耿東嶺 閻 琨 牛 斌

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，工程力學(xué)系，大連 116024； 2.大連理工大學(xué) 化工學(xué)院，大連 116024； 3.大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，大連 116024)

1 引 言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化旨在尋求材料的最優(yōu)分布方式(結(jié)構(gòu)拓?fù)?，使得在給定約束下，達到結(jié)構(gòu)的某種性能要求，是公認(rèn)的最具挑戰(zhàn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。在過去的三十年中，關(guān)于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的理論成果及相關(guān)算法快速發(fā)展，不僅應(yīng)用于機械、汽車、航空航天和海洋等工程制造領(lǐng)域，還應(yīng)用于具有特定力學(xué)或電磁性能的微觀材料的設(shè)計[1]。

關(guān)于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究最早可追溯到20世紀(jì)初，Michell[2]利用解析法實現(xiàn)了桁架類離散結(jié)構(gòu)在特定載荷和邊界條件下的結(jié)構(gòu)設(shè)計，相關(guān)算法稱為Michell準(zhǔn)則。程耿東等[3]在對實心彈性板最優(yōu)設(shè)計的過程中創(chuàng)新性地指出其最優(yōu)設(shè)計是由無限細(xì)的密肋增強結(jié)構(gòu)構(gòu)成。這項工作認(rèn)為是近代拓?fù)鋬?yōu)化的先驅(qū)。受到這項工作的啟發(fā)，Bends?e等[4]提出了均勻化方法，即將宏觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料微結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化問題。這一里程碑式的貢獻促使更多的學(xué)者投入到均勻化方法相關(guān)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計研究中。為了提高拓?fù)鋬?yōu)化的計算效率，學(xué)者們提出了固體各向同性材料懲罰SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)方法[5-7]，該方法通過引入假設(shè)的可變密度材料，以單元的密度作為設(shè)計變量進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。與均勻化方法相比，SIMP方法執(zhí)行更方便，能夠便捷地完成拓?fù)鋬?yōu)化過程。Xie等[8]提出了漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化ESO(Evolutionary Structural Optimization)方法，該方法的主要特點是移除應(yīng)力較低區(qū)域的材料，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。上述這些方法稱為基于密度的拓?fù)鋬?yōu)化方法。與之相對的方法，稱為基于邊界演化的拓?fù)鋬?yōu)化方法。該方法通過邊界演化控制結(jié)構(gòu)邊界的變形來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，目前較為成熟的邊界演化拓?fù)鋬?yōu)化方法主要包括水平集法和可移動變形組件孔洞法。其中水平集(Level-set)方法[9,10]通過引入水平集函數(shù)的等值面來描述結(jié)構(gòu)的邊界，引入特定的速度場，通過函數(shù)的演化來獲得下一時刻結(jié)構(gòu)的邊界形狀。然而，水平集方法存在隱式表達結(jié)構(gòu)邊界的問題，對此Guo等[11-13]提出了可移動變形組件法MMC(Moving Morphable Components)和可移動變形孔洞法MMV(Moving Morphable Void)，該方法以一系列可以移動變形的顯式組件或孔洞作為拓?fù)鋬?yōu)化的基本模塊，通過組件間的移動、交疊和覆蓋，以及孔洞間的相互融合來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)渥兓?。除上述拓?fù)鋬?yōu)化方法外，還包括獨立連續(xù)映射ICM(Independent,Continuous,Mapping)法[14]、相場法[15-17]、拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)法[18,19]、有限圓FCM(Finite Circle Method)法[20]以及基于智能優(yōu)化算法的拓?fù)鋬?yōu)化方法[21-24]等。

