劉延彬

【摘? ?要】? ?給出了平面運(yùn)動(dòng)剛體上外力之功的推導(dǎo)過(guò)程，分析了作用在剛體上外力之功與作用在質(zhì)點(diǎn)上外力之功的異同，厘清了平面運(yùn)動(dòng)剛體的外力之功的計(jì)算過(guò)程，并且進(jìn)行了例題分析及詳細(xì)討論。

【關(guān)鍵詞】? ?平面運(yùn)動(dòng);剛體;功

Analysis of the External Force of a Plane Moving Rigid Body

Liu Yanbin

（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001，China）

【Abstract】? ? This paper gives the derivation process of work of external force acting on a plane moving rigid body， analyzes the similarities and differences between it and the work of external force acting on a particle， clarifies the calculation process of work of external force acting on a plane moving rigid body， and makes example analysis and discussion of this issue.

【Key words】? ? ?plane motion;rigid body;work

0? ? ?引言

功是描述外力在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的空間累積效應(yīng)，是能量變化的一種量度，亦是理論力學(xué)課程的重要概念之一。作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上的外力之功與作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力之功計(jì)算方法具有較大的差異。作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上的力系與作用在運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)上的力系不同，具有其特殊性。力系作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上時(shí)， 力的作用點(diǎn)可能相對(duì)剛體靜止， 也可能相對(duì)剛體移動(dòng)，即力的作用點(diǎn)可能會(huì)發(fā)生變更?，F(xiàn)有理論力學(xué)教材中，都是先給出作用于質(zhì)點(diǎn)上的力做功的概念，然后從力系簡(jiǎn)化出發(fā)，直接給出作用在平動(dòng)剛體上力系功的計(jì)算公式[1-2]，并沒(méi)有給出具體的推導(dǎo)過(guò)程。計(jì)算公式說(shuō)起來(lái)簡(jiǎn)單，但是常常引起學(xué)生困惑不解，計(jì)算作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上的外力之功時(shí)往往無(wú)從下手[3-4]。

本文對(duì)作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上的力系所做的功進(jìn)行討論，并厘清其與作用在質(zhì)點(diǎn)上力系所做的功的異同，以期給理論力學(xué)初學(xué)者明晰的概念。

1? ? ?平面運(yùn)動(dòng)剛體的外力之功

質(zhì)點(diǎn)[M]在變力[F]的作用下，其微小位移為[dr]，在這微小位移中，力[F]做的稱(chēng)為元功，記為[δW]，則

[δW=F?dr]? （1）

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為質(zhì)心的平動(dòng)及圍繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，故本文基于質(zhì)心討論作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上的外力之功。令剛體受到的力系為[（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n）]，各力的作用點(diǎn)分別為[（P1，P2，…，Pn）]，剛體質(zhì)心C的矢徑為[rC]，剛體的角速度矢量為[ω]。剛體上任意給定點(diǎn)[Pk]，其速度矢量為：

[rk=vC+ω×ρk]? （2）

由于[ω=zdφ/dt]，令[dφ=zdφ]為剛體無(wú)限小角位移矢量。由（1）式可得[Pk]的無(wú)限小的位移，位移矢量[drk]與質(zhì)心的無(wú)限小位移矢量[drC]和剛體無(wú)限小角位移矢量[dφ]的關(guān)系，即：

[drk=drC+dφ×ρk]? （3）

則[n]個(gè)力所做的元功之和為：

[δW=k=1nFk?（drC+dφ×ρk）? ? ?=k=1nFk?drC+k=1n（Fk×ρk）?dφ]? （4）

由靜力學(xué)可知，主矢和主矩的定義為：

[FR=k=1nFkMC=k=1n（Fk×ρk）]? （5）

且[MC]與[dφ]同向，所以（4）式可以簡(jiǎn)化為：

[δW=FR?drC+MCdφ]? （6）

力所做的功及元功如圖1所示。從（6）式可以看出，平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功等于力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化所得的主矢和主矩所做的功之和。從以上推導(dǎo)可以看出，對(duì)于剛體平面運(yùn)動(dòng)，功的定義中的位移是剛體上受力質(zhì)點(diǎn)的位移。此外，以上推導(dǎo)不但適用于質(zhì)心為基點(diǎn)，而且對(duì)剛體上的任意一點(diǎn)為基點(diǎn)時(shí)仍然適用。

考慮質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)路徑為[l]，則力系所做的功為：

[W=lFC?drC+MCdφ=lFR?vC+MCωdt]? （7）

元功對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為功率，通常以P表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

[P=δWdt]? （8）

由（6）式可得，主矢和主矩的功率方程可寫(xiě)成：

[P=FR?vC+MCω]? （9）

式中[vC]是質(zhì)心的速度，[ω]是平面運(yùn)動(dòng)剛體的角速度。

2? ? ?作用在剛體外力之功的說(shuō)明

與作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力不同，作用在運(yùn)動(dòng)剛體上力的作用點(diǎn)可能相對(duì)剛體靜止， 也可能相對(duì)剛體移動(dòng)，即力的作用點(diǎn)可能會(huì)發(fā)生變更。所以，需要明確與作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的功的異同。作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系所做的功分為兩項(xiàng)：一是主矢所做的功;二是簡(jiǎn)化到質(zhì)心上的主矩所做的功。對(duì)于一些特殊情況，作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上的外力不做功，與計(jì)算質(zhì)點(diǎn)外力做功類(lèi)似，計(jì)算作用在平動(dòng)剛體上的力系做功時(shí)可以忽略不做功的力。本文針對(duì)作用在剛體上的外力之功做如下4點(diǎn)具體說(shuō)明。

