劉曉剛，吳俊辰，孫 紅，陳志峰，鄭利華

（1.廣西科技大學(xué)機(jī)械與交通工程學(xué)院，廣西柳州 545000；2.桂林航天工業(yè)學(xué)院汽車與交通工程學(xué)院，廣西桂林 541000）

0 引言

在工業(yè)自動化技術(shù)高速發(fā)展的今天，機(jī)器人被廣泛用于各種重復(fù)性高、危險系數(shù)大的工作場合來代替人工進(jìn)行操作，實(shí)踐證明，工業(yè)機(jī)器人可以在質(zhì)和量的基礎(chǔ)上提高市場競爭力。與此同時，在確保人身安全、降低成本、改善工作環(huán)境、減少人體勞動強(qiáng)度、提高勞動生產(chǎn)效率等方面也具有十分重要的意義。為研究工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際中的應(yīng)用，首先得對機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)分析，得到機(jī)器人各個連桿的位置與末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置關(guān)系，再根據(jù)給定的位置要求進(jìn)行機(jī)器人的控制。

MatlabRoboticsTool 是由澳大利亞科學(xué)家Peter Corke 開發(fā)的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析與仿真的程序，已被廣泛運(yùn)用于機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析、動力學(xué)分析、軌跡規(guī)劃等研究。如房煒[1]利用該程序在關(guān)節(jié)空間對三次多項(xiàng)式插值、五次多項(xiàng)式插值以及“353”多項(xiàng)式插值進(jìn)行了闡述與仿真，結(jié)果驗(yàn)證了在關(guān)節(jié)空間采用高低次結(jié)合的多項(xiàng)式插值優(yōu)于單一多項(xiàng)式插值。沈冬冬[2]運(yùn)用5次多項(xiàng)式擬合關(guān)節(jié)位移變化軌跡；最后采用二分法求解滿足各關(guān)節(jié)速度約束和力（矩）約束的最優(yōu)運(yùn)動時間，從而生成各關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡，并且進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)。通過機(jī)器人工具箱生成的數(shù)據(jù)表明，該軌跡規(guī)劃方法能有效地縮短沖壓機(jī)器人的工作周期。針對安川生產(chǎn)的GP180 型工業(yè)機(jī)器人，目前基本沒有人進(jìn)行過正逆運(yùn)動學(xué)仿真與軌跡規(guī)劃一個完整體系的仿真研究，本文對GP180 型的機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)與軌跡規(guī)劃方面的研究，為今后該機(jī)型的研究提供思路。

1 機(jī)器人建模

根據(jù)官網(wǎng)MOTOMAN－GP180 型機(jī)器人的參數(shù)可知，GP180 為6 自由度垂直多關(guān)節(jié)型機(jī)器人，最大載重為180 kg，重復(fù)定位精度為±0.2 mm，6 個關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，S、L、U三軸控制整個機(jī)器人的位置，R、B、T 三軸控制末端手腕的姿態(tài)，并且這三軸軸線相交，符合Piper[3]準(zhǔn)則。機(jī)器人本體標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格如圖1所示，GP180幾何參數(shù)如圖2所示。

圖1 機(jī)器人本體標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格

圖2 GP180幾何參數(shù)

采用標(biāo)準(zhǔn)DH[4]參數(shù)法，建立DH坐標(biāo)系如圖3所示，以基座旋轉(zhuǎn)軸為1號軸，依次對旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行編號，建立六連桿坐標(biāo)系模型。對于6個關(guān)節(jié)均是由電機(jī)驅(qū)動的旋轉(zhuǎn)軸而言，旋轉(zhuǎn)軸即為Z軸。當(dāng)兩相鄰Z軸相交于一點(diǎn)（ai＝0），X軸在與兩Z軸都垂直的直線上，若相鄰兩Z軸不相交（ai≠0），則X軸沿著ai方向，由Zi-1指向Zi。最后根據(jù)右手定則確定Y軸的方向。最后，根據(jù)右手旋轉(zhuǎn)準(zhǔn)則確定各個坐標(biāo)系Y 軸的方向[5]。

圖3 GP180機(jī)器人連桿坐標(biāo)系模型

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)D－H參數(shù)法的定義，連桿長度為ai，表示沿著Xi方向Zi與Zi+1的距離；從Xi的方向看，Zi與Zi+1之間的夾角為αi，設(shè)兩連桿偏距為di，即表示相鄰兩Xi-1軸與Xi軸在Zi-1軸方向上的距離；關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為θi，即連桿i－1與連桿i繞Zi-1軸的轉(zhuǎn)角。其具體參數(shù)表示如表1所示。

表1 GP180 DH參數(shù)表

2 運(yùn)動學(xué)方程

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)D－H 參數(shù)法坐標(biāo)系中相鄰坐標(biāo)系變換矩陣通式：

將θ、d、a、α等參數(shù)代入通式，為節(jié)約篇幅，用ci代表cosθi，si代表sinθi，i＝1，2，3，4，5，6（以下同）?？傻茫?/p>

根據(jù)連乘法，可以得到正運(yùn)動學(xué)方程為：

3 建立仿真模型

在Matlab2019a的環(huán)境下利用Peter Corke[6]開發(fā)的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析與仿真的程序Robotis Toolbox 9.1.0，對機(jī)器人進(jìn)行建模。先利用“startup”指令啟動Robotics Toolbox，再利用Seri?alLink指令進(jìn)行模型的建立。

