文|管小冬

“再認(rèn)識(shí)”指“對(duì)已進(jìn)行認(rèn)識(shí)的認(rèn)識(shí)對(duì)象及其認(rèn)識(shí)成果（包括獲取這些認(rèn)識(shí)成果的認(rèn)識(shí)活動(dòng)）的重新認(rèn)識(shí)”。相比于原有認(rèn)識(shí)，再認(rèn)識(shí)是“認(rèn)識(shí)連續(xù)地和不斷地深化和更新的過(guò)程”。在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，受年齡、生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平等影響，學(xué)生對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法、思想的理解和掌握，往往需要經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)、實(shí)踐、再認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐”的循環(huán)遞進(jìn)過(guò)程?；诖耍稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別指出：在教材編寫(xiě)時(shí)，“重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則”。這也要求我們，不僅要在學(xué)生初次認(rèn)識(shí)這些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法、思想時(shí)上好“種子課”，更要在后續(xù)學(xué)習(xí)中精心設(shè)計(jì)問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，上好拓展課與整合課，引領(lǐng)學(xué)生在對(duì)相應(yīng)內(nèi)容的“再認(rèn)識(shí)”中實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的優(yōu)化與深化，讓學(xué)習(xí)不斷走向深刻。

事實(shí)上，無(wú)論是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)各學(xué)段“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”的具體規(guī)定，還是各版本數(shù)學(xué)教材的具體編排，均十分注重使學(xué)生在“認(rèn)識(shí)”“再認(rèn)識(shí)”的過(guò)程中不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。比如，蘇教版教材對(duì)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容的編排，就分為三個(gè)階段：三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”，三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”，五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”。再如，對(duì)“三角形的內(nèi)角和”這一具體內(nèi)容的編排，蘇教版教材在例題后的練習(xí)中，就出現(xiàn)了如下圖題目。究其用意，正是為學(xué)生提供一個(gè)新的觀察與推理的視角，引導(dǎo)他們于“再認(rèn)識(shí)”中達(dá)成對(duì)“三角形的內(nèi)角和是180°”的深刻理解，對(duì)相應(yīng)的觀察、探究、推理方式的深刻把握。

但我們?nèi)詰?yīng)看到，教學(xué)中，我們對(duì)“再認(rèn)識(shí)”的重視與研究還是不夠。

一方面，教材的編排，我們的教學(xué)，需要引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)一節(jié)課、一個(gè)單元或幾個(gè)單元的學(xué)習(xí)，去掌握人類(lèi)歷經(jīng)幾百甚至幾千年探索得出的數(shù)學(xué)成果。因此，教材在編排時(shí)，往往呈現(xiàn)的都是這些數(shù)學(xué)成果的最高形式，并為學(xué)生設(shè)計(jì)了一條易于認(rèn)識(shí)與理解的便捷、高效之路。教學(xué)中，如果教師只是將這些數(shù)學(xué)成果看作是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，未能引導(dǎo)學(xué)生于“認(rèn)識(shí)”“再認(rèn)識(shí)”的過(guò)程中充分經(jīng)歷聯(lián)系、反思、優(yōu)化等思維過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)便會(huì)落入簡(jiǎn)單化的境地。比如，在豎式除法的教學(xué)中，教師往往注重引導(dǎo)學(xué)生理解豎式除法的算理與算法，卻忽視了在此基礎(chǔ)上學(xué)生對(duì)豎式除法的再認(rèn)識(shí)。即，我們不應(yīng)僅滿足于學(xué)生對(duì)豎式除法的工具性掌握，還應(yīng)引領(lǐng)他們回歸原點(diǎn)，在立足除法意義的基礎(chǔ)上，聯(lián)系加、減、乘等運(yùn)算，去思考、理解運(yùn)用豎式除法尋找答案的運(yùn)算過(guò)程，形成對(duì)豎式除法算理及運(yùn)算形式、程序的“再認(rèn)識(shí)”。

另一方面，教學(xué)中，特別是在新課學(xué)習(xí)之后，雖然教材、教師均注重通過(guò)不同形式的練習(xí)去鞏固、發(fā)展學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，但練習(xí)的目標(biāo)往往指向于學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的熟練運(yùn)用，而忽視了應(yīng)采取不同方式去促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)的廣度與深度的提升。即，教學(xué)應(yīng)立足“認(rèn)識(shí)具有不斷反復(fù)和無(wú)限發(fā)展的規(guī)律”這一特點(diǎn)，著力引導(dǎo)學(xué)生于“再認(rèn)識(shí)”中不斷更新認(rèn)識(shí)，進(jìn)而帶動(dòng)他們對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解走向新的境界。鄭毓信教授特別強(qiáng)調(diào)“教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)‘長(zhǎng)時(shí)間思考’”，也正是因?yàn)椤伴L(zhǎng)時(shí)間思考”可以帶動(dòng)學(xué)生對(duì)自身學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果的反思與再認(rèn)識(shí)，進(jìn)而使學(xué)習(xí)從“由薄到厚”走向“由厚到薄”。

接下來(lái)，我將以“三角形面積計(jì)算的再認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，與大家分享我的思考與實(shí)踐。