（1）[dr]是力作用質(zhì)點(diǎn)的元位移：對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的剛體，功定義式中的位移是剛體上受力質(zhì)點(diǎn)的元位移。

（2）力系所做的功與選擇的參考系有關(guān)：從功的推導(dǎo)過(guò)程可以看出，不同參考系下，相同的力系所做的功可能不相同，在不限定參考系的前提下討論一個(gè)力系所做的功并沒(méi)有意義。

（3）理想約束的約束反力不做功：理想約束力的方向與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向垂直，由功的定義式（1）可知，剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，作用在剛體上的理想約束力所做的功為零。理想約束主要包括：光滑固定面約束，光滑鉸鏈、無(wú)重力桿、不可伸長(zhǎng)柔索、固定端約束等。

（4）作用在速度瞬心上的外力不做功：對(duì)于速度瞬心，其速度[v=0]，必有[dr=vdt=0]，由元功的定義式（1）可知，作用在速度瞬心上的力不做功。

3? ? ?實(shí)例分析及討論

計(jì)算作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系所做功的步驟如下。

（1）畫(huà)出平面運(yùn)動(dòng)剛體的受力分析圖;（2）判斷剛體做平面運(yùn)動(dòng)過(guò)程不做功的力;（3）將做功的力向質(zhì)心簡(jiǎn)化;（4）計(jì)算主矢和主矩;（5）基于公式（7），計(jì)算力系所做的功。

例題1? ?如圖2（a）所示，勻質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為[m]，半徑為[R]，作用于圓盤(pán)的力偶為[M]，圓盤(pán)沿水平直線做純滾動(dòng)，求當(dāng)圓盤(pán)[C]走過(guò)路程[S]時(shí)圓盤(pán)所受力系的功。

解：圓盤(pán)的受力分析如圖2 （b）所示，[FS]是摩擦力，[FN]是平面的支持力。由于P點(diǎn)是平面運(yùn)動(dòng)圓盤(pán)的速度瞬心，所以[FS]與[FN]均不做功;在垂直方向上圓盤(pán)沒(méi)有位移，重力亦不做功，所以做功的只有力偶[M]，故力系所做的功為：

[W=MSR]

討論：對(duì)于摩擦力[FS]，可以將其平移至質(zhì)心，證明其做功為零，[FS]對(duì)質(zhì)心的力矩為：

[MC=FSR]

故摩擦力做的功為：

[WS=FSS-FSRSR=0]

可見(jiàn)采用（6）式計(jì)算，摩擦力[FS]做功仍為0。

例題2? ?勻質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為[m]，半徑為[R]，外緣上纏繞無(wú)重細(xì)繩，繩頭水平固定在墻上，如圖3（a） 所示。圓盤(pán)中心[C]點(diǎn)作用一個(gè)較大的力[F]，使圓盤(pán)中心[C]向右加速運(yùn)動(dòng)，圓盤(pán)與水平地面間滑動(dòng)摩擦系數(shù)為[f]，力[F]為常量，求當(dāng)圓盤(pán)[C]走過(guò)路程[S]時(shí)圓盤(pán)所受力系的功。

解：圓盤(pán)的受力分析如圖3（b） 所示。由于繩子不可伸長(zhǎng)，圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)如同沿繩索水平方向做純滾動(dòng)，故[P]點(diǎn)為圓盤(pán)的速度瞬心，所以繩子的拉力[FT]不做功;在垂直方向上沒(méi)有位移，故重力[mg]及支持力[FN]亦不做功。將摩擦力[FS]向質(zhì)心[C]平移，則作用在圓盤(pán)上的做功的力的主矢為：[FR=F-FS]，主矩為：[MC=FSR=mgfR]（順時(shí)針）。由公式（7）可得力系所做功為：

[W=FRS+MCSR? =F-mgfS-mgfRSR=FS-2mgfS]

討論：在此題中，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，主矩為順時(shí)針，故主矩做負(fù)功。拉力[F]僅僅在平動(dòng)過(guò)程中做功，而摩擦力不但對(duì)剛體的平動(dòng)做功，而且對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)亦做功。

摩擦力做功的問(wèn)題是理論力學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，常常有學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)：摩擦力總阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，為什么還能不做功或者做正功呢？從以上兩個(gè)實(shí)例可以看出摩擦力可以做負(fù)功，亦可以不做功。此外，對(duì)于一些情況摩擦力亦可以做正功。

4? ? ?結(jié)論

針對(duì)作用在平面運(yùn)動(dòng)剛體上的外力的功，本文闡述了其與作用在質(zhì)點(diǎn)上外力的功的異同，澄清了平面運(yùn)動(dòng)剛體上外力功的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，得出如下具體結(jié)論：（1）[dr]是力作用質(zhì)點(diǎn)的元位移;（2）力系所做的功與選擇的參考系有關(guān);（3）理想約束的約束反力不做功;（4）作用在速度瞬心上的外力不做功;（5）不同情況下，平面運(yùn)動(dòng)剛體上的摩擦力可以做正功、負(fù)功或是不做功。

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