上述拓?fù)鋬?yōu)化方法，特別是對于結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化問題其優(yōu)化過程大體上可以分為結(jié)果拓?fù)漭喞醪匠尚坞A段和材料細(xì)化分布階段。拓?fù)漭喞醪匠尚坞A段，材料由初始布局快速分布到給定載荷和邊界附近，形成初步(模型輪廓模糊)的拓?fù)錁?gòu)型，這一過程中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)往往快速下降；而材料細(xì)化階段在上一階段獲得的基本拓?fù)錁?gòu)型的基礎(chǔ)上，逐漸細(xì)化材料分布，直到收斂于最優(yōu)的拓?fù)?清晰)構(gòu)型，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)在這一階段呈現(xiàn)微調(diào)的變化特征。對于大規(guī)模的拓?fù)鋬?yōu)化問題，完成結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化需要進行數(shù)百次甚至數(shù)千次的迭代過程，尤其是材料細(xì)化分布階段，大量的迭代只是逐漸細(xì)化結(jié)構(gòu)的局部構(gòu)型，而整體的拓?fù)錁?gòu)型并沒有發(fā)生較大的變化。然而，每一次迭代均需要進行同等大規(guī)模的有限元計算，不僅降低了計算效率，也越來越不能滿足當(dāng)今工業(yè)領(lǐng)域?qū)τ诟咝?yōu)質(zhì)的設(shè)計需求，因此提高計算效率是目前拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域亟待解決的主要問題之一。近年來，學(xué)者們陸續(xù)提出了一些改進拓?fù)鋬?yōu)化計算效率的算法。Liu等[25]提出各向異性多孔介質(zhì)宏微觀材料/結(jié)構(gòu)一體化優(yōu)化的PAMP(Porous Anisotropic Material with Penalization)框架，相比于傳統(tǒng)的層級優(yōu)化方法，降低了設(shè)計變量的數(shù)目，提高了優(yōu)化結(jié)果的可制造性。此框架成功應(yīng)用到熱彈性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化[26]和動力學(xué)頻率拓?fù)鋬?yōu)化[27,28]等問題。Kim等[29]將高分辨率拓?fù)鋬?yōu)化拆分成從低分辨率到高分辨率多個階段，提出了多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法。Jang等[30]提出了一種基于固定網(wǎng)格在拓?fù)鋬?yōu)化的同時對設(shè)計空間進行優(yōu)化的方法。Aage等[31]基于C++并行計算庫PETSc，提出了一套基于CPU并行的拓?fù)鋬?yōu)化方法，并將其應(yīng)用于大規(guī)模結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化[32]。雖然上述研究成果顯著提升了拓?fù)鋬?yōu)化方法求解問題的計算效率和規(guī)模，但往往受限于拓?fù)鋬?yōu)化迭代式求解的計算性質(zhì)，僅對拓?fù)鋬?yōu)化流程中結(jié)構(gòu)有限元求解部分進行了加速，使得拓?fù)鋬?yōu)化方法整體效率的提升仍受到一定限制。

隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展和數(shù)據(jù)量的劇增，促使了以深度學(xué)習(xí)[33]為代表的機器學(xué)習(xí)算法[34]的空前發(fā)展，其相關(guān)的研究成果已經(jīng)在計算機、金融、生命科學(xué)及傳統(tǒng)工業(yè)等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[35-38]。由于機器學(xué)習(xí)算法的特點為僅在離線訓(xùn)練階段需要較高的計算成本，而在線使用過程不需要復(fù)雜的計算，常用于實現(xiàn)復(fù)雜計算過程的加速或?qū)崟r計算。如通過訓(xùn)練完成的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)CNN(Convolutional Neural Networks)模型[39]，實現(xiàn)對空氣動力學(xué)領(lǐng)域相關(guān)的設(shè)計、分析和優(yōu)化等問題的加速，提供及時的設(shè)計反饋[40]。基于條件生成對抗網(wǎng)絡(luò)cGAN(conditional Generative Adversarial Networks)模型[41]，實現(xiàn)了在未知基本控制方程前提下，快速地對具有傳導(dǎo)現(xiàn)象的物理問題進行建模和模擬[38]?；谏疃壬窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)DNN(Deep Neural Networks)模型，實現(xiàn)了對非均質(zhì)材料的等效性能的快速預(yù)測[42]?；贙-means聚類算法[43]的非監(jiān)督機器學(xué)習(xí)方法，成功降低了設(shè)計變量的維度，加快了拓?fù)鋬?yōu)化的進程[44]。目前已有相當(dāng)數(shù)量的關(guān)于機器學(xué)習(xí)拓?fù)鋬?yōu)化方法的研究工作，用于提高拓?fù)鋬?yōu)化的計算效率及進行實時的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。

圍繞目前已有的拓?fù)鋬?yōu)化方法，本綜述將回顧人工智能方法在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域的發(fā)展歷程及研究現(xiàn)狀?？紤]到深度學(xué)習(xí)為近些年最主流的人工智能研究方向，與其相關(guān)的技術(shù)和應(yīng)用研究工作眾多，故本綜述主要介紹深度學(xué)習(xí)與拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合的相關(guān)工作，而對傳統(tǒng)的機器學(xué)習(xí)算法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法與拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合的工作僅做簡要介紹。本綜述不涉及該領(lǐng)域的全部文獻，其綜述范圍有限，且與作者本人的研究興趣密切相關(guān)。