【案例】“三角形面積計(jì)算的再認(rèn)識(shí)”

在學(xué)生學(xué)習(xí)“三角形的面積計(jì)算”后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，總有些學(xué)生在后續(xù)遇到與三角形面積計(jì)算相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，會(huì)將三角形的面積計(jì)算方法與平行四邊形的面積計(jì)算方法相混淆，在“底×高”后會(huì)忘記“除以2”。針對(duì)這樣的“頑癥”，教師們也是煞費(fèi)苦心，比如“要求學(xué)生熟記、背誦三角形的面積計(jì)算公式”“在解決問(wèn)題時(shí)，看到‘三角形’就在旁邊標(biāo)上‘÷2’”等。但實(shí)際運(yùn)用中，這些方法收效甚微。訪談中我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生并不是不知道三角形的面積計(jì)算方法，在出錯(cuò)后也能快速地找到自己的錯(cuò)因，但在實(shí)際運(yùn)用時(shí)就是容易忘記。通過(guò)對(duì)既往教與學(xué)過(guò)程的深層次剖析，我發(fā)現(xiàn)原因主要源自兩個(gè)方面。

一是在看似快速、高效的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生掌握了三角形的面積計(jì)算方法，但因?yàn)槿狈?duì)“提出初始想法、試誤、反思、調(diào)整、形成最優(yōu)化表達(dá)”這些關(guān)鍵環(huán)節(jié)的深刻經(jīng)歷，學(xué)生也只是掌握了方法，并未形成對(duì)方法的深刻理解。關(guān)于這一點(diǎn)的解決之法，大家可以參考本刊2021年第6 期《注重“真體驗(yàn)”，讓學(xué)習(xí)在關(guān)鍵環(huán)節(jié)的真實(shí)經(jīng)歷中走向深刻》一文，此處不再贅述。

二是學(xué)生對(duì)三角形面積計(jì)算公式中的“÷2”缺乏更深層次的認(rèn)識(shí)與理解?！坝脙蓚€(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再由平行四邊形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式”，這幾乎是公認(rèn)的最易于為學(xué)生理解、掌握的教學(xué)之道。但實(shí)際上，由于初始想法可能不同，過(guò)程中的思路也可能迥異，三角形面積計(jì)算的推導(dǎo)過(guò)程就會(huì)千差萬(wàn)別。如果缺少了對(duì)這些不同思路與推導(dǎo)過(guò)程的比較、聯(lián)系、梳理與歸納，學(xué)生是很難深刻理解上述“公認(rèn)”推導(dǎo)過(guò)程的優(yōu)越性所在的，更不會(huì)真正認(rèn)識(shí)到：公式中的“÷2”不僅代表著“三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半”，更代表著“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想。如此，“公認(rèn)”也就只是教師（成人）自認(rèn)為的、基于“兒童立場(chǎng)”出發(fā)的“公認(rèn)”了。

基于以上分析與思考，在“三角形的面積”一課教學(xué)后，我布置了一項(xiàng)“長(zhǎng)期作業(yè)”給學(xué)生，請(qǐng)他們繼續(xù)思考、探究“三角形的面積還可以怎樣算”，并在一至兩周后引領(lǐng)他們?cè)谙嗷ソ涣?、?duì)比的基礎(chǔ)上，形成對(duì)三角形面積計(jì)算方法的“再認(rèn)識(shí)”。以下是課堂教學(xué)中的兩則片斷。

片斷1：三角形面積計(jì)算的再探究與再交流。

師：這段時(shí)間，大家都在研究“三角形的面積還可以怎樣算”，有收獲嗎？今天這節(jié)課，我們就一起來(lái)交流大家找到的“另類(lèi)”計(jì)算方法。

生：我的方法還是繼續(xù)把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，但轉(zhuǎn)化的方式與前面學(xué)過(guò)的不同。大家看（邊說(shuō)邊操作），把這個(gè)三角形沿平行于底的這條線對(duì)折，再把上面的小三角形剪下來(lái)，與下面的梯形拼成一個(gè)平行四邊形。這個(gè)平行四邊形的底就是三角形的底，高是三角形高的一半。所以三角形的面積可以用底（a）乘高（h）的一半來(lái)算，也就是“SΔ=a×（h÷2）”。

生：你這個(gè)方法可以叫做“正廣以乘半從”。我進(jìn)一步研究了數(shù)學(xué)書(shū)“你知道嗎？”中介紹的“半廣以乘正從”的方法。它是以三角形的一條邊為底，從另外兩條邊的中點(diǎn)向這條邊作垂線段，形成兩個(gè)小的直角三角形，把這兩個(gè)直角三角形剪下，再拼到上面，三角形就轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形。這時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是三角形底（a）的一半，即書(shū)上說(shuō)的“半廣”，寬就是三角形的高（h），也就是“正從”。所以，三角形的面積計(jì)算方法就是“半廣以乘正從”，寫(xiě)成公式就是“SΔ=（a÷2）×h”。

