馬文奎

（佳木斯市水利勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，黑龍江 佳木斯 154000）

在各種礦井涌水量的計(jì)算方法中大井法是其中使用比較普遍的一個(gè)，它是以承壓-無(wú)壓水井公式為基礎(chǔ)的。 但是實(shí)際的計(jì)算活動(dòng)因?yàn)榇嬖诘目陀^地質(zhì)狀況及工作條件等的限制而具備了一些不確定性，而且會(huì)對(duì)計(jì)算數(shù)據(jù)的信度造成影響。 因此研究不確定因素對(duì)計(jì)算過(guò)程所造成的影響機(jī)制是十分有價(jià)值的，能夠有效保障所得數(shù)據(jù)的信度。 另外，對(duì)于該類計(jì)算中不確定性的描述及信度提升等研究也變成了當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。 其中隨機(jī)數(shù)學(xué)這項(xiàng)方法是在地質(zhì)不確定性的研究活動(dòng)里中應(yīng)用最為普遍的， 在該項(xiàng)方法中概率密度函數(shù)獲取的準(zhǔn)確性水平是實(shí)現(xiàn)可靠分析的關(guān)鍵， 但是在實(shí)際操作中因?yàn)橘Y料的限制一般很難做到有效獲取。 本文將區(qū)間不確定性角度作為出發(fā)點(diǎn)，同時(shí)以非概率集合理論為理論基礎(chǔ)，一步步推導(dǎo)得到基于觀測(cè)信息及經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)計(jì)算影響半徑的涌水量預(yù)測(cè)公式， 而且對(duì)變量變動(dòng)范圍不確定狀態(tài)下的涌水量區(qū)間相應(yīng)作了定量描述， 從而完成了傳統(tǒng)計(jì)算公式的轉(zhuǎn)變。

1 非概率集合理論凸模型方法

式中 Ω為正定矩陣；θ為正實(shí)數(shù)。

在有界不確定參數(shù)δ=（δi）m=（δ1，δ2， …，δm）T在{δ：δTΩ δ≤θ2}集合中變動(dòng)時(shí)，能夠分別得到函數(shù)響應(yīng)上下界的近似解公式φ=φmax及φ=φmin，即：

通過(guò)數(shù)學(xué)優(yōu)化理論能夠證明，在{δ：δTΩ δ≤θ2}有界凸集合范圍邊界上能夠取得φmax及φmin的極值，設(shè)拉格朗日函數(shù)為：

在式（6）里μ代表的是拉格朗日乘子。

取極值的必要條件是：

整理得：

把式（9）分別代入到式（4）及式（5）中能得出：

2 區(qū)間涌水量的預(yù)測(cè)公式

在各種用于地下水動(dòng)力學(xué)的計(jì)算公式里， 其中一個(gè)比較重要且使用較為廣泛普遍的公式是Dupuit的承壓-無(wú)壓水公式，其表達(dá)式在被用于涌水量計(jì)算時(shí)一般為：

式中 H0為承壓含水層初始水位 （m）；Q為涌水量（m3/d）；M為含水層厚度 （m）；K為滲透系數(shù)（m/d）；rw為井的半徑（m）；邊界到外源水的距離（m）。

R一般使用的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式為：

式（12）的涌水量計(jì)算公式對(duì)含水層的要求是要水平等厚且質(zhì)量均勻，初始的水力坡度大小是零；另外還需要具備形狀為圓形的且是將抽水井作為區(qū)域中心的定水頭邊界，從而可以支持穩(wěn)定流的形成。但實(shí)際的礦區(qū)環(huán)境中，大部分都不存在定頭水邊界，且很多礦區(qū)普遍具有部分陷落柱及斷層，它們具有“上三帶”及“下三帶”，采動(dòng)活動(dòng)存在發(fā)生“活化”的概率。 含水層結(jié)構(gòu)質(zhì)量的均勻性正是由于這些具有強(qiáng)滲透性結(jié)構(gòu)的存在而下降。所以，嚴(yán)格意義上的穩(wěn)定流是很難在實(shí)際的礦區(qū)開采活動(dòng)中形成的。 但是通過(guò)實(shí)踐及研究發(fā)現(xiàn)， 地下含水層的水位可以在礦區(qū)的開采活動(dòng)進(jìn)行一定時(shí)間之后而逐漸變得越來(lái)越穩(wěn)定，在這個(gè)時(shí)候可以近似默認(rèn)其形成了穩(wěn)定流狀態(tài)。在現(xiàn)實(shí)操作中，通常形成的都是近似狀態(tài)的穩(wěn)定流，因此， 用于礦井涌水量計(jì)算的公式運(yùn)行條件是近似的穩(wěn)定流狀態(tài)。

