摘? ?要：推導Timoshenko梁振動微分方程的初參數(shù)解，結合邊界條件，建立簡支梁的頻率方程. 當固有頻率小于臨界頻率時，頻率方程有雙曲正弦函數(shù)與三角正弦函數(shù)之積的因式，當固有頻率大于臨界頻率時，此因式變成為雙三角正弦函數(shù)之積，此即Timoshenko梁產(chǎn)生第二頻譜的理論原因. 推導出等截面等跨徑的2～3跨連續(xù)Timoshenko梁的頻率方程，并從理論上預測存在第二頻譜現(xiàn)象的其他結構. 建立了簡支Timoshenko梁第一、二頻譜的頻率計算公式. 通過實例驗證第二頻譜的存在. 通過微分方程求解，論證了臨界頻率是結構固有頻率的有效組成部分，其對應的豎向位移模態(tài)無振幅、轉(zhuǎn)角位移模態(tài)的振幅為常數(shù);指出數(shù)值分析時，由于計算機截斷誤差的影響，所預測的臨界頻率有誤差、所對應的豎向位移模態(tài)為不規(guī)則模態(tài)等特點.

關鍵詞：頻率分析;臨界頻率;第二頻譜;Timoshenko梁

中圖分類號：TU375? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Analysis on the Second Frequency Spectrum of Timoshenko Beam

XIA Guiyun

（School of Civil Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114，China）

Abstract：Incorporating the boundary conditions， initial parameter solutions of vibration differential equations for Timoshenko beam are used to derive the frequency equation of a simply-supported beam. When the natural frequency is less than the critical frequency， the frequency equation can be factorized into the hyperbolic sine function and the trigonometric sine function， while， when the natural frequency is greater than the critical frequency， the frequency equation can be factorized into double trigonometric sine functions， which is the crucial reason for the existence of the second frequency spectrum. Frequency equations for two-span and three-span continuous Timoshenko beams with uniform cross sections and equal spans are derived. Other structures with the second frequency spectrum are forecasted theoretically. The formulas for the first and second frequencies are deduced for simply-supported Timoshenko beam. The existence of the second frequency spectrum is confirmed through the examples. Through solving the differential equation of motion， the critical frequency is proven to be an efficient part of the natural frequencies for the framed structures. The corresponding mode shape of the critical frequency contributes to the displacement mode shape with zero amplitude and rotation mode shape with constant amplitude. Due to the truncation error of the computer， the critical frequency predicted by the finite element method shows error， and the mode shape of the displacement is very irregular.

Key words：frequency analysis;cutoff frequency;second frequency spectrum;Timoshenko beam

梁的彎曲振動是土木[1]、機械、石油、化工、航空航天等領域的重要問題，已有多種理論. 最早、最經(jīng)典的理論是Euler梁模型，該模型考慮了梁的彎曲和截面慣性力，適應于細長桿系結構的分析計算，但對高跨比較大的深梁結構，存在靜力問題計算撓度偏小[2]、動力問題高估振動頻率和有無限階次頻率[3]等不足. Elishakoff等[4]評述Rayleigh梁考慮了截面轉(zhuǎn)動慣量的影響，對Euler梁進行改進. Shear梁模型考慮結構彎曲、剪切變形的影響和截面慣性力，但沒有考慮截面轉(zhuǎn)動慣量影響（此模型不同于一般的不考慮結構彎曲的簡單剪切梁模型和純剪切梁模型[5]）. 1921年Timoshenko[6-7]綜合考慮截面彎曲和剪切變形、慣性力和轉(zhuǎn)動慣量的影響，提出經(jīng)典的Timoshenko梁模型，該模型保留梁的平截面假定，放棄直法線假定，通過引入截面剪切修正系數(shù)來彌補剪切本構關系方面的不足（假定截面剪應力不均勻、剪應變均勻）[8-9]. 相比于Euler梁、Rayleigh梁和Shear梁，Timoshenko梁有顯著進步，提高了計算精度，擴大了應用范圍，桿系結構的靜力、動力和穩(wěn)定問題都可基于Timoshenko梁理論進行分析[1]. 但該理論頗具爭議，至今仍眾說紛紜的第二頻譜問題[10-12]和截面剪切修正系數(shù)定義問題[8，13-15]，還有振動微分方程解耦后存在撓度關于時間四階導數(shù)項，其物理意義不明確的問題，因此其后出現(xiàn)眾多的修正理論. 1927年Love[16]根據(jù)梁段微元體平衡，提出Timoshenko梁的修正模型，即忽略撓度關于時間四階導數(shù)項，可稱