2 機器學(xué)習(xí)在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用

機器學(xué)習(xí)ML(Machine Learning)是人工智能的主要子域，也是目前人工智能相關(guān)研究中最具實用性、應(yīng)用最為廣泛的方法。區(qū)別于人工智能使計算機實現(xiàn)類似人類對知識利用的范性目的，機器學(xué)習(xí)主要研究基于數(shù)據(jù)實現(xiàn)自改善的算法，該算法能夠從數(shù)據(jù)中自主分析、學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)特征，并基于所學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)特征進行相關(guān)的回歸及分類行為，其與人工智能、深度學(xué)習(xí)的關(guān)系如圖1所示。為了便于整理，本節(jié)僅討論除人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)外的其他傳統(tǒng)機器學(xué)習(xí)方法，包括K-臨近算法KNN(K-Nearest Neighbors)、支持向量回歸SVR(Supported Vector Regression)、線性判別器和樸素貝葉斯等學(xué)習(xí)模型[45]。近些年，將機器學(xué)習(xí)算法與拓?fù)鋬?yōu)化框架相結(jié)合實現(xiàn)快速的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計受到了眾多學(xué)者的高度關(guān)注。

圖1 人工智能、機器學(xué)習(xí)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)之間的關(guān)系

Lei等[46]在MMC拓?fù)鋬?yōu)化框架的基礎(chǔ)上，使用KNN與SVR模型實現(xiàn)了拓?fù)漕A(yù)測。MMC拓?fù)鋬?yōu)化框架具有參數(shù)量少的特點，但同樣需要多次迭代來滿足收斂條件。文中基于建立的機器學(xué)習(xí)模型給出初步的拓?fù)錁?gòu)型預(yù)測，并將此預(yù)測結(jié)果代入到MMC優(yōu)化程序中進行進一步的優(yōu)化，從而獲得最終的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型，這在一定程度上大幅縮減了計算量，且預(yù)測結(jié)果也能滿足精度要求。Jiang等[47]提出了基于機器學(xué)習(xí)的參數(shù)調(diào)整策略，將基于極端隨機樹ET(Extra-Trees)的圖像分類器集成到優(yōu)化框架中，并與粒子群算法(PSO)相結(jié)合形成閉環(huán)，以實現(xiàn)MMA(Method of Moving Asymptotes)[48]優(yōu)化超參數(shù)的自動調(diào)整。結(jié)果表明，所提模型能夠有效地在給定設(shè)計領(lǐng)域內(nèi)得到合理的參數(shù)方案。

含微觀特征的結(jié)構(gòu)由于具有更大的設(shè)計空間，往往具有更好的產(chǎn)品性能。近些年隨著增材制造技術(shù)的出現(xiàn)，相應(yīng)多尺度結(jié)構(gòu)的制造逐漸擺脫了傳統(tǒng)制造工藝的束縛，具有極大的發(fā)展?jié)摿?。然而包含微觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化相比于宏觀拓?fù)鋬?yōu)化具有更高的計算成本。針對上述問題，Kumar等[49]基于K-means聚類方法研究了微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，降低了微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算法的計算成本。Yan等[50]基于K-means聚類方法研究了多尺度熱彈性點陣結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。Qiu等[51]基于K-means聚類方法提出了一種并發(fā)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，用于點陣結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。Zhang等[52,53]基于克里金法(Kriging Method)[54]預(yù)測了材料的微觀結(jié)構(gòu)屬性以加速多尺度的拓?fù)鋬?yōu)化進程。Raponi 等[55]通過將克里金法與水平集方法(Level-set Method)相結(jié)合，實現(xiàn)了耐沖擊結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。

3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為目前機器學(xué)習(xí)中最受關(guān)注的重要領(lǐng)域。由于良好的可擴充性與強大的非線性處理能力，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近乎可以實現(xiàn)任何復(fù)雜問題的處理。常規(guī)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由輸入層、隱含層與輸出層組成。其中，輸入層負(fù)責(zé)接收外界輸入數(shù)據(jù)，隱含層負(fù)責(zé)對傳入數(shù)據(jù)進行維度變換與加工，最終結(jié)果由輸出層輸出。對于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，即為基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)對各層神經(jīng)元間的連接權(quán)重與各個神經(jīng)元的參數(shù)進行調(diào)整。而隨著人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展與不斷變革，其網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)正不斷趨于深層化與復(fù)雜化。為了便于整理，本節(jié)僅對基于結(jié)構(gòu)簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型展開的拓?fù)鋬?yōu)化研究工作進行介紹。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[56]

