李雪，黃美容，王德鑫

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼028043；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 核物理研究所，內(nèi)蒙古 通遼028043）

隨著國防科技及核能與核技術(shù)研究的發(fā)展，近幾年來新型核能系統(tǒng)的研發(fā)對核數(shù)據(jù)的需求越來越強烈，相關(guān)單位對核數(shù)據(jù)研究的關(guān)注度也逐漸加強，紛紛投入人力、物力開展核數(shù)據(jù)相關(guān)研究，進(jìn)一步促進(jìn)核數(shù)據(jù)研究工作的發(fā)展［1］.

恒星中的重元素是通過不同機制產(chǎn)生的，如慢中子俘獲（s過程）和快速中子俘獲過程（r過程）.在紅巨星中發(fā)現(xiàn)的s過程解釋了大約60%比56Fe重的原子核的起源，剩下的40%的原子核通常歸因于r過程［2］.其中麥克斯韋平均截面（Maxwell average cross section，簡稱MACS）是研究天體中重元素合成的重要參數(shù)，利用該參數(shù)可計算出太陽系的核素豐度、給出有關(guān)s過程中核合成的中子密度分布和宇宙年齡、溫度等情況［3］.因此，找到最適合的積分方式，對研究核天體物理起著重要作用.目前s過程核合成的計算通常基于專用的核天體物理數(shù)據(jù)庫，如BAO等［4的工作.這些數(shù)據(jù)庫包含麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率的質(zhì)量信息.NAKAGAWA等［5］也根據(jù)JENDL-3.3評價的核反應(yīng)庫計算了麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率.

從20世紀(jì)40年代研究核數(shù)據(jù)開始，各個國家都先后建立了自己的評價核數(shù)據(jù)庫，尤其是中子核數(shù)據(jù)庫，并且不斷地更新版本.比如美國的ENDF、歐洲的JEFF、日本的JENDL、中國的CENDL、前蘇聯(lián)的BROND等.美國國家核數(shù)據(jù)中心（NNDC）收錄了ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0和CENDL-3.1［6-9］評價的核反應(yīng)庫的麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率.筆者采用梯形數(shù)值積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分［10］對70Ge、73Ge（n，γ）的麥克斯韋平均截面進(jìn)行計算，找到其中最合適的積分方法，并用該方法對ENDF/B-VIII.0、JEFF-3.3、CENDL-3.2和TENDL-2019［11-14］的最新版本的核反應(yīng)庫進(jìn)行了計算.

1 麥克斯韋平均截面

設(shè)天體環(huán)境中有2種原子核x和y，其中y為靶核，x為入射炮彈，x和y發(fā)生核反應(yīng)的反應(yīng)速率與它們之間的相對運動速度v、反應(yīng)截面σ以及A和B的數(shù)密度，即

其中，R為核反應(yīng)的反應(yīng)速率.

在天體環(huán)境中，核的速度分布可以用一個概率函數(shù)φ（v）表示，φ（v）滿足［15］

因此，在計算時應(yīng)該考慮到速度的分布，計算所有速度的平均值<σv>，即

其中，<σv>的含義是對每對核子的反應(yīng)率.

總反應(yīng)率可以表示為

為了使上述公式包含全同粒子的情況，通常把公式（4）改寫成

核的數(shù)密度可以通過天體密度、核的質(zhì)量分?jǐn)?shù)或摩爾分?jǐn)?shù)來計算

式中，NA是阿伏伽德羅常數(shù)，Ai是原子核i的質(zhì)量.