在整體上，式（12）中幾個(gè)物理量H0，Q，M，K及rw不是線性關(guān)系。 以隱函數(shù)求導(dǎo)的法則為基礎(chǔ)能夠得到：

能夠得到流量對(duì)變量H0、Q、M、K及rw的導(dǎo)數(shù)：

實(shí)際開采活動(dòng)中，部分礦井能夠通過(guò)觀測(cè)所得數(shù)據(jù)信息及鄰近礦井狀況得到R， 因此并不需要基于式（13）來(lái)計(jì)算，在這種情況下的變量有5個(gè)：

把式（16）～式（24）代入式（10）與式（11）中，能夠得出R0分別處2類處理狀況下如表1的預(yù)測(cè)公式。

表1 區(qū)間涌水量的預(yù)測(cè)公式

表1所列的預(yù)測(cè)公式考慮到H0，Q，M，K及rw這5個(gè)變量。另外，總的變化區(qū)間范圍是綜合每個(gè)變量的中心值及變化率來(lái)確定的。 變量具體的平均值及變化率是基于表格中所列的表達(dá)式給出的， 涌水量的區(qū)間響應(yīng)能在不借助編程的情況下快速得出。

3 涌水量預(yù)測(cè)公式的有效性

由于式（10）～式（11）是在以數(shù)學(xué)優(yōu)化理論及一階泰勒級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)的情況下得出的，所以對(duì)于表1中所列出的預(yù)測(cè)公式來(lái)說(shuō)， 變化率的大小一定不可以表現(xiàn)出無(wú)界狀態(tài)。 在實(shí)際操作中響應(yīng)區(qū)間范圍邊界的確定要借助蒙特卡洛方法， 然后探究預(yù)測(cè)公式變化率界限及有效性，得到表2中的數(shù)據(jù)。

表2 不同情況下的變量變化率

表1預(yù)測(cè)公式上限值Q+和計(jì)算出的實(shí)際上限值Q這兩者的相對(duì)誤差即對(duì)應(yīng)為表2中“最大值相對(duì)誤差的絕對(duì)值”，即：

在表2中，變化率在整個(gè)計(jì)算過(guò)程中的變化規(guī)律是以固定的0.01的數(shù)距遞增，從0開始增長(zhǎng)到0.5時(shí)停止。在公式二的計(jì)算過(guò)程中，涌水量是通過(guò)式（12）運(yùn)算得出的，而各組數(shù)據(jù)中的R都要通過(guò)式（13）得到的半徑值擴(kuò)大4倍得出， 其余參數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化。在表2中列出了各組測(cè)試數(shù)據(jù)在不同誤差值大小情況下的對(duì)應(yīng)變化率極值。 例如在最大值的相對(duì)誤差的絕對(duì)值不超過(guò)0.05的情況下， 如果通過(guò)公式一來(lái)進(jìn)行涌水量的計(jì)算，則在這種情況下式（12）的各個(gè)參數(shù)的變化率都小于0.18； 而在最大值相對(duì)誤差的絕對(duì)值不超過(guò)0.1的情況下，式（12）中的各個(gè)參數(shù)的變化率都小于0.28。

如果基于同樣的誤差數(shù)據(jù)條件，基于表2的數(shù)據(jù)結(jié)果能夠發(fā)現(xiàn)在這種情況下通過(guò)公式一和二得出的下限對(duì)應(yīng)變量變化率是小于下限的。 這說(shuō)明如果變量的變化率水平很高， 則通過(guò)公式運(yùn)算得出的涌水量極小值的信度水平不如極大值。 如果要在符合一定精度需求的基礎(chǔ)上計(jì)算出涌水量的上下限， 一個(gè)好的選擇是對(duì)大區(qū)間進(jìn)行分割， 在區(qū)間分割的基礎(chǔ)上在應(yīng)用表1中的計(jì)算公式。