Ulu等[57]采用主成分分析PCA(Principal Component Analysis)方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，進行了二維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。使用SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法獲得大量的優(yōu)化結(jié)果，并基于PCA方法對優(yōu)化后的結(jié)果圖像進行特征降維。PCA方法的權(quán)重值與對應(yīng)載荷情況作為初始數(shù)據(jù)輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中進行模型訓(xùn)練。當(dāng)在訓(xùn)練完成的模型中輸入新的載荷信息時，模型也將產(chǎn)生新的PCA權(quán)重值，從而組建相對應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果圖。這種方法成功實現(xiàn)了快速拓?fù)漕A(yù)測的功能，降低了優(yōu)化的計算量。Deng等[58]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，探討了隱含層數(shù)量對模型幾何特征描述能力的影響，實現(xiàn)了三維結(jié)構(gòu)的快速拓?fù)漕A(yù)測功能。Ranjbar[59]則是基于全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了一個關(guān)于聲學(xué)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化框架，并在文獻[60]討論了所提的模型在不同參數(shù)設(shè)置時的預(yù)測性能。Gu等[61]使用單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測了雙相復(fù)合材料的強度和韌性。除了直接用于結(jié)構(gòu)預(yù)測，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也可用做拓?fù)鋬?yōu)化中分析程序的代理模型。White等[62]將單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)納入到了多尺度拓?fù)鋬?yōu)化框架，用于預(yù)測具有微觀結(jié)構(gòu)的超材料等效材料屬性。

除了上述人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)合方式外，也有學(xué)者嘗試將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的尋優(yōu)算法與拓?fù)鋬?yōu)化框架結(jié)合以提高計算效率。Hoyer等[63]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對函數(shù)的隱偏置來改進拓?fù)鋬?yōu)化的參數(shù)，通過優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，而不是直接優(yōu)化網(wǎng)格上的密度來實現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化的過程，結(jié)果表明這種方法可以通過網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練實現(xiàn)更好的設(shè)計。Chandrasekhar等[64]將SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相互融合，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為優(yōu)化框架的一部分，使用Adam優(yōu)化器代替了傳統(tǒng)SIMP法中的優(yōu)化求解器。相比于傳統(tǒng)的SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與有限元分析相結(jié)合的框架可在總體上節(jié)約一半的計算成本，大幅提高了運行的效率。

4 深度學(xué)習(xí)與結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

深度學(xué)習(xí)DL(Deep Learning)是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要分支，一般指從輸入到輸出具有多層結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。相比于結(jié)構(gòu)簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，深度學(xué)習(xí)模型具有更加復(fù)雜的層級結(jié)構(gòu)與更加多樣化的數(shù)據(jù)處理方式，具有強大的非線性處理能力。目前常見的深度學(xué)習(xí)模型主要包括CNN模型、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RNN(Recurrent Neural Networks)、自編碼器(Autoencoders)、深度置信網(wǎng)絡(luò)(Deep Belief Nets)和生成對抗網(wǎng)絡(luò)GAN(Generative Adversarial Networks)等[45]。這些模型在處理復(fù)雜關(guān)系模擬、大量數(shù)據(jù)擬合等問題時有著出色的表現(xiàn)。本節(jié)根據(jù)不同的數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)模式，詳細(xì)介紹了以回歸拓?fù)錇槟康牡幕貧w式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化和以生成拓?fù)錇槟康牡纳墒浇Y(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的框架和應(yīng)用，系統(tǒng)歸納了基于相關(guān)算法的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計工作。