為Love梁. 陳镕等[17]采用雙撓度理論也推導出了與Love梁相同的微分方程，并認為導致Timoshenko梁模型中出現(xiàn)撓度關于時間四階導數(shù)項的原因是，沒有考慮剪切轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動慣量，如果舍棄撓度關于時間四階導數(shù)項，則可考慮截面剪切轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動慣量影響. Elishakoff等[18-19]同樣導出了與Love梁相同的微分方程，并認為此理論比Timoshenko梁理論更一致、更簡單，其命名為截斷Timoshenko梁. Love梁雖然形式比Timoshenko梁簡化，微分方程求解方便，但是其沒有對應的能量泛函，不能通過變分原理導出，也沒有對應的有限元列式. Xia等[20]研究了考慮截面剪切變形和全轉(zhuǎn)動慣量影響的Timoshenko梁振動特性，證明此種Timoshenko梁修正理論無第二頻譜問題和結構固有頻率有界特性.

Timoshenko梁的第二頻譜現(xiàn)象是指一種振型對應兩個固有頻率. 兩端簡支、兩端導向和簡支-導向的單跨Timoshenko梁，多跨連續(xù)的等截面等跨徑Timoshenko梁都存在第二頻譜現(xiàn)象. Traill-Nash[21]于1953年最先發(fā)現(xiàn)和報道簡支Timoshenko梁存在第二頻譜現(xiàn)象，相繼得到Anderson[22]、Dolph[23]等學者的確認，但也有學者[24-27]認為第二頻譜沒有物理意義而應舍棄. 有些學者[4，28]則認為結構的振型包括了豎向變形和轉(zhuǎn)角，如果將變形和轉(zhuǎn)角同等看待，則振幅不一致的振型不能認為是同一振型，因此也就不存在第二頻譜問題. 現(xiàn)在越來越多的實驗測試結果[29-32]證實了第二頻譜現(xiàn)象不僅存在，而且實驗測試的結構固有頻率與Timoshenko梁理論預測結果符合較好，因此沒有理由草率地去否定、甚至舍棄第二頻譜. 本文試圖對Timoshenko梁第二頻譜產(chǎn)生的原因進行理論解釋，以期提高結構模態(tài)識別精度，促進以模態(tài)疊加法等為基礎的動力分析方法的發(fā)展，謀求在Timoshenko梁第二頻譜問題上取得共識.

1? ?Timoshenko梁振動的理論解析

Timoshenko梁振動的微分方程[1，2，20]求解采用分離變量法，設豎向位移w（x）分解為豎向位移函數(shù)W（x）和時間函數(shù)T（t），如下：

w（x，t） = W（x）·T（t）? ? ? ? （1）

式中：T（t） = a1 sin（ωt） + a2 cos（ωt）

則解耦后的振動微分方程為：

■ + ω2■ + ■■ +

■ - ■W = 0? ? ? （2）

式中：D = EI、C = μGA，A、I和μ分別為截面的面積、抗彎慣性矩和剪切修正系數(shù);E、G和ρ分別為材料的彈性模量、剪切模量和密度;ω為結構的圓頻率.

Timoshenko梁振動存在臨界頻譜（或稱為移頻頻率，其定義為ωC = ■），式 （2）可根據(jù)結構固有頻率ω與臨界頻率ωC的大小關系有3種解.

1）固有頻率小于臨界頻率時（ω < ωC）

此時結構的豎向變形、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩用初參數(shù)（即x = 0時的W0、ψ0、Q0、M0）表示為：

W（x）=a1（x）W0+b1（x）ψ0+c1（x）Q0+d1（x）M0ψ（x）=a2（x）W0+b2（x）ψ0+c2（x）Q0+d2（x）M0Q（x）=a3（x）W0+b3（x）ψ0+c3（x）Q0+d3（x）M0M（x）=a4（x）W0+b4（x）ψ0+c4（x）Q0+d4（x）M0（3）

其中，波數(shù)定義為：

α=■■β=■■

相關系數(shù)定義為：

γ = α1 + ■，φ = β1 - ■? ? ?（4）

式（3）振型函數(shù)ai（x），bi（x），ci（x），di（x），i=1，2，3，4，詳見文獻[2，20]，為節(jié)約篇幅不再列出.