通常，原子核運動速度遵從麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布率，即

這里T是氣體溫度，m是原子核質(zhì)量，指數(shù)項中的分子表示運動能量E=1/2mv2，函數(shù)φ（v）也可以寫成能量E的函數(shù)

為了方便計算，通常溫度以T6（106k）為單位，則溫度和玻爾茲曼常數(shù)k的乘積kT可以轉(zhuǎn)化為以keV單位的能量值，即kT=0.086 2×T6keV.對于發(fā)生在恒星介質(zhì)內(nèi)的核反應(yīng)，參與反應(yīng)的兩個原子核x和y的速度分布都可以用麥克斯韋-玻爾茲曼分布描述.因此，每對原子核發(fā)生反應(yīng)的速率，應(yīng)該是兩個速度分布的乘積的積

式中，v表示2個原子核之間的相對運動速度，用vx和vy分別表示核x與核y的運動速度.如果用V表示質(zhì)心系運動速度：用μ表示x和y的約化質(zhì)量，即μ=mxmy/（mx+my）總質(zhì)量M=mx+my，則反應(yīng)速率<σv>可以寫成v與V的積分表達(dá)式

（10）式中，速度分布函數(shù)φ（V）和φ（v）分別表示為

和

由于速度分布函數(shù)φ（V）和φ（v）都是歸一的，核反應(yīng)界面僅與2個反應(yīng)核之間的相對運動速度有關(guān)，因此式（10）可以簡化為

將式（12）代入可得

把速度v換成能量E后，上式可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)核天體物理反應(yīng)率，將麥克斯韋的平均截面定義為

其中，v是中子和目標(biāo)核素的相對速度，vt是平均熱速度，由下式給出

由此得出麥克斯韋平均截面的計算公式為

其中，k和T分別是系統(tǒng)的玻爾茲曼常數(shù)和溫度，E是中子相對于目標(biāo)的相對運動能量.ENDF-6格式橫截面的值在實驗室系統(tǒng)中制成表格，最后一個方程必須修改為［1］

其中，a=m2/（m1+m2），k和T分別是系統(tǒng)的玻爾茲曼常數(shù)和溫度是實驗室系統(tǒng)中的中子能量，m1和m2分別是中子和靶核的質(zhì)量.

2 積分方法

2.1 梯形數(shù)值積分

與梯形積分不同，梯形數(shù)值積分（Trapezoidal numerical integration）是基于梯形積分形式改進(jìn)的.通過梯形法執(zhí)行數(shù)值積分運算.通過將一個區(qū)域分為包含多個更容易計算的區(qū)域的梯形，該方法對區(qū)間內(nèi)的積分計算近似值.

當(dāng)有一組數(shù)據(jù)Y時，通過梯形數(shù)值積分法計算Y的近似積分（采用單位間距），Y的大小確定求積分所沿用的維度：如果Y為向量，則梯形數(shù)值積分是Y的近似積分.如果Y為矩陣，則梯形數(shù)值積分對每列求積分并返回積分值的行向量.如果Y為多維數(shù)組，則梯形數(shù)值積分對其大小不等于1的第一個維度求積分.該維度的大小變?yōu)?，而其他維度的大小保持不變.

當(dāng)有2組數(shù)據(jù)X、Y時，通過梯形數(shù)值積分法計算X、Y積分，根據(jù)X指定的坐標(biāo)或標(biāo)量間距對Y進(jìn)行積分.如果X是坐標(biāo)向量，則length（X）必須等于Y的大小不等于1的第一個維度的大小.如果X是標(biāo)量間距，則梯形數(shù)值積分法對X，Y求積分等于X乘求積后的Y.

2.2 復(fù)化梯形積分

將區(qū)間［a，b］劃分成N等分，子區(qū)間的長為，稱hN為變步長.此時，節(jié)點為xk=x0+khN（k=0,1…,N）.由定積分的性質(zhì)和梯形公式，得到復(fù)化梯形公式為

2.3 復(fù)化辛普森積分

將區(qū)間［a，b］劃分成N等分，子區(qū)間的長為，在每個子區(qū)間上采取Simpson公式.此時，共有2N+1個節(jié)點.即，得到復(fù)化辛普森公式為

3 70Ge、73Ge的MACS計算

先前公布的麥克斯韋平均截面計算是基于線性化截面的辛普森積分法，筆者主要根據(jù)ENDF/BVII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.評價數(shù)據(jù)庫查找的（n，γ）截面數(shù)據(jù)，運用梯形數(shù)值積分方法、復(fù)化梯形積分方法、復(fù)化辛普森積分方法對70Ge、73Ge在8~100 keV下的麥克斯韋平均截面進(jìn)行計算，并與評價數(shù)據(jù)集Brookhaven National Laboratory report（BNL Report）［16］中數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，分析哪種積分方式計算結(jié)果更貼近于數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)，接著用最合適的積分方式算出新評價數(shù)據(jù)庫的麥克斯韋平均截面的值.

