16階模態(tài)。因此，重點(diǎn)關(guān)注高壓渦輪葉片在上述幾階模態(tài)和激起振動(dòng)所需能量較低的前3階模態(tài)，模態(tài)頻率見表8。從表中可見，離心力使葉片剛性增強(qiáng)，頻率加大；溫度使葉片固有頻率降低。

圖20 高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片Campbell圖

表8 高壓渦輪葉片主要階模態(tài)固有頻率（Hz）和阻尼

根據(jù)模態(tài)應(yīng)力較大點(diǎn)確定強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析的監(jiān)測點(diǎn)，如圖21所示。各階模態(tài)應(yīng)力和振型分布如圖22所示。模擬貼應(yīng)變片的方式并結(jié)合模態(tài)分析結(jié)果，根據(jù)式（13）確定高壓渦輪監(jiān)測點(diǎn)的監(jiān)測方向，見表9。

圖21 高壓渦輪葉片振動(dòng)應(yīng)力監(jiān)測點(diǎn)位置

圖22 主要模態(tài)階次振型（上）和模態(tài)應(yīng)力分布（下）

表9 高壓渦輪監(jiān)測點(diǎn)的應(yīng)力方向

式中：nx、ny和nz為最大應(yīng)力方向余弦。

由應(yīng)力分量確定最大振動(dòng)應(yīng)力為

3.4 強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析

3.4.1 模態(tài)阻尼在瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算中阻尼以瑞利阻尼形式給出

式中：系數(shù)α和β由任意2階模態(tài)確定。假設(shè)該2階模態(tài)的阻尼比分別為ζi和ζj，頻率值分別為ωi和ωj，則

確定系數(shù)α和β后，得到任意階模態(tài)的阻尼比

由于高壓渦輪為整體葉盤結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)阻尼較小，參考文獻(xiàn)[14]，取葉片第1、2階模態(tài)阻尼比為0.03%，此時(shí)阻尼系數(shù)α和β分別為9.55356×10-9和8.79657×10-9，由式（17）得到主要階模態(tài)阻尼比（表8）。

3.4.2 監(jiān)測點(diǎn)振動(dòng)應(yīng)力

在瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析中，為保證得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解，在計(jì)算過程中首先通過設(shè)置較大的阻尼系數(shù)使瞬態(tài)響應(yīng)部分在短時(shí)間內(nèi)快速衰減。在計(jì)算收斂后，某監(jiān)測點(diǎn)時(shí)域結(jié)果如圖23所示。從圖中可見，隨著時(shí)間推進(jìn)，葉片響應(yīng)逐漸趨于較為穩(wěn)定的周期振動(dòng)，提取最后1個(gè)周期的結(jié)果用于振動(dòng)應(yīng)力分析。

圖23 瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算監(jiān)測點(diǎn)周向振動(dòng)應(yīng)力的收斂情況

以節(jié)點(diǎn)2879和2303為例，提取高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片監(jiān)測點(diǎn)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)應(yīng)力并進(jìn)行快速傅里葉變換，結(jié)果如圖24所示。對高壓渦輪葉片而言，振動(dòng)主要由上游進(jìn)口導(dǎo)葉引起，在低階模態(tài)上振動(dòng)較為顯著。雖然激勵(lì)頻率更接近第5階模態(tài)固有頻率，但此時(shí)尚未達(dá)到共振狀態(tài)，最大振動(dòng)應(yīng)力出現(xiàn)在第3階模態(tài)頻率下，約為12 MPa（阻尼為0.033%）。

圖24 高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片監(jiān)測點(diǎn)的振動(dòng)應(yīng)力

3.4.3 危險(xiǎn)模態(tài)共振狀態(tài)分析

進(jìn)一步分析共振狀態(tài)下的響應(yīng)特征。由于流場計(jì)算過于耗時(shí)，且第5階模態(tài)共振轉(zhuǎn)速較為靠近計(jì)算轉(zhuǎn)速，工況偏差較小，故利用頻率縮放技術(shù)對共振狀態(tài)進(jìn)行快速評估。由模態(tài)分析結(jié)果可知，第5階模態(tài)危險(xiǎn)點(diǎn)為圖22中節(jié)點(diǎn)2225。對轉(zhuǎn)速進(jìn)行縮放，使激勵(lì)與固有頻率接近，得到104%轉(zhuǎn)速下模態(tài)頻率、激勵(lì)頻率和阻尼，見表10。

表10 104%轉(zhuǎn)速下模態(tài)頻率、激勵(lì)頻率和阻尼

對激勵(lì)頻率進(jìn)行縮放，研究高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片在上述轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)特征，近葉尖處監(jiān)測點(diǎn)時(shí)域結(jié)果如圖25所示。從圖中可見，隨著時(shí)間的推進(jìn)，振動(dòng)表現(xiàn)為明顯的放大特征，表明此時(shí)激勵(lì)頻率與葉片固有頻率十分接近。提取最后1個(gè)周期結(jié)果用于振動(dòng)應(yīng)力分析。

圖25 104%轉(zhuǎn)速下節(jié)點(diǎn)2225周向振動(dòng)應(yīng)力時(shí)域結(jié)果

對監(jiān)測點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行傅里葉分析，高壓渦輪轉(zhuǎn)子葉片監(jiān)測點(diǎn)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力頻譜如圖26所示。在104%轉(zhuǎn)速下發(fā)生了第5階模態(tài)共振，此時(shí)危險(xiǎn)點(diǎn)振動(dòng)應(yīng)力顯著增大，在0.14%阻尼下振動(dòng)應(yīng)力達(dá)到134 MPa。此外，對比響應(yīng)和激勵(lì)的頻率（表10）可見，104%轉(zhuǎn)速下尚未達(dá)到最大共振狀態(tài)。

圖26 104%轉(zhuǎn)速下節(jié)點(diǎn)2225振動(dòng)應(yīng)力

4 結(jié)論

（1）給出了壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片第4（第1階弦向彎曲）、7（第2階弦向彎曲）、8（復(fù)合模態(tài)）和9階（復(fù)合模態(tài)）模態(tài)下的氣動(dòng)阻尼，采用能量法和特征值法得到的計(jì)算結(jié)果有較好吻合性。高階模態(tài)（第7~9階模態(tài)）對應(yīng)的氣動(dòng)阻尼相對更小，葉身表面大部分區(qū)域非定常氣動(dòng)功幅值接近0，只是在葉尖前尾緣區(qū)域存在較明顯的負(fù)功區(qū)，提供正阻尼。

（2）結(jié)合振型和應(yīng)力分布分析，如果在激起葉片第7、8和9階模態(tài)振動(dòng)，或者在這3階模態(tài)下發(fā)生氣彈失穩(wěn)，葉尖前尾緣區(qū)域振動(dòng)應(yīng)力較大，易引起疲勞開裂。

（3）利用強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析方法對高壓渦輪葉片進(jìn)行了分析，主要受上游進(jìn)口導(dǎo)葉的影響，其帶來的非定常氣動(dòng)力可達(dá)60~70 kPa，可能激起葉片第5階模態(tài)。當(dāng)發(fā)生第5階模態(tài)共振時(shí)，振動(dòng)應(yīng)力可達(dá)134 MPa（阻尼0.14%）。