2）固有頻率大于臨界頻率時（ω > ωC）

此時結構的豎向變形、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩仍可用式（3）表示，但波數(shù)、相關系數(shù)和振型函數(shù)需另行定義. 波數(shù)定義為：

α′=■■β=■■

（5）

相關系數(shù)定義為：

γ′ = α1 - ■，φ = β1 - ■? ? ?（6）

振型函數(shù)ai（x），bi（x），ci（x），di（x），i=1，2，3，4的具體表達式與文獻[20]一致.

3）固有頻率等于臨界頻率時（ω = ωC）

微分方程退化為：

■ + β2■ = 0? ? ? （7）

式中：波數(shù)退化為α=0，β=■.

對于常規(guī)桿系結構，如果采用Timoshenko梁單元進行結構的自由振動分析，可得到一固有頻率與臨界頻率非常接近，位移振型較特別的模態(tài)，此模態(tài)說明臨界頻率是結構頻譜的有效組成部分，其詳細討論在本文第5節(jié)進行.

2? ?簡支梁的第二頻譜現(xiàn)象

對于兩端簡支的Timoshenko梁，當ω < ωC時，由邊界條件知：當x = 0時，W0 = M0 = 0;當x = L時，WL = ML = 0，得到頻率方程為

sinh（αL）sin（βL） = 0? ? ? ?（8）

結構固有頻率解為sin（βL） = 0，即β = ki π/L，k = 1，2，3，…，kC . 此時結構僅有一支固有頻率. 此支頻率的最大個數(shù)為：

kC = int■■? ? ? ?（9）

當ω > ωC時，同理可推導頻率方程為：

sin（α′L）sin（βL） = 0? ? ? ?（10）

結構固有頻率解為sin（α′L） = 0或sin（βL） = 0，對應解為α′ = nπ/L（n = 1，2，3，…）或β = kπ/L（k = kC + 1，kC + 2，…） 結構有2支固有頻譜.

當k = n時，結構振型相同（振幅歸一化處理），但頻率不同，即一種振型對應兩種固有頻率，出現(xiàn)第二頻譜現(xiàn)象. 頻率方程式（10）出現(xiàn)兩支解是簡支Timoshenko梁存在第二頻譜的理論原因.

由于簡支Timshenko梁的豎彎振型都呈正弦波形式，含有k個半波正弦的振型所對應的第一、第二頻率見式（11）.

利用式（11）即可快速確定振型和第一、二頻譜.

3? ?存在第二頻譜現(xiàn)象的其他結構

當固有頻率從小于臨界頻率變化到大于臨界頻率時，如果頻率方程有形如簡支Timoshenko梁的變化規(guī)律，則在理論上存在第二頻譜現(xiàn)象. 有此特征的結構有兩端導向（豎向位移活動、轉(zhuǎn)角固定）單跨Timoshenko梁、簡支-導向單跨Timoshenko梁、等截面等跨徑的多跨連續(xù)Timoshenko梁等.

3.1? ?單跨Timoshenko梁的頻率方程

兩端導向單跨Timoshenko梁、簡支-導向單跨Timoshenko梁的頻率方程如表1所示.

從表1可以看出，兩端導向和簡支-導向的單跨Timoshenko梁，其頻率方程隨固有頻率的變化都有如兩端簡支的單跨Timoshenko梁的特征，因此也存在第二頻譜現(xiàn)象.

3.2? ?等截面等跨徑的多跨連續(xù)Timoshenko梁

利用式（3）建立傳遞矩陣法，可推導等跨徑等截面的多跨連續(xù)Timoshenko梁的頻率方程.