4.1 回歸式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

部分深度學(xué)習(xí)在拓?fù)鋬?yōu)化方向的應(yīng)用采用回歸拓?fù)錁?gòu)型的技術(shù)路線，即在深度學(xué)習(xí)模型中僅將拓?fù)鋬?yōu)化問題作為圖形的回歸問題處理，在模型的構(gòu)造與使用過程中不考慮目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量取值等拓?fù)鋬?yōu)化要素。其中，CNN模型由于其基于卷積操作實現(xiàn)了對以圖像為首的多維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的小參數(shù)處理，大幅降低了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對多維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的處理難度，是最受工程領(lǐng)域關(guān)注的深度學(xué)習(xí)模型之一，其具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖3所示。CNN模型架構(gòu)一般包括用于提取數(shù)據(jù)特征的卷積層和用于數(shù)據(jù)降維的池化層。二者相結(jié)合可以在使用較少參數(shù)的同時有效提取圖像在各個尺度上的信息。由于CNN模型出色的圖形處理能力，學(xué)者們將其應(yīng)用到拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域以加速優(yōu)化進程。Sosnovik等[65]將深度學(xué)習(xí)模型引入到SIMP拓?fù)鋬?yōu)化之中，提出了一種輕量級的CNN模型模仿拓?fù)漕A(yù)測過程，以初步迭代的結(jié)構(gòu)密度分布與梯度值作為初始信息，快速獲得可靠的拓?fù)錁?gòu)型，顯著加速了拓?fù)鋬?yōu)化的進程。Wang等[66]則是提出了一個具有較強泛化能力的深層CNN模型，通過擴大樣本集規(guī)模并豐富輸入數(shù)據(jù)類型，來緩和深層深度學(xué)習(xí)模型的過擬合情況，并增強其泛化能力。Sasaki等[67]構(gòu)建了一個CNN模型，用于電機結(jié)構(gòu)的最大化平均扭矩設(shè)計，基于所訓(xùn)練模型獲得的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與基于傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化所獲得的結(jié)果相比，在形狀和性能上相差不大，但計算成本降低了約10%～33%。不同于上述基于二維拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究，Banga等[68]將三維工況下SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法與CNN模型相結(jié)合。詳細(xì)討論了模型不同通道數(shù)據(jù)對預(yù)測結(jié)果精度的影響。經(jīng)過良好訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)模型，在保證模型預(yù)測準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，相比于傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，縮短了40%的整體運算時間，顯著提升了運行的效率。

圖3 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)框架[45]

為使傳統(tǒng)CNN模型更能適應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化問題，一些學(xué)者對CNN模型進行了改進。Abueidda等[69]將深度特征拼接技術(shù)與CNN模型結(jié)合，對線彈性小變形問題、具有幾何和物理非線性的超彈性響應(yīng)問題以及線彈性應(yīng)力約束問題進行了相關(guān)的拓?fù)鋬?yōu)化研究，同時使用超級計算機來進行樣本集的采集與模型的訓(xùn)練，大幅減少了整體運算時間。為解決傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法在加大網(wǎng)格數(shù)量時，面臨的維度詛咒的挑戰(zhàn)，Xue等[70]將超分辨率卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)SRCNN(Super Resolution Convolutional Neural Network)技術(shù)引入到拓?fù)鋬?yōu)化框架，并建立了新的池化策略，使得優(yōu)化過程中的有限元分析數(shù)量與輸出網(wǎng)格的數(shù)量保持平衡，該研究最大的亮點是在處理三維拓?fù)鋬?yōu)化問題時，通過集成多個二維拓?fù)鋬?yōu)化網(wǎng)絡(luò)進行最優(yōu)拓?fù)涞念A(yù)測。此方法既保證了最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型的預(yù)測質(zhì)量，也減少了訓(xùn)練三維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時間成本。Nakamura等[71]在深度學(xué)習(xí)模型的編碼器和解碼器中分別使用了批正則化(Batch Normalization)和空間適應(yīng)去正則化(Spatially Adaptive Denormalization)技術(shù)，并表明了在相同模型框架結(jié)構(gòu)下，其模型具有更好的預(yù)測精度，實現(xiàn)了在給定任意設(shè)計域和邊界條件下，無需任何的迭代過程即可實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。此外，基于CNN模型還可進行超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計[72]和散熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計[73]等。

