楊天才

摘 要：萬(wàn)有引力是在1687年由牛頓發(fā)現(xiàn)的，庫(kù)侖力是法國(guó)物理學(xué)家查爾斯·庫(kù)侖在1785年發(fā)現(xiàn)的，它們都滿(mǎn)足與距離的平方成反比，即平方反比律，由他們?cè)谇蝮w（殼）周?chē)a(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度非常相似，在球殼內(nèi)部為零，在球體內(nèi)部強(qiáng)度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比，本文對(duì)兩種強(qiáng)度做對(duì)比.

關(guān)鍵詞：萬(wàn)有引力;庫(kù)侖力;電場(chǎng)強(qiáng)度;球體;球殼

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0077-03

萬(wàn)有引力是在1687年由牛頓發(fā)現(xiàn)的，庫(kù)侖力是法國(guó)物理學(xué)家查爾斯·庫(kù)侖在1785年發(fā)現(xiàn)的，它們都滿(mǎn)足與距離的平方成反比，即平方反比律，由他們?cè)谇蝮w（殼）周?chē)a(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度非常相似，在球殼內(nèi)部為零，在球體內(nèi)部強(qiáng)度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.具體見(jiàn)下表：

引力場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度

定義式g=GMr2

E=kQr2

球體空腔內(nèi)部特點(diǎn)勻質(zhì)球體在空腔內(nèi)任意一點(diǎn)位置形成的合引力場(chǎng)強(qiáng)度為零均勻帶電球殼在其內(nèi)部任意一點(diǎn)位置形成的合場(chǎng)強(qiáng)為零（法拉第圓筒實(shí)驗(yàn)）

勻質(zhì)（或均勻）實(shí)心球體內(nèi)部的強(qiáng)度公式（r<R）

g=43Gπρ·r（ρ表物質(zhì)的密度）

E=43kπρ′·r（ρ′為體電荷密度，可理解帶電體單位體積的帶電量）

勻質(zhì)（或均勻）實(shí)心球體外部的強(qiáng)度公式（r>R）

g=GMr2

E=kQr2

勻質(zhì)（或均勻）實(shí)心球體在空間產(chǎn)生的強(qiáng)度隨離球心的距離的函數(shù)圖像圖1圖2

球殼在空間產(chǎn)生的強(qiáng)度隨離球心的距離的函數(shù)圖像

一、部分結(jié)論推導(dǎo)和應(yīng)用

結(jié)論一 在勻質(zhì)球體的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力的合力為零.

解析 一個(gè)勻質(zhì)球殼，可視為無(wú)限多厚度可以忽略不計(jì)的同心球殼組成.取一個(gè)球殼，并過(guò)球殼內(nèi)任一點(diǎn)O作一圖5對(duì)頂角很小的對(duì)頂圓錐，如圖5所示.這時(shí)圓錐底面可視為兩質(zhì)量元，質(zhì)量分別為m1和m2，設(shè)兩質(zhì)量元半徑為r1和r2且到O點(diǎn)的距離為R1和R2，球殼密度為ρ，則它們對(duì)于O處質(zhì)點(diǎn)（m）的萬(wàn)有引力分為F1=Gm1mR21=Gπr21ρmR21，F(xiàn)2=Gm2mR22=Gπr22ρmR22，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，有R1r1=R2r2，所以F1=F2，因兩引力方向相反，所以其合引力為零.依此類(lèi)推，球殼上其他任意兩個(gè)對(duì)應(yīng)部分，在球殼內(nèi)任意一點(diǎn)產(chǎn)生的合引力也為零，從而球殼組成的球?qū)訉?duì)其任意點(diǎn)的合引力為零，合引力場(chǎng)強(qiáng)度也為零.

結(jié)論二 均質(zhì)實(shí)心星球內(nèi)部某點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)到星球球心的距離r成正比.

解析 一個(gè)位于該星球內(nèi)部，且距星球心為r的物體受到星球的萬(wàn)有引力，就可視為厚度為（R-r）的球?qū)雍桶霃綖閞的球體的引力的合力.因?yàn)榍驅(qū)訉?duì)其內(nèi)部任一點(diǎn)的引力為零，所以物體受到的星球引力就等于半徑為r的球體所產(chǎn)生的引力.若設(shè)均質(zhì)星球體的密度為ρ，則g=GMr2=G43πr3ρr2=43Gπρ·r，即在星球內(nèi)部，某點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)到星球球心的距離r成正比.