1）等截面等跨徑的二跨連續(xù)Timoshenko梁

當ω < ωC時：

sinh（αL）sin（βL）（φsinh（αL）cos（βL）-

γcosh（αL）sin（βL）） = 0? ? ?（12）

當ω > ωC時：

sin（α′L）sin（βL）（φsin（α′L）cos（βL）-

γ′cos（αL）sin（βL）） = 0? ? ? （13）

2）等截面等跨徑的三跨連續(xù)Timoshenko梁

當ω < ωC時：

sin（αL）sin（βL）{sinh（αL）sin（βL）[2γφ-

2γφcosh（αL）sin（βL）+（γ2-φ2）sinh（αL）sin（βL）]+

3[φsinh（αL）cos（βL）-γcosh（αL）sin（βL）]2}=0

（14）

當ω > ωC時：

sin（α′L）sin（βL）{sin（α′L）sin（βL）[2γ′φ-

2γ′φcos（α′L）sin（βL）-（γ′2-φ2）sin（α′L）sin（βL）]+

3[φsin（α′L）cos（βL）-γ′cos（α′L）sin（βL）]2}=0

（15）

由式（12）～式（15）可知，等截面等跨徑的二跨、三跨連續(xù)Timoshenko梁中，其頻率方程中的第一個因式形如式（8）、式（10），因此理論上也存在第二頻譜現(xiàn)象，其振動模態(tài)為單跨簡支Timoshenko梁的振動模態(tài)在多跨連續(xù)結構中反對稱擴展. 對于等截面等跨徑的多于三跨的連續(xù)Timoshenko梁，頻率方程中同樣存在形如式（8）、式（10）的因式和變化規(guī)律，因此理論上也存在第二頻譜問題，但頻率方程過于復雜，此處不再列出其具體表達式. 對于等截面但跨徑不等的多跨連續(xù)Timoshenko梁，當跨徑比滿足每跨內(nèi)有整數(shù)半波的振動條件時，也同樣存在第二頻譜現(xiàn)象. 由于跨數(shù)、跨徑比、波長等參數(shù)變化過多，頻率方程推導復雜，一般只能進行數(shù)值分析和驗證.

4? ?算例驗證

兩端簡支單跨Timoshenko梁計算跨徑10 m，橫截面為1.0 m（寬）×1.8 m（高）的矩形截面，其剪切修正系數(shù)為5/6，材料彈性模量為200 GPa、剪切模量為80 GPa，材料密度為7 850 kg/m3. 結構前50階頻率的理論值（根據(jù)式（8）、式（10）求解）和Ansys數(shù)值結果如圖1所示，無量綱波數(shù)α（即αL/π）、無量綱波數(shù)β（即βL/π）值如圖2所示.

從圖1可以看出，結構前50階頻率的理論結果與利用Ansys軟件計算[33]的數(shù)值結果（結構劃分為200個單元、Beam3單元）符合較好，最大誤差不超過0.97%. 圖2中，無量綱波數(shù)αL/π、βL/π如果取整數(shù)k（圖2圖標有填充時為整數(shù)，空心時為小數(shù)），其對應于含有k個正弦半波的振型，此振型有2個固有頻率. 根據(jù)式（11），結構第一頻譜的第1、2階振動頻率、無量綱波數(shù)和所對應的第二頻譜的第1、2階（按固有頻率排序，其對應振型為第8、9階振型）振動頻率、無量綱波數(shù)如表2所示，即結構的第1階和第8階、第2階和第9階振動模態(tài)為頻譜對.

將振型歸一化后，第一頻譜的第1、2階振型和所對應的第二頻譜振型第1、2階振型（對應振型為第8、9階振型）的位移振型、轉(zhuǎn)角振型如圖3、圖4所示.

從圖3、圖4可以看出，將振型歸一化后，第一頻譜的第1、2模態(tài)與第二頻譜的第1、2階模態(tài)完全相同，驗證了兩端簡支的單跨Timoshenko梁存在第二頻譜現(xiàn)象.

簡支-導向單跨Timoshenko梁第一頻譜的第1、2階模態(tài)與第二頻譜的第1、2階模態(tài)（對應于第7、8階模態(tài)）的位移、轉(zhuǎn)角模態(tài)如圖5、圖6所示.

從圖5、圖6可以看出，將模態(tài)歸一化后，簡支-導向的單跨Timoshenko梁第一頻譜的第1、2模態(tài)與第二頻譜的第1、2階模態(tài)完全相同，同樣存在第二頻譜現(xiàn)象.

5? ?臨界頻率的振型分析

臨界頻率將Timoshenko梁的振動分析為兩區(qū)段的3種特例，其分界點即為臨界頻率. 臨界頻率是結構頻譜的有效組成部分，但其對應的模態(tài)非常特別，是Euler梁、Love梁、Shear梁所沒有的，需要特別分析. 本文以簡支Timoshenko梁為例進行模態(tài)的理論分析.

5.1? ?臨界頻率所對應的模態(tài)特點

當結構固有頻率等于臨界頻率時，微分方程式（7）的解[24-25]為：

W（x）=A1cos（βx）+B1 sin（βx）+C1+D1 xψ（x）=a1cos（βx）+b1 sin（βx）+c1+d1 x? （16）

根據(jù)Timoshenko梁的平衡方程要求，有：

■ = ■+ ■W? ? ? ? （17）

式（16）解中，待定系數(shù)間存在如下關系：

a1=■·B1，b1=-■·A1，D1=0，d1=■·C1? ?（18）

將待定參數(shù)代入微分方程（7）的解中，有

W（x）=A1 cos（βx）+B1 sin（βx） + C1θ（x）=A1■cos（βx）-A1■sin（βx）+c1+C1■xQ（x）=-A1■sin（βx）+B1■cos（βx）-C1■x-c1·CM（x）=B1Csin（βx）+A1Ccos（βx）-C1■