除CNN模型外，一些學(xué)者還基于其他深度學(xué)習(xí)模型，在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域進行了探索。Deng等[74]指出解決非線性高維的拓?fù)鋬?yōu)化問題需要使用智能優(yōu)化算法，但是由于其計算量較大，導(dǎo)致相關(guān)的拓?fù)鋬?yōu)化面臨巨大的挑戰(zhàn)。為解決這個問題，提出了一個自主在線學(xué)習(xí)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并使之與廣義模擬退火模型GSA(Generalized Simulated Annealing)相結(jié)合來取代拓?fù)鋬?yōu)化計算中的有限元分析部分，該模型的主要特點是可以動態(tài)產(chǎn)生深度學(xué)習(xí)模型所需要的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，從而避免產(chǎn)生與最優(yōu)值距離較遠(yuǎn)的不相關(guān)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，有助于深度學(xué)習(xí)模型在關(guān)鍵區(qū)域?qū)崿F(xiàn)更好的回歸效果，以便做到更準(zhǔn)確地預(yù)測。該模型可以降低兩個數(shù)量級以上的計算耗時，為進行大規(guī)模三維非線性拓?fù)鋬?yōu)化帶來了可能。Bi等[75]提出了一個集成深度學(xué)習(xí)和并行計算的通用可擴展框架，以提高拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計效率。該框架的核心思想是深入挖掘迭代歷史數(shù)據(jù)，利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成當(dāng)前拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的代理梯度，在處理一個新的設(shè)計問題時，只需要進行在線的自主學(xué)習(xí)，而不需要前期進行大量的數(shù)據(jù)采集工作。以大規(guī)?；谠霾闹圃斓慕Y(jié)構(gòu)設(shè)計為例，當(dāng)前的拓?fù)鋬?yōu)化框架能夠顯著節(jié)約計算成本，與傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計相比，可提高設(shè)計速度約8.6倍。Yang等[76]提出了一種基于圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GCN(Graph Convolutional Networks)的拓?fù)鋬?yōu)化框架，解決了傳統(tǒng)基于CNN拓?fù)鋬?yōu)化框架存在高稀疏性和噪聲問題。針對基于梯度的拓?fù)鋬?yōu)化框架，Qian等[77]構(gòu)建了一個對偶型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(Dual-model Neural Networks)，此模型能夠提供較為精確的靈敏度和目標(biāo)函數(shù)的評估，并通過將此模型嵌入到基于梯度的拓?fù)鋬?yōu)化框架內(nèi)，取代原框架內(nèi)高維的仿真分析，顯著加速了拓?fù)鋬?yōu)化的進程。此外還提出了一個高效的圖形訓(xùn)練數(shù)據(jù)生成方法，降低了訓(xùn)練模型所需的時間成本?；谒鶚?gòu)建的模型，分別研究了結(jié)構(gòu)最小柔順性拓?fù)鋬?yōu)化問題和具有負(fù)泊松比的超材料設(shè)計問題，兩種問題均達到了較為理想的結(jié)果。

4.2 生成式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

與回歸式設(shè)計不同，生成式設(shè)計在模型的訓(xùn)練過程中可以考慮模型目標(biāo)函數(shù)、制造可行性及美觀性等多種拓?fù)鋬?yōu)化要素與評價方法，上述特點使近年來學(xué)者們發(fā)展的許多生成式模型，如變分自動編碼器VAE(Variational Auto-Encoder)模型和GAN模型等適用于生成式拓?fù)鋬?yōu)化問題研究。以下將分別對兩者與拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)合應(yīng)用進行介紹。

GAN模型[78]是深度學(xué)習(xí)模型的一種，主要由生成器和判別器兩個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)成，通過兩個模型之間的相互博弈，使得生成器模型能夠產(chǎn)生與原始樣本相近的新樣本，達到以假亂真的目的。相比于傳統(tǒng)的非監(jiān)督式學(xué)習(xí)效率，GAN模型有效提升了相關(guān)問題的學(xué)習(xí)效率，激發(fā)了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界對深度學(xué)習(xí)的興趣與期待，其具體框架如圖4所示。

圖4 生成對抗網(wǎng)絡(luò)(GAN)模型框架[79]

一些學(xué)者通過引入GAN模型來實現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化過程。Rawat等[80]在SIMP拓?fù)鋬?yōu)化框架下，基于Wasserstein生成對抗網(wǎng)絡(luò)(WGAN)實現(xiàn)了特定載荷和特定邊界條件下不同材料體積約束與拓?fù)鋬?yōu)化超參數(shù)(密度懲罰系數(shù)，濾波器半徑)設(shè)計的生成，同時設(shè)計了一套CNN網(wǎng)絡(luò)，基于WGAN生成的設(shè)計，輸出材料體積約束與拓?fù)鋬?yōu)化超參數(shù)。隨后，對WGAN網(wǎng)絡(luò)進行了修改，將二維拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計生成拓展到了三維問題，指出雖然圖形預(yù)測質(zhì)量有所下降，但傳力路徑依舊存在較高的可辨識性[81]。然而，上述工作僅面向單一確定工況的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，實用性有限。Sharpe等[82]基于cGAN[83]框架實現(xiàn)了對任意體積約束、載荷位置的結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型預(yù)測，利用標(biāo)準(zhǔn)SIMP方法和多尺度方法獲得的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)據(jù)訓(xùn)練了不同的cGAN。上述模型將體分比、負(fù)載位置和材料類型設(shè)定為網(wǎng)絡(luò)的輸入，以用于快速生成工程師能夠使用的初始設(shè)計。相比于傳統(tǒng)GAN模型，cGAN在生成器輸入與判別器輸入處均添加了圖片的標(biāo)簽向量，并根據(jù)該向量重構(gòu)了模型的訓(xùn)練損失以確保生成器與判別器在對應(yīng)標(biāo)簽范圍內(nèi)發(fā)揮作用。Nie等[84]將擠壓激勵殘差聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)(U -SE-ResNet)與cGAN相結(jié)合，進一步提升了生成器對于拓?fù)鋬?yōu)化問題的生成性能，并實現(xiàn)了根據(jù)載荷、邊界條件及材料體積約束生成拓?fù)錁?gòu)型的TopologyGAN框架。對比基本的cGAN框架，針對未知邊界條件的問題，所提框架能夠使均方誤差降低3倍，絕對誤差降低2.5倍，大幅提高了最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的預(yù)測精度。并且通過上述高維的數(shù)據(jù)表征方法，該框架的適用性近乎擴展到了全部的拓?fù)鋬?yōu)化問題。通過將圖像標(biāo)簽替換為拓?fù)鋬?yōu)化的載荷邊界條件，完成了cGAN與拓?fù)鋬?yōu)化的對接。除了約束和載荷較為明確的常規(guī)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題外，GAN也可用于更為復(fù)雜的工程產(chǎn)品拓?fù)鋬?yōu)化中。Oh等[85]基于樣本分類、邊界平衡生成對抗網(wǎng)絡(luò)、創(chuàng)新性篩查與優(yōu)質(zhì)樣本擴充等一系列手段建立了可控制性能與幾何約束的GAN設(shè)計生成框架，并將該框架用于生成二維輪胎承力結(jié)構(gòu)設(shè)計，這些設(shè)計選項不僅符合美學(xué)，而且具有優(yōu)良的工程性能。除了二維產(chǎn)品，GAN也可用于更為復(fù)雜的三維工程產(chǎn)品生成。Shu等[86]基于點云模型與GAN網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了飛行器整機的設(shè)計生成。