結(jié)論三 均勻?qū)嵭膸щ娗蝮w內(nèi)部某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)到球心的距離r成正比.

解析 由法拉第圓筒實(shí)驗(yàn)，電荷只分布在導(dǎo)體的外表面上，導(dǎo)體內(nèi)部沒(méi)有靜電荷，即均勻帶電薄球殼上的電荷在球的空腔內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，在球殼外某點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 與將球殼中所有電荷集中在球心后在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相等.若設(shè)均勻?qū)嵭膸щ娗蝮w單位體積帶的電荷量的密度為ρ′，則E=kQ′r2=k43πr3ρ′r2=43kπρ′·r，即在帶電體內(nèi)部，某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)到球心的距離r成正比.

例1 （2012年高考全國(guó)卷）假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（）.

A.1-dR B.1+dR C.（1-dR）2 D. （RR-d）2

解析 均勻球殼對(duì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力合力為零.地面處重力加速度：mg=GMmR2 又M=ρ43πR3， 得g=43πGRρ;

同理礦井底部重力加速度： g′=43πG（R-d）ρ;所以g′g=1-dR，故A項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 題目給出了“均勻球殼對(duì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力合力為零”，但大多數(shù)同學(xué)沒(méi)理解這句信息而導(dǎo)致本題錯(cuò)誤率較高.其實(shí)礦井底部重力加速度可等效半徑為R-d的小“地球”表面的重力加速度，這樣就大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題.

例2 假設(shè)地球是一半徑為R質(zhì)量分布均勻的球體.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，距離地球球心為r處的重力加速度大小可能為如圖6圖像中的哪一個(gè)（）.

圖6

解析 設(shè)地球的密度為ρ，當(dāng)物體處于地心時(shí)，所受萬(wàn)有引力為零，加速度為零;當(dāng)距地心距離為r<R時(shí)，只有半徑為r的球體對(duì)其產(chǎn)生萬(wàn)有引力，根據(jù)GM′mr2=ma，又M′=ρ43πr3， 得a=43πGrρ，即加速度與半徑成正比;當(dāng)距地心距離為r>R時(shí)，根據(jù)GMmr2=ma，M=ρ43πR3得a=4R33r2πGρ，加速度與的平方成反比，故B項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 本題再一次考查對(duì)“均勻球殼對(duì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力合力為零”的理解，雖然不要求推導(dǎo)這個(gè)結(jié)論的由來(lái)，但要學(xué)生直接利用這個(gè)結(jié)論來(lái)解題.

例3 如圖7所示是某農(nóng)家院內(nèi)打出一口深度為d圖7的水井，如果質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，地球可以看作是質(zhì)量分布均勻的球體，地球半徑為R，則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為（）.

A.R-dR B. （R2-d2）（R+d）R3

C.R2-d2RD.（R2-d2）（R+d）R2

解析 根據(jù)萬(wàn)有引力定律，地球表面上的重力加速度g=GMR2.設(shè)離地面高度為d處的重力加速度為g′，由萬(wàn)有引力定律有

g′=GM（R+d）2

，兩式聯(lián)立得g′=R2（R+d）2g，根據(jù)結(jié)論，球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零，則礦井底部的物體m′只受到其以下球體對(duì)它的引力，則有g(shù)″=R-dRg，所以g″g′=（R2-d2）（R+d）R3，B項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 本題考查天上某點(diǎn)和地球里某點(diǎn)的重力加速度之比，因它們滿(mǎn)足不同的規(guī)律，或者說(shuō)定義域不同，分段函數(shù)的函數(shù)關(guān)系就不同，這是要注意的.

例4 已知均勻帶電球體在其外部產(chǎn)生的電場(chǎng)與

圖8

一個(gè)位于球心的、電荷量相等的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，而均勻帶電球売在其內(nèi)部任意一點(diǎn)形成的電場(chǎng)強(qiáng)度為零.如圖8所示，現(xiàn)有一半徑為R、電荷量為Q的均勻帯正電絕緣球體，M、N為一條直徑上距圓心O為R2的兩點(diǎn)，靜電力常量為k，則（）.