（19）

引入簡支邊界條件，即W（0）=M（0）=0，得A1=C1=0;W（L）=M（L）=0，得：

B1 sin（βL）=0，B1Csin（βL）=0? ? ? ?（20）

一般條件下sin（βL）≠0，故B1=0，有

W（x）=0，θ（x）=c1，Q（x）=c1·C，M（x）=0? ? （21）

此時結構振動為一種特殊模態(tài)，只有截面轉(zhuǎn)動振動且振幅恒定，而豎向位移振動無振幅.

如果結構的跨徑滿足sin（βL） = 0，即L = kπ/β（k=1，2，3，…，∞），則B1≠0，結構則為有幅振動，此時結構的模態(tài)為：

W（x）=B1sin（βx），θ（x）=B1Ccos（βx）/βD+c1 （22）

5.2? ?臨界模態(tài)特征的有限元預測

利用有限元軟件進行桿系結構的固有頻率、振型分析時，如果采用Timoshenko梁單元，則可捕捉到臨界頻率和臨界模態(tài). 但是有限元將自由振動分析轉(zhuǎn)為特征值問題，由于計算機存在截斷誤差，會預報與臨界頻率理論值極為接近的頻率值，所對應的豎向位移模態(tài)未能如理論預測那樣為無振幅振動，而是有幅振動且不規(guī)則，但轉(zhuǎn)角位移模態(tài)振幅恒定. 如本文上述算例，采用Ansys軟件計算的臨界頻率（結構劃分為200個單元、Beam3單元）為892.675 Hz、理論計算值為892.602 Hz. 豎向位移和轉(zhuǎn)角位移模態(tài)如圖7、圖8所示.

從圖7可以看出，豎向位移模態(tài)（自由振動分析所對應的特征向量）最大振幅為1.467 4×10-9，與其他模態(tài)振幅相比小6個數(shù)量級，因此可以認為此模態(tài)的振幅理論上應為0，但由于計算機截斷誤差的原因，出現(xiàn)一些不為0的偽數(shù)據(jù)，構成振幅無規(guī)律的模態(tài)，理應舍棄. 從圖8可以看出，轉(zhuǎn)角位移模態(tài)則與理論預測一致，為振幅恒定的模態(tài).

6? ?結? ?論

通過建立Timoshenko梁振動的初參數(shù)解，利用此解對Timoshenko梁第二頻譜現(xiàn)象進行了理論研究. 由于臨界頻率將結構的固有頻率分為三部分，使得微分方程所對應的特征方程根與臨界頻率有關，其性質(zhì)隨固有頻率發(fā)生變化，從而使得其頻率方程有形如式（8）、式（10）的變化規(guī)律，當固有頻率大于臨界頻率時，頻率方程式（10）有兩支解，即第二頻譜產(chǎn)生的根本原因.

1）所有頻率方程（或者頻率方程中的因式）有形如式（8）、式（10）變化特征的結構，都存在第二頻譜現(xiàn)象，如兩端簡支、兩端導向、簡支-導向的單跨Timoshenko梁，等截面等跨徑多跨連續(xù)Timoshenko梁、滿足每跨內(nèi)有整數(shù)半波振型的等截面不等跨徑多跨連續(xù)Timoshenko梁等.

2）理論和數(shù)值分析表明，臨界頻率是Timoshenko梁結構固有頻率的有效組成部分. 臨界頻率所對應的模態(tài)有無振幅豎向位移振型、有恒定振幅的轉(zhuǎn)角位移振型;在特殊條件下，如跨徑滿足L = kπ/β（k為整數(shù)）條件，臨界模態(tài)也可轉(zhuǎn)化為豎向位移有振幅的模態(tài).

3）利用Timoshenko梁單元進行桿系結構振動的有限元分析時，能預測與臨界頻率極為接近的固有頻率、振幅非常小且無規(guī)則的豎向位移模態(tài). 此時應將固有頻率視為臨界頻率、豎向位移模態(tài)視為無振幅模態(tài)，出現(xiàn)誤差的原因是計算機的截斷誤差所引起.

4）Timoshenko梁的第二頻譜現(xiàn)象目前有不同的觀點，但是此現(xiàn)象已被眾多實驗所證實，也能從理論上進行解釋和分析，不應輕言其不合理而舍棄，而應通過更多研究或者提出更合理的深梁結構理論來驗證.

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