變分自編碼器(VAE)[87]是自編碼器的改進版本，通過在傳統(tǒng)的自編碼器潛在空間Z增加一個正態(tài)分布約束，實現(xiàn)對先驗數(shù)據(jù)分布進行建模。其包含編碼器和解碼器兩個部分。編碼器將數(shù)據(jù)分布的高級特征映射到數(shù)據(jù)的低級表征，低級表征又叫做本征向量。解碼器通過吸收數(shù)據(jù)的低級表征，輸出同樣數(shù)據(jù)的高級表征。其具體的框架如圖5所示。

圖5 自編碼器框架

對于沒有確定方程描述的問題，基于傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法進行優(yōu)化設(shè)計時可能會面臨巨大的挑戰(zhàn)。Guo等[88]基于SIMP方法生成的樣本，構(gòu)建了一個VAE的生成模型，為上述問題的求解提供了新的求解思路。該方法將二維的拓?fù)錁?gòu)型代入到一個低維的隱空間中進行相應(yīng)的優(yōu)化過程，并通過解碼生成一個二維的拓?fù)錁?gòu)型。基于此方法進行了熱傳導(dǎo)問題的優(yōu)化，與傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化框架相比，所建立的模型能夠同時提高計算效率及求解質(zhì)量。為解決傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法在解決復(fù)雜約束問題時面臨的挑戰(zhàn)，Zhang等[89]基于變分自編碼器(VAE)提出了新的結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化設(shè)計方法。此方法利用該模型的學(xué)習(xí)能力學(xué)習(xí)約束條件，從而自動生成滿足所有約束條件的設(shè)計對象。上述研究證明了VAE網(wǎng)絡(luò)能夠不基于物理模擬來學(xué)習(xí)相關(guān)設(shè)計問題的基本方程，即可生成一種有效的設(shè)計。優(yōu)化結(jié)果表明即使基于較為簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架，也能夠相對容易地解決不同物理問題，而且不需要進行靈敏度分析。除單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化外，多目標(biāo)優(yōu)化中也存在相關(guān)的深度學(xué)習(xí)應(yīng)用。Yamasaki等[90]將材料體積約束與結(jié)構(gòu)性能同時作為設(shè)計變量，對應(yīng)固定載荷構(gòu)筑了拓?fù)鋬?yōu)化問題的帕列托前沿解集，并基于該帕列托前沿上的樣本點訓(xùn)練了自變分編碼器(VAE)拓?fù)鋬?yōu)化框架。完成訓(xùn)練后，僅需更改輸入隱變量的數(shù)值即可使該模型產(chǎn)生不同的生成圖形結(jié)果。另外，他們在過去的工作中提出了一種設(shè)計域映射方法，以將不規(guī)則設(shè)計域與載荷映射到規(guī)則設(shè)計域上進行優(yōu)化，再將優(yōu)化結(jié)果反映射回不規(guī)則設(shè)計域。通過將上述方法與VAE拓?fù)鋬?yōu)化框架相結(jié)合，使得此方法的普適性在一定程度上獲得了擴充。