運(yùn)行該程序后，在Matlab中生成“MOTOMAN GP180”仿真模型如圖4所示。

圖4 MOTOMAN GP180三維模型

3.1 正運(yùn)動學(xué)分析

工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)研究的是工業(yè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)角信息與工業(yè)機(jī)器人位姿矩陣間的對應(yīng)關(guān)系，將關(guān)節(jié)角轉(zhuǎn)換為位姿矩陣的運(yùn)算稱為正運(yùn)動學(xué)，反之將位姿矩陣轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)角的運(yùn)算稱為逆運(yùn)動學(xué)。針對6個自由度均為旋轉(zhuǎn)的機(jī)器人而言，逆解可能存在多種情況，經(jīng)過多次數(shù)據(jù)比對，將6個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角均設(shè)為30°，選擇最優(yōu)解。使用Fkine 指令對機(jī)器人進(jìn)行正運(yùn)動學(xué)求解，程序如下：

得到正運(yùn)動的位置矩陣為：

根據(jù)正運(yùn)動學(xué)計(jì)算公式，可計(jì)算出機(jī)器人位置矩陣：

計(jì)算結(jié)果與MATLAB程序Fkine指令運(yùn)行結(jié)果一致。

3.2 逆運(yùn)動學(xué)分析

MOTOMAN GP180的最后3個旋轉(zhuǎn)軸的中心線彼此垂直并且3個軸在同一點(diǎn)相交，符合Pieper準(zhǔn)則，故存在封閉解。本文采用矩陣逆乘的方法來求解，對公式（2）兩邊求逆可得：

公式兩端對應(yīng)元素相等，可以得出：

θ1＝arctan 2(py,px)或arctan 2(－py,－px)，其他5 個角度依次類推，進(jìn)行變化逆矩陣等運(yùn)算得出，本文不一一列出，詳細(xì)步驟可見文獻(xiàn)[7]。通過矩陣逆乘的方式得到6 個關(guān)節(jié)角的全部解，可由最終計(jì)算式可知θ1、θ2、θ3只含有px、py、pz3項(xiàng)，這3個參數(shù)在旋轉(zhuǎn)變換矩陣中決定著末端執(zhí)行器的位置，而θ4、θ5、θ6只含有變換矩陣中決定末端執(zhí)行器的姿態(tài)參數(shù)nx、ny、nz、ox、oy、oz、ax、ay、az，根 據(jù)MOTOMAN GP1806個關(guān)節(jié)的特性，可初步判斷逆解的正確性[8]。

3.3 工作空間分析

在Matlab 軟件中，根據(jù)6 個關(guān)節(jié)角的角度范圍和位置方程，應(yīng)用蒙特卡洛法[9]，輸入如圖5所示的程序，工作隨機(jī)點(diǎn)選擇10 萬個，最終生成的工作空間圖如圖6～9 所示，分布點(diǎn)較為密集，無明顯間隙，能夠滿足該范圍內(nèi)的工作要求。

圖5 蒙特卡洛法代碼

圖6 三維工作空間圖

圖7 XOY工作空間

圖8 XOZ工作空間

圖9 YOZ工作空間

4 GP180運(yùn)動軌跡規(guī)劃

針對 GP180 的運(yùn)動，選定初始位置點(diǎn)為[0 0 0 0 0 0]，末端位置點(diǎn)為[π/4,－π/3,π/5,π/2,－π/4,π/6 ]，軌跡規(guī)劃方法選擇五次多項(xiàng)式插值函數(shù)，即JTRAJ 函數(shù)，表達(dá)式為：

其約束條件為：

簡化得到的解為：

利用Matlab調(diào)用Plotq函數(shù)進(jìn)行軌跡模擬可得到圖10所示的曲線圖，可以看出6個關(guān)節(jié)的位置曲線均連續(xù)，未出現(xiàn)明顯波動。

圖10 關(guān)節(jié)位置曲線

同理，調(diào)用Plotqd與Qdd函數(shù)繪制出6個關(guān)節(jié)的速度與加速度曲線如圖11～12所示，均為連續(xù)無波動的曲線。

圖11 各關(guān)節(jié)速度曲線

圖12 各關(guān)節(jié)加速度曲線

將各關(guān)節(jié)運(yùn)動代碼進(jìn)行整合并運(yùn)行，可得到機(jī)器人最終姿態(tài)與各個關(guān)節(jié)在同一時間的運(yùn)動狀態(tài)如圖13所示。

圖13 各關(guān)節(jié)位置、速度、加速度運(yùn)動曲線

5 結(jié)束語

對于安川生產(chǎn)的GP180 型工業(yè)機(jī)器人，利用標(biāo)準(zhǔn)D－H 法來建立模型，對相鄰坐標(biāo)系間的變化進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo)，6軸之間的變換矩陣連乘可得到正運(yùn)動學(xué)方程，利用Matlab 里的機(jī)器人工具箱建立仿真模型，模型中的姿態(tài)與實(shí)體一致，另給定角度運(yùn)用Fkine函數(shù)對機(jī)器人位姿進(jìn)行求解，與公式計(jì)算結(jié)果一致，證明模型建立正確。采用蒙特卡洛法對機(jī)器人工作空間進(jìn)行模擬，得到的點(diǎn)圖可知機(jī)器人工作范圍滿足大多數(shù)工作要求，最后利用JTRAJ 函數(shù)對機(jī)器人進(jìn)行點(diǎn)到點(diǎn)的路徑規(guī)劃，得到的位置、速度、加速度曲線均連續(xù)，無明顯波動，為該機(jī)型工業(yè)機(jī)器人的后續(xù)研究提供了參考。