生：我的方法與你們倆的有些相似，但我沒(méi)有剪拼，而是像以前研究三角形內(nèi)角和那樣，把左右兩個(gè)直角三角形向內(nèi)折，把上面這個(gè)小三角形向下折，就形成了一個(gè)長(zhǎng)方形。但是大家注意，這其實(shí)是兩個(gè)長(zhǎng)方形。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是三角形底的一半，寬是三角形高的一半。所以三角形的面積可以用它底（a）的一半乘高（h）的一半，再乘以2 來(lái)計(jì)算，也就是“SΔ=（a÷2）×（h÷2）×2”。借用“你知道嗎？”中的說(shuō)法，可以稱(chēng)為“2 倍的半廣以乘半從”。

……

“三角形的面積還可以怎樣算？”這項(xiàng)“長(zhǎng)期作業(yè)”的布置，并不是要學(xué)生窮盡三角形面積計(jì)算的推導(dǎo)方法（事實(shí)上也不可能），而是意在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一問(wèn)題進(jìn)行“長(zhǎng)時(shí)間思考”，進(jìn)而在這一過(guò)程中不斷體會(huì)圖形間的相互轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、推理能力的提升以及數(shù)學(xué)思考的發(fā)展。上述片斷中，學(xué)生間不同推導(dǎo)方法的交流，既是對(duì)三角形面積計(jì)算方法的豐富與補(bǔ)充，也為后續(xù)的“再梳理”與“再認(rèn)識(shí)”提供了足夠廣遠(yuǎn)的思考和理解的空間。

片斷2：三角形面積計(jì)算方法的再梳理與再認(rèn)識(shí)。

師：剛才的交流真是精彩紛呈。原來(lái)三角形的面積計(jì)算還可以有如此多的“另類(lèi)”方法。不過(guò)，我們對(duì)數(shù)學(xué)的研究，不能僅止步于各種具體方法的獲得，還要學(xué)會(huì)對(duì)比與聯(lián)系。想一想，這些不同的方法之間有聯(lián)系嗎？它們的異同點(diǎn)是什么？

學(xué)生先獨(dú)立觀察、對(duì)比與思考，再在小組內(nèi)進(jìn)行交流。隨后教師組織全班交流。

生：這幾種方法都是把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長(zhǎng)方形，再去研究它的面積計(jì)算方法。

師：對(duì)，“化未知為已知”是我們?cè)跀?shù)學(xué)研究中常用的一種重要方法。

生：區(qū)別就在于，轉(zhuǎn)化前后，有些是面積不變，但底或高中總有一個(gè)變成了原來(lái)的一半；有些是底和高雖然是原來(lái)的一半，但三角形的面積是轉(zhuǎn)化后圖形面積的兩倍。

生：我發(fā)現(xiàn)，第三種方法“SΔ=（a÷2）×（h÷2）×2”中，后面的“×2”可以與前面的一個(gè)“÷2”抵消。這樣，不管是哪種方法，三角形的面積計(jì)算方法最終都可以表示為“底×高÷2”。

師：看來(lái)，“÷2”在三角形的面積計(jì)算中有著重要的意義。放在不同的位置，就對(duì)應(yīng)著大家找到的不同的計(jì)算思路。不過(guò)，這么多方法中，你覺(jué)得哪種方法最易為大家理解和掌握？

生：應(yīng)該還是書(shū)上例題中介紹的方法，因?yàn)橄啾绕渌麕追N方法，我們更容易根據(jù)它的推導(dǎo)圖想到對(duì)應(yīng)的計(jì)算方法，根據(jù)計(jì)算方法也更容易聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的推導(dǎo)圖。

至此，經(jīng)過(guò)對(duì)三角形面積計(jì)算不同方法的再梳理與再認(rèn)識(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)“不同方法卻殊途同歸”。對(duì)他們而言，三角形的面積計(jì)算方法，特別是其中的“÷2”，就不再是一個(gè)需要去記憶、背誦的單純知識(shí)點(diǎn)，而是不同思路經(jīng)由數(shù)學(xué)化后的一致表達(dá)。在這樣的“再認(rèn)識(shí)”后，學(xué)生對(duì)“三角形的面積計(jì)算”才是“徹底懂，經(jīng)過(guò)消化的懂”。因?yàn)?，教學(xué)留給學(xué)生的不再僅僅是一條簡(jiǎn)單的面積公式，一種靜態(tài)的方法、技能，而是一個(gè)生動(dòng)活潑的、具備多種表征方式的數(shù)學(xué)話語(yǔ)體系。

陳省身先生說(shuō)：“天下美妙的事不多，數(shù)學(xué)就是這樣美妙的事之一?！蔽蚁耄皵?shù)學(xué)好玩”正是因?yàn)樵诔掷m(xù)深入的“認(rèn)識(shí)”與“再認(rèn)識(shí)”中，總會(huì)有一些新的思考與發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生。而教師的作用，正在于引領(lǐng)學(xué)生在“認(rèn)識(shí)”“再認(rèn)識(shí)”的反復(fù)中“由薄變厚”再“由厚變薄”，進(jìn)而讓學(xué)習(xí)在認(rèn)識(shí)的不斷優(yōu)化與深化中走向深刻。