胡曉翠

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用。

2.內(nèi)容解析

教科書關(guān)于本節(jié)三角恒等變換安排了以下內(nèi)容：兩角差的余弦公式;兩角和與差的正弦、余弦、正切公式;二倍角的正弦、余弦、正切公式. 中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個(gè)公式，通過(guò)探索、證明和初步應(yīng)用，體會(huì)和認(rèn)識(shí)公式的特征和功能，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

類比5.3節(jié)中用到的圓的特殊對(duì)稱性，此處用到的是圓的更一般的對(duì)稱性，即旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性. 這種特殊與一般的關(guān)系，蘊(yùn)含著誘導(dǎo)公式與兩角和（差）公式之間的特殊與一般關(guān)系.兩角差的余弦公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式的基礎(chǔ)，為后面公式的推導(dǎo)起了鋪墊作用。

綜合以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：兩角差余弦公式的應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的形成（推導(dǎo)過(guò)程）。

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程，了解兩角差余弦公式的意義。

（2）能夠掌握兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用。

（3）學(xué)生能夠通過(guò)觀察和分析公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體上把握公式，靈活地運(yùn)用公式，抓住角的特點(diǎn)解決問(wèn)題。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生親身經(jīng)歷了探索過(guò)程，加強(qiáng)了新舊知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差角公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)知。

（2）學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，探索和證明兩角差的余弦公式，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，結(jié)合初中圓的知識(shí)以及兩點(diǎn)間的距離公式，以小組合作交流的形式，確定公式的具體形式，再通過(guò)例習(xí)題，鞏固和加強(qiáng)對(duì)公式的理解和應(yīng)用。

（3）學(xué)生在教師的引導(dǎo)下會(huì)適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用轉(zhuǎn)化、代換的方法配湊出使用公式的形式，抓住角的特點(diǎn)解決求值、求角、求函數(shù)最值等問(wèn)題。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生在本節(jié)課前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，對(duì)三角函數(shù)已經(jīng)有了初步的認(rèn)知，前面的內(nèi)容學(xué)習(xí)的是同一個(gè)角的問(wèn)題，現(xiàn)在繼續(xù)學(xué)習(xí)的是關(guān)于兩個(gè)角的和與差的三角函數(shù)形式，有了前面的基礎(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)還是比較感興趣的。

學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)學(xué)生可能會(huì)在以下方面感到困惑：

1.如何生成兩角差的余弦公式. 這個(gè)困惑主要發(fā)生在公式生成過(guò)程中如何將點(diǎn)坐標(biāo)和公式聯(lián)系在一起，在這個(gè)問(wèn)題中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生類比5.3誘導(dǎo)公式的探究過(guò)程，從形的角度入手研究，再將形的關(guān)系代數(shù)化，從不同的角度進(jìn)行表示，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，最后則體現(xiàn)聯(lián)系性，即圖形本身的直觀性質(zhì). 本節(jié)力圖體現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性與三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，從而證明兩角差余弦公式。

2.如何利用平面上兩點(diǎn)間距離公式建立等式關(guān)系. 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下一起完成。

3.如何從公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活運(yùn)用公式（包括對(duì)公式的正用、逆用、變用）.這也是本節(jié)課的重點(diǎn)，在這里需要學(xué)生會(huì)觀察、會(huì)分析角的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、代換的方法，再結(jié)合公式解決問(wèn)題。

四、教學(xué)支持條件分析

使用導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生逐步探索兩角差余弦公式，體驗(yàn)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的愉悅感。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問(wèn)題1：在初中，我們就知道，，由此我們能否得到cos15°=cos（45°-30°）的值？大家可以猜想，是不是等于？

師生互動(dòng)：學(xué)生回答不等于，cos15°大于0，cos45°-cos30°小于0，顯然不成立。

設(shè)計(jì)意圖：為研究?jī)山遣钣嘞夜阶鲣亯|。

（二）新知探索

1.公式的形成

問(wèn)題2：預(yù)習(xí)教科書215頁(yè)，由圖5.5-1，你能根據(jù)三角函數(shù)的定義，寫出點(diǎn)A，P，A1，P1的坐標(biāo)嗎？

師生互動(dòng)：學(xué)生表示

追問(wèn)1：圖中弦長(zhǎng)AP和A1P1什么關(guān)系？你能用兩點(diǎn)間的距離公式表示弦長(zhǎng)AP和A1P1嗎？

師生互動(dòng)：學(xué)生結(jié)合初中圓的平面幾何知識(shí)，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性得出，AP=A1P1.在教師的引導(dǎo)下，用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示弦長(zhǎng)

追問(wèn)2：由弦長(zhǎng)AP=A1P1，你能得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ嗎？如何推導(dǎo)？

師生互動(dòng)：學(xué)生回答能，由AP=A1P1，即，兩邊平方整理得，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ. 教師總結(jié)，確定公式的具體形式。

追問(wèn)3：上述公式在時(shí)成立，若時(shí)，公式是否還成立？

師生互動(dòng)：成立，師生共同總結(jié)兩角差余弦公式.，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作C（α-β）。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生親身經(jīng)歷探索公式的過(guò)程，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解與記憶，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

2.公式的應(yīng)用

師生互動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡回指導(dǎo)，提醒學(xué)生注意角的范圍，同時(shí)請(qǐng)兩位學(xué)生到黑板上進(jìn)行板演，由α，β的范圍知，，則. 同時(shí)教師對(duì)板演過(guò)程規(guī)范做出必要的點(diǎn)評(píng)與要求。

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用與理解，以及使用公式前應(yīng)做出的必要準(zhǔn)備。

（三）歸納總結(jié)、布置作業(yè)

問(wèn)題3：請(qǐng)歸納總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲

師生互動(dòng)：學(xué)生各抒己見(jiàn)，教師適時(shí)補(bǔ)充總結(jié). 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)知公式的結(jié)構(gòu)特征，了解公式的推導(dǎo)過(guò)程. 同時(shí)也要注意角的范圍，也就是符號(hào)問(wèn)題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用公式，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)總結(jié)，反思學(xué)習(xí)過(guò)程，加深對(duì)差角余弦公式及其推導(dǎo)過(guò)程的理解和記憶。

布置作業(yè)：作業(yè)本109頁(yè)基礎(chǔ)訓(xùn)練部分

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.已知，求cosα的值。

設(shè)計(jì)意圖：提升學(xué)生對(duì)兩角差余弦公式的靈活應(yīng)用能力，會(huì)觀察已知角和未知角的關(guān)系，如本題，從而構(gòu)造差角公式的結(jié)構(gòu)形式，，最后只需求出的值，在這里我們要注意角的范圍，由題意知，即。

2.設(shè)，

設(shè)計(jì)意圖：本題同上題一樣考察學(xué)生對(duì)差角公式的運(yùn)用能力，如何構(gòu)造差角是本題的難點(diǎn)，對(duì)初學(xué)差角公式的學(xué)生而言，角的構(gòu)造有一定的運(yùn)用難度，需要學(xué)生多觀察、多思考、多練多做. 如本題，由兩角差余弦公式展開(kāi)，只需求的正弦值和的余弦值，其中要注意角的范圍。

浙江省紹興市嵊州市嵊州中學(xué) 312400