A.M、N點(diǎn)的電勢(shì)小于O點(diǎn)的電勢(shì)

B.M、N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同

C.M、N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為kQ2R2

D.M、N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為kQ8R2

解析 根據(jù)題述可知均勻帶電絕緣球體的電場(chǎng)線(xiàn)由圓心沿半徑向外，由電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)降低可知，M、N點(diǎn)的電勢(shì)小于O點(diǎn)的電勢(shì)，選項(xiàng)A正確.已知均勻球體在其外部產(chǎn)生的電場(chǎng)與一個(gè)位于球心的、電荷量相等的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，所以求MN兩點(diǎn)的電場(chǎng)就等效為半徑為R2的球體在MN兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，以O(shè)N為半徑的球體所帶電量為Q′=43π（R2）343πR3Q=18Q，產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=kQ′（R2）2=kQ2R2，且方向相反，選項(xiàng)C正確.

點(diǎn)評(píng) 均勻帶電球體可以理解為體電荷密度不變，即體電荷密度是每單位體積的電荷量，球體所帶電量之比為半徑之比的三次方，從而求球體表面的場(chǎng)強(qiáng).

例5 均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等圖9效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場(chǎng).如圖9所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)與球心O的軸線(xiàn)，在軸線(xiàn)上有M、N兩點(diǎn)，OM=ON=2R，已知M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，則N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為（）.

A.kq4R2 B.kq2R2-E C.kq4R2-E D.kq2R2+E

解析 把半個(gè)帶正電荷的球面等效為整個(gè)帶正電荷的球面跟半個(gè)帶負(fù)電荷球面疊加在一起.整個(gè)帶正電荷的球面在N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E1=k2q（2R）2=kq2R2，半個(gè)帶負(fù)電荷球面在N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E2=E，N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EN=E1-E2=kq2R2-E，則B項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 本題是信息題，信息題的特點(diǎn)是起點(diǎn)高、落點(diǎn)低，理解“均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)”，即將面電荷等效為點(diǎn)電荷，然后用割補(bǔ)法構(gòu)建一個(gè)球殼模型與題目建立聯(lián)系順利求解.

圖10

例6 （2013年高考上海卷）半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產(chǎn)生球?qū)ΨQ(chēng)的電場(chǎng);場(chǎng)強(qiáng)大小沿半徑分布如圖10所示，圖中E0已知，E-r曲線(xiàn)下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積.求：

（1）寫(xiě)出E-r曲線(xiàn)下面積的單位;

（2）己知帶電球在r≥R處的場(chǎng)強(qiáng)E=kQr2，式中k為靜電力常量，該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大;

（3）求球心與球表面間的電勢(shì)差ΔU;

（4）質(zhì)量為m，電荷量為q的負(fù)電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運(yùn)動(dòng)到2R處.

解析 （1）根據(jù)關(guān)系式U=Ed可知，E-r曲線(xiàn)下面積表示電勢(shì)差，其單位是V（伏特）.

（2）將r=R，E=E0，代入關(guān)系式E=kQr2，可得E0=kQR2，所以Q=E0R2k.

（3）根據(jù)（1）可知，球心與球表面間的電勢(shì)差ΔU=SOR=12E0R.

（4）由動(dòng)能定理qΔU=12mv20=12qE0R可得，v0=qE0Rm.

點(diǎn)評(píng) 本題考查E-r圖像的意義，帶電球體周?chē)妶?chǎng)的規(guī)律，以及電場(chǎng)力做功等問(wèn)題.根據(jù)圖像與橫軸所圍的面積在數(shù)值上表示兩點(diǎn)間電勢(shì)差，均勻帶電球體周?chē)膱?chǎng)強(qiáng)可以理解為在球內(nèi)部均勻增加，外部逐漸減小.

從以上分析可以看出，萬(wàn)有引力和庫(kù)侖力都是平方反比定律，由他們?cè)谇蝮w（殼）周?chē)a(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度非常相似，都在球殼內(nèi)部為零，在球體內(nèi)部強(qiáng)度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心. 普通高中教科書(shū)·物理[M].北京：人民教育出版社，2019：6.

[責(zé)任編輯：李 璟]