4 實(shí)例分析

某礦井的砂巖平均厚度為33m，其含水層幾乎是水平的，分布斷距是接近10m的斷層數(shù)條。 基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能夠得知，其含水層滲透系數(shù)0.01m/d，水位標(biāo)高則是+37.2m，而鄰近的礦井水位標(biāo)高為+38.8m。綜合各種勘探孔數(shù)據(jù)信息發(fā)現(xiàn)， 該礦井砂巖具有并不均勻的富水性。 以該礦井所處地區(qū)的其他礦井施工信息為依據(jù)可得出， 在礦井開采活動(dòng)進(jìn)行一定時(shí)間之后，該類3煤層頂板砂巖含水層礦井是能夠產(chǎn)生近似穩(wěn)定的涌水量的。 該礦井的開采水平是-1010m，等效半徑R是690m，首采區(qū)的形狀并不規(guī)則。 首采區(qū)的涌水量在每個(gè)變量的范圍區(qū)間具有不確定性時(shí)所對(duì)應(yīng)的變動(dòng)區(qū)間要通過(guò)公式一展開計(jì)算分析。

因?yàn)橐瑫r(shí)考慮鄰近礦井所存在的客觀影響作用以及數(shù)據(jù)信息所具備的不確定性， 所以設(shè)αH0=0.05，αM=αk=αrw=0.2，水頭（m）的變動(dòng)范圍是［985.3，1089.2］， 滲透系數(shù) （m/d） 的變動(dòng)范圍是［0.008，0.012］，另外等效半徑及含水層厚度（m）的變動(dòng)范圍分別是［552.8，829.2］及［26，39］。 而且通過(guò)計(jì)算得出涌水量的變動(dòng)范圍是 ［1036.9，3519.3］，Q0=2278.4m3/d是基于數(shù)據(jù)平均值計(jì)算得出的涌水量?；谏鲜銮闆r能夠發(fā)現(xiàn)，雖然各個(gè)變量在該實(shí)例中的變化率極大值只為1/5，可是涌水量的實(shí)際極值與涌水量平均值仍具有十分顯著的差距，所以涌水量響應(yīng)區(qū)間的分析活動(dòng)是具備價(jià)值的。

圖1， 圖2均是為了能夠更深入地對(duì)通過(guò)公式一計(jì)算得到的數(shù)據(jù)相對(duì)誤差， 因變量變化率產(chǎn)生的變動(dòng)，而呈現(xiàn)出具體變化規(guī)律，繪制出的數(shù)據(jù)走勢(shì)圖。

圖1 涌水量極大值相對(duì)誤差

圖2 涌水量極小值相對(duì)誤差

從上述兩個(gè)數(shù)據(jù)走勢(shì)圖中能夠發(fā)現(xiàn)， 通過(guò)公式一得出數(shù)據(jù)結(jié)果的相對(duì)誤差，沿著變化率的改變，呈現(xiàn)出非線性變動(dòng)特征。 其中通過(guò)圖1能夠得出，最大值的相對(duì)誤差在變化率等于0.3的情況下幾乎都能夠保持在10%范圍之內(nèi)。 而通過(guò)圖2能夠得出，最小值的相對(duì)誤差在變化率等于0.15的情況下也是幾乎都能夠保持在10%范圍之內(nèi)。 圖1與圖2所呈現(xiàn)出來(lái)的特征和表2中的數(shù)據(jù)信息是基本相同的，所以通過(guò)實(shí)例分析能夠得出應(yīng)用公式一來(lái)開展各個(gè)具有一定變動(dòng)區(qū)間的變量所對(duì)應(yīng)的涌水量的上下限的計(jì)算是比較合理的。

5 結(jié)語(yǔ)

總之，本文將區(qū)間不確定性角度作為出發(fā)點(diǎn)，同時(shí)以非概率集合理論為理論基礎(chǔ)， 一步步推導(dǎo)得到基于觀測(cè)信息及經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)計(jì)算影響半徑的涌水量預(yù)測(cè)公式， 而且對(duì)變量變動(dòng)范圍不確定狀態(tài)下的涌水量區(qū)間相應(yīng)作了定量描述， 從而完成了傳統(tǒng)計(jì)算公式的轉(zhuǎn)變。 最后通過(guò)實(shí)例的具體分析發(fā)現(xiàn)涌水量的區(qū)間響應(yīng)是能夠比較便捷且具有較高信度地通過(guò)區(qū)間涌水量計(jì)算公式得出的， 區(qū)間不確定性解析公式能夠提供新的可用于涌水量計(jì)算的思路方法。