BNL Report計算了843種材料的中子截面、韋斯科特因子、共振積分、麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)率.廣泛分析新評價的中子反應(yīng)截面、中子協(xié)方差和數(shù)據(jù)處理技術(shù)的改進(jìn)促使研究者計算核工業(yè)和中子物理量，產(chǎn)生s過程麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)率，系統(tǒng)地計算不確定性.討論了核反應(yīng)的計算結(jié)果，并給出了新的計算結(jié)果.因此計算結(jié)果與BNL Report對比是比較有可信度的.

3.1 70Ge的MACS計算

根據(jù)3種方法的計算結(jié)果與數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)作圖如下.

圖1、圖2、圖3、圖4分別為根據(jù)ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.1數(shù)據(jù)庫計算的70Ge麥克斯韋平均截面與數(shù)據(jù)集BNL Report中麥克斯韋平均截面的對比圖，其中Trapezoidal表示的是梯形數(shù)值積分方式的計算結(jié)果，Mulriple Trapezoidal表示的是復(fù)化梯形積分方式的計算結(jié)果，Mulriple Simpson表示的是復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果.從圖1可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計算結(jié)果除了在kT=40 keV時，略高于BNL Report數(shù)據(jù)，其他情況與BNL Report結(jié)果相符；復(fù)化梯形積分方式的計算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果相同，二者在kT=8~40 keV低于BNL Report的結(jié)果，在kT=50~100 keV處，3種計算方式所得結(jié)果相吻合.從圖2可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計算結(jié)果與BNL Report結(jié)果相一致，復(fù)化梯形積分方式的計算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果相契合.同樣在kT=8~40 keV低于BNL Report，在kT=50~100 keV處，3種計算方式所得結(jié)果完全一致.圖3所能觀察到的與圖1一樣，梯形積分方式的計算結(jié)果與BNL Report結(jié)果符合的很好，除了在kT=40 keV時，略高于BNL Report數(shù)據(jù)；而復(fù)化梯形積分方式的計算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果是相吻合的，但是他們在kT=8~40 keV時低于BNL Report數(shù)據(jù)，但在kT=50~100 keV處，3種計算方式所得結(jié)果一致.圖4的整個數(shù)據(jù)結(jié)果以及曲線走向都與前3個圖有所不同，引起不同的原因是原始數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)的不同導(dǎo)致的，如圖5所示.其次，可以觀察到3種積分方式所得結(jié)果與BNL Report數(shù)據(jù)相差都很大，只有在kT=8~10 keV時梯形數(shù)值積分結(jié)果接近于數(shù)據(jù)庫結(jié)果.

圖1 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.1 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

圖2 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.2 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

圖3 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.3 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

圖4 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.4 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

圖5 7 0Ge不同數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對比圖Fig.5 Comparison of(n,γ)cross section data of different70Ge databases

3.2 73Ge的MACS計算

根據(jù)3種方法的計算結(jié)果與數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)作圖如下.

圖6、圖7、圖8、圖9分別為根據(jù)JEFF-3.1.2、ENDF/B-VII.1、CENDL-3.1、JENDL-4.0、數(shù)據(jù)庫計算的73Ge麥克斯韋平均截面與數(shù)據(jù)集ENL Report中麥克斯韋平均截面的對比圖.從圖6可以觀察到梯形積分方式的計算結(jié)果在kT=8~60 keV時略高于BNL Report數(shù)據(jù)，而在60 keV之后兩者吻合；而復(fù)化梯形積分方式的計算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果是一致的，但是它們在kT=8~60 keV時低于BNL Report數(shù)據(jù)，但在kT=60~100 keV處，3種計算方式所得結(jié)果一致.從圖7可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計算結(jié)果與BNL Report數(shù)據(jù)相同，復(fù)化梯形積分方式的計算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果很吻合，同樣在kT=8~60 keV時低于BNL Report數(shù)據(jù)，在kT=60~100 keV處，3種計算方式所得結(jié)果符合的很好.圖8所能觀察到梯形數(shù)值積分方式的計算結(jié)果稍高于BNL Report數(shù)據(jù)；而復(fù)化梯形數(shù)值積分方式的計算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果相符，但是它們在kT=8~60 keV處低于BNL Report數(shù)據(jù)，但在kT=60~100 keV處，3種計算方式所得結(jié)果一致.由圖9可以看出在kT=8~60 keV處，梯形數(shù)值積分結(jié)果高于BNL Report數(shù)據(jù)，復(fù)化梯形積分方式的計算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計算結(jié)果低于BNL Report數(shù)據(jù).