除了上述基于單一生成模型架構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究工作之外，一些學(xué)者將生成模型與其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合，形成了基于復(fù)雜集成架構(gòu)的深度學(xué)習(xí)拓?fù)鋬?yōu)化框架。Tan等[91]提出了一種基于深度卷積生成對抗網(wǎng)絡(luò)DCGAN(Deep Convolutional Generative Adversarial Networks)和CNN的微結(jié)構(gòu)材料設(shè)計深度學(xué)習(xí)模型，其中DCGAN模型用于生成最優(yōu)的設(shè)計構(gòu)型，CNN模型用于預(yù)測最優(yōu)構(gòu)型的相關(guān)力學(xué)響應(yīng)。該模型具有處理幾何約束簡單和效率高的優(yōu)點。然而，其處理的問題尺度依舊有限。Yu等[79]基于SIMP拓?fù)鋬?yōu)化方法生成的10萬個具有不同體分比和邊界條件下的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，分別訓(xùn)練了基于卷積操作的自編碼器(AE)和條件生成對抗網(wǎng)絡(luò)(cGAN)。其中，AE模型用于根據(jù)載荷與邊界條件生成最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型，其輸出用作cGAN模型的輸入，以實現(xiàn)圖像從低分辨率到高分辨率的增強。所提模型可實現(xiàn)任意給定的邊界條件和體分比的近似最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型預(yù)測，并實現(xiàn)分辨率增強以達到多尺度拓?fù)鋬?yōu)化的效果。然而，其展示的結(jié)果中，高分辨率拓?fù)洳⑽凑宫F(xiàn)出密集網(wǎng)格應(yīng)有的幾何細(xì)節(jié)。

5 結(jié) 論

隨著工業(yè)界對創(chuàng)新構(gòu)型設(shè)計、結(jié)構(gòu)的輕質(zhì)及高性能等特定功能的需求不斷提高，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法也在不斷根據(jù)工程實際使用需求做出相應(yīng)的創(chuàng)新。為改善傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法中由于反復(fù)迭代及大規(guī)模有限元計算導(dǎo)致的計算效率較低的問題，將以機器學(xué)習(xí)為代表的人工智能方法引入到拓?fù)鋬?yōu)化框架，加速了拓?fù)鋬?yōu)化進程，為實現(xiàn)實時的大規(guī)模拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計提供了可能。

由文中提及的各項工作的表現(xiàn)效果可以看到，基于機器學(xué)習(xí)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及深度學(xué)習(xí)的拓?fù)鋬?yōu)化相關(guān)工作很大程度上繼承了對應(yīng)模型的特點，即機器學(xué)習(xí)模型結(jié)構(gòu)簡單，需求的驅(qū)動數(shù)據(jù)較少，易于實現(xiàn)與訓(xùn)練，但模型對于多變量問題的處理能力略有不足；深度學(xué)習(xí)模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需求驅(qū)動數(shù)據(jù)量大，但模型對多變量和高度非線性問題的處理能力較強；而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則居于兩者之間。值得關(guān)注的問題是，盡管目前通過構(gòu)建不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以對計算速度提供幾個數(shù)量級的提升。但這些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過程中往往占據(jù)大量的計算資源，如以大規(guī)模有限元分析為基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)累積等。雖然部分神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)對原有的離線學(xué)習(xí)模型進行了改進，但對整體的拓?fù)鋬?yōu)化效率依然有一定影響。想要真正提高效率，就必須將結(jié)構(gòu)力學(xué)原理與模型結(jié)合，開發(fā)有效的數(shù)據(jù)生成方法，提高模型訓(xùn)練效率。

增材制造等先進制造技術(shù)不斷革新，為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的發(fā)展提供了肥沃的土壤，也為具有多功能的復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供了制造的可能。在如此注重效率的工業(yè)領(lǐng)域，加快拓?fù)鋬?yōu)化進程是提高工業(yè)制造效率的首要環(huán)節(jié)。機器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)等智能優(yōu)化算法與拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)合為高效高質(zhì)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計提供了新的思路，目前人工智能與拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合尚處于起步階段，但近年已經(jīng)呈現(xiàn)出蓬勃發(fā)展的勢頭，期待此領(lǐng)域的學(xué)者能夠發(fā)展出更好的智能算法，將人工智能與拓?fù)鋬?yōu)化進一步聯(lián)系在一起，建立具有大規(guī)模、多功能和魯棒性強的拓?fù)鋬?yōu)化框架。

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