吳耀鵬 鄧遠(yuǎn)航 郭昕

?(西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，西安710055)

?(西安建筑科技大學(xué)國(guó)家級(jí)土木工程實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，西安710055)

實(shí)際結(jié)構(gòu)均為有限剛度，但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，常假定結(jié)構(gòu)體系中某些桿件或桿件沿某個(gè)方向?yàn)闊o(wú)限剛性，如結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)時(shí)常假定桿件的抗壓剛度EA→∞、抗彎剛度EI→∞[1-2]。在經(jīng)典位移法教學(xué)中，剛性桿的存在可減少結(jié)構(gòu)體系的基本未知量個(gè)數(shù)，有利于課堂教學(xué)和手算。但對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，常難以確定結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。在矩陣位移法教學(xué)時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)編程分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力，如結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器[3]。結(jié)構(gòu)分析時(shí)，無(wú)窮剛度可用大數(shù)代替，理論上大數(shù)取值越大越接近真解。但受計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)精度限制，大數(shù)不宜取值過(guò)大，否則會(huì)出現(xiàn)病態(tài)方程，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。

應(yīng)用位移法分析剛架時(shí)，常假設(shè)結(jié)構(gòu)發(fā)生微小位移，且不考慮軸向變形和剪切變形對(duì)結(jié)點(diǎn)位移的影響，即受彎直桿兩端結(jié)點(diǎn)的距離在結(jié)構(gòu)變形前后保持不變[4-6]。有側(cè)移剛架的內(nèi)力分析，是結(jié)構(gòu)力學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容[7]。對(duì)于含斜桿的有側(cè)移剛架存在非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移，是結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，若斜桿EI→∞，將更加難于分析。本文通過(guò)分析剛性桿單元的約束方程，確定結(jié)構(gòu)體系的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移，應(yīng)用位移法分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力。

1 平面桿單元的約束方程

對(duì)于一般平面桿單元，在不考慮約束的情況下，每個(gè)桿端有3個(gè)位移，即水平線(xiàn)位移u、豎向線(xiàn)位移v和轉(zhuǎn)角位移θ。平面桿單元有2個(gè)桿端，共6個(gè)桿端位移，如圖1所示。位移法分析時(shí)，規(guī)定以順時(shí)針為正，建立如圖1所示整體坐標(biāo)系。圖1中，ui，vi，θi分別為桿單元始端的水平位移、豎向位移和轉(zhuǎn)角位移，uj，vj，θj為桿單元相應(yīng)的終端位移，φ為桿單元與x軸的夾角，L為桿長(zhǎng)。

圖1 整體坐標(biāo)系下桿單元及桿端位移

對(duì)于一般桿單元，忽略哪個(gè)方向的位移，即認(rèn)為在該方向是無(wú)限剛性。例如剛架常忽略軸向變形，類(lèi)似于一根剛性鏈桿約束，即EA→∞。本文主要考慮EA→∞和EI→∞兩種情況。

(1)EA→∞

桿單元無(wú)軸向變形，則單元始端的水平線(xiàn)位移和豎向線(xiàn)位移沿桿軸方向的投影必定等于單元終端的水平線(xiàn)位移和豎向線(xiàn)位移沿桿軸方向的投影，其約束方程為

(2)EI→∞

不考慮桿單元的彎曲變形，則桿單元只能發(fā)生剛體轉(zhuǎn)角，桿單元任意兩點(diǎn)的轉(zhuǎn)角相等，數(shù)值上等于桿端法線(xiàn)方向的相對(duì)線(xiàn)位移除以桿長(zhǎng)，其約束方程為

2 位移法的基本未知量

在不考慮桿單元約束的情況下，假定所有的桿端位移總數(shù)為n。若平面桿單元EA→∞或EI→∞，由于約束方程的存在，將減少結(jié)構(gòu)體系的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)。將結(jié)構(gòu)體系的所有約束方程聯(lián)立起來(lái)并寫(xiě)成矩陣形式，若系數(shù)矩陣的秩為m，表示約束方程中有m個(gè)是獨(dú)立的，即結(jié)構(gòu)體系有m個(gè)有效約束。桿端位移總數(shù)為n，則獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)為n?m，即為位移法的基本未知量個(gè)數(shù)。確定基本未知量后，其他的非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移即可用基本未知量表示。

3 算例

圖2所示平面剛架不考慮軸向變形，AB桿和CD桿的抗彎剛度EI為常數(shù)，BC桿抗彎剛度EI′→∞，應(yīng)用位移法分析剛架內(nèi)力并畫(huà)彎矩圖。

圖2 平面剛架

將B和C當(dāng)作自由結(jié)點(diǎn)，則B點(diǎn)有水平線(xiàn)位移uB、豎向線(xiàn)位移vB和轉(zhuǎn)角位移θB，C點(diǎn)有水平線(xiàn)位移uC、豎向線(xiàn)位移vC和轉(zhuǎn)角位移θC。因此結(jié)構(gòu)體系的桿端位移總數(shù)n=6。

對(duì)于剛架結(jié)構(gòu)，不考慮軸向變形，即EA→∞，且BC桿抗彎剛度EI′→∞，需根據(jù)式(1)和式(2)引入約束方程。

AB桿EA→∞，其約束方程為

令BC桿的桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，傾角為φ。BC桿EA→∞，EI′→∞，其約束方程為

CD桿EA→∞，其約束方程為

將式(3)、式(5)和式(6)聯(lián)立，可得約束方程的矩陣形式

經(jīng)計(jì)算，約束方程系數(shù)矩陣的秩m=5，即結(jié)構(gòu)體系有5個(gè)獨(dú)立約束方程，因此結(jié)構(gòu)體系只有1個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。取uB為位移法基本未知量?，則vB=?，uC=0.6?，vC=?0.6?，θB=?0.4?，θC=?0.4?。

根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，可得

取BC桿為隔離體，如圖3所示。對(duì)AB桿和CD桿延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)O取矩，解得

圖3 BC桿隔離體

將位移?代入轉(zhuǎn)角位移方程，可計(jì)算得到各桿端彎矩。應(yīng)用疊加法，畫(huà)出結(jié)構(gòu)的彎矩圖，如圖4所示。

圖4 結(jié)構(gòu)彎矩圖(單位：kN·m)

討論：若BC桿剛度為常量，則BC桿僅有軸向約束方程。AB桿、BC桿和CD桿的軸向約束方程彼此獨(dú)立，因?yàn)檎麄€(gè)體系有3個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。位移法分析時(shí)，除B點(diǎn)水平位移外，另有B點(diǎn)角位移和C點(diǎn)角位移2個(gè)未知量，因此結(jié)構(gòu)體系共有3個(gè)基本未知量。

4 結(jié)論

含剛性桿或剛性約束的結(jié)構(gòu)體系，桿端位移間存在約束關(guān)系，將出現(xiàn)非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。位移法以獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，本文通過(guò)引入剛性桿的約束方程，確定含斜桿有側(cè)移剛架的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移。并根據(jù)約束方程，確定非獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移與獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系式，應(yīng)用位移法分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力。本方法為精確解法，可作為位移法的補(bǔ)充內(nèi)容，應(yīng)用在結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)中。