圖6 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.6 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

圖7 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.7 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

圖8 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.8 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

圖9 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.9 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

3.3 70Ge、73Ge在ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019數(shù)據(jù)庫下的MACS計算

根據(jù)不同評價的核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫分別用梯形數(shù)值積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分對70Ge、73Ge計算恒星核合成反應(yīng)（n，γ）的麥克斯韋平均截面結(jié)果與BNL Report提供的麥克斯韋平均截面數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)用梯形數(shù)值積分的積分結(jié)果最為符合.所以運用相同方法計算了新的評價數(shù)據(jù)庫的麥克斯韋平均截面.

運用梯形數(shù)值積分方法，計算新的評價數(shù)據(jù)庫ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019的麥克斯韋平均截面.結(jié)果如下.

續(xù)表2

從表1、表2可以看出，無論是70Ge還是73Ge，對于ENDF庫、CENDL庫新舊版本（n，γ）截面數(shù)據(jù)計算結(jié)果差距不大，CENDL、JEFF-3.3新的數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)，與原版本有一點差別，原因在于數(shù)據(jù)庫原始截面數(shù)據(jù)的差異.就總體而言，幾乎沒有變化.通過數(shù)據(jù)，觀察到JEFF庫的變化很大，所以對新舊數(shù)據(jù)庫的（n，γ）截面數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較.如圖10、圖11，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫的變化很大，對麥克斯韋平均截面的影響較大，所以對新的（n，γ）截面數(shù)據(jù)進(jìn)行計算是非常必要的.

表1 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019評價數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)用梯形數(shù)值積分方式所得7 0Ge的麥克斯韋平均截面Tab.1 ENDF/B-VIII.0，CENDL-3.2，JEFF-3.3，TENDL-2019 evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section of70Ge

表2 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019不同評價數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)用梯形數(shù)值積分方式所得7 3Ge的麥克斯韋平均截面數(shù)據(jù)Tab.2 ENDF/B-VIII.0，CENDL-3.2，JEFF-3.3，TENDL-2019 different evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section data of73Ge

圖10 70Ge JEFF新舊數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對比圖Fig.10 Comparison of(n,γ)cross section data of 70Ge JEFF old and new databases

圖11 7 3Ge JEFF新舊數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對比圖Fig.11 Comparison of(n,γ)cross section data of 73Ge JEFF old and new databases

4 結(jié)語

核數(shù)據(jù)是用來描述原子核基本性質(zhì)、核衰變以及入射粒子與原子核發(fā)生反應(yīng)過程等方面信息的統(tǒng)稱，是核科學(xué)與核工程應(yīng)用所需的重要基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，其精度和可靠性直接關(guān)系著核工程產(chǎn)品的可靠性、安全性和經(jīng)濟(jì)性.其中麥克斯韋平均截面的精度及準(zhǔn)確性對于現(xiàn)階段的研究也是非常重要的，因此，通過不同評價的核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫分別用梯形積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分對70Ge、73Ge計算恒星核合成反應(yīng)（n，γ）的麥克斯韋平均截面進(jìn)行了計算，發(fā)現(xiàn)梯形數(shù)值積分方法所得結(jié)果最為符合，對接下來計算各種核反應(yīng)參數(shù)是有極大幫助的，同時也希望能為其他研究者提供參考.