王曉磊，王永釗，劉 祥

（遼寧工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 錦州121001）

1 引言

在目前的集裝箱生產(chǎn)過(guò)程中，集裝箱角柱板材的折彎工序大多依然采用人工進(jìn)行板材的上下料，既危險(xiǎn)，生產(chǎn)效率也低，因此，本文提出了一種基于2-P（Pa）并聯(lián)機(jī)構(gòu)（其中，P表示直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)副，Pa表示平行四邊形結(jié)構(gòu)）的集裝箱角柱板材上下料機(jī)械手。相對(duì)于串聯(lián)結(jié)構(gòu)，并聯(lián)結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精度高、剛度大、積累誤差小等優(yōu)點(diǎn)，在搬運(yùn)、產(chǎn)品分揀、機(jī)械加工、裝配等自動(dòng)化領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用［1］，也越來(lái)越受到受到研究人員的關(guān)注［2-3］。在對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)械手的研究中，建立動(dòng)力學(xué)模型是對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，也是實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)高精度控制的前提［4］。常用的建立動(dòng)力學(xué)方程的方法有：牛頓-歐拉法［5］、虛功原理［6］、凱恩方法［7］、拉格朗日法［8］等方法。相對(duì)于其他方法，拉格朗日法方程數(shù)目少，易于轉(zhuǎn)化，便于對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制。文獻(xiàn)［9］基于拉格朗日第一類(lèi)方程，建立了2自由度平面并聯(lián)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的操作空間動(dòng)力學(xué)模型。并基于此分析了其各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。文獻(xiàn)［10］基于拉格朗日法對(duì)一種2-DOF類(lèi)球面并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模和分析。

本文以基于2-P（Pa）并聯(lián)結(jié)構(gòu)的板材上下料機(jī)械手為研究對(duì)象，利用解析法求出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正反解，末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)的速度方程與加速度方程。采用拉格朗日方程建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)理論計(jì)算與實(shí)例分析，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性與有效性。

2 集裝箱角柱板材折彎工序介紹

集裝箱角柱板材的胚料為長(zhǎng)方形鋼板，在其折彎工序中，需要沿其長(zhǎng)邊平行方向進(jìn)行多次折彎。圖1為角柱板材的折彎工藝步驟示意圖，其中各圖為不同階段的板材橫截面二維圖。藍(lán)色箭頭所指處為折彎線(xiàn)。在工人手工進(jìn)行上下料作業(yè)時(shí)，首先由兩人同時(shí)抓取鋼板，抬至折彎?rùn)C(jī)置料臺(tái)卡位處，進(jìn)行如圖1（a）所示的兩次折彎，然后兩人將板材抬下，進(jìn)行180度翻轉(zhuǎn)后，再將板材抬上折彎?rùn)C(jī)置料臺(tái)卡位處，進(jìn)行如圖1（b）和（c）所示的三次折彎。折彎結(jié)束后，兩人將板材抬至成品堆垛區(qū)板材最終成品，如圖2所示。

圖1 折彎工藝步驟示意圖Fig.1 Bending Process Steps

圖2 集裝箱角柱板材成品Fig.2 Finished Product of Container Corner Column

3 板材上下料機(jī)械手的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

本文研究的基于2-P（Pa）并聯(lián)結(jié)構(gòu)的板材上下料機(jī)械手，如圖1所示。

當(dāng)機(jī)械手工作時(shí)，首先由折彎?rùn)C(jī)A對(duì)板材進(jìn)行圖1（a）所示第一、二次折彎，然后由機(jī)械手抓取板材，轉(zhuǎn)運(yùn)至折彎?rùn)C(jī)B處，進(jìn)行圖1（b）、（c）所示第三、四、五次折彎。機(jī)械手所需轉(zhuǎn)運(yùn)板材橫截面即為圖1（b）所示。在機(jī)械手對(duì)板材轉(zhuǎn)運(yùn)的同時(shí)，前端抓取機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)板材的翻轉(zhuǎn)。

機(jī)械手的2-P（Pa）結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖4所示，A、D表示機(jī)構(gòu)中的兩個(gè)移動(dòng)載板，l1,l3表示2-P（Pa）并聯(lián)機(jī)構(gòu)兩側(cè)連桿，B、C表示連桿與抓取機(jī)構(gòu)相連接的鉸鏈，l3表示抓取機(jī)構(gòu)位于兩個(gè)鉸鏈之間的長(zhǎng)度，P點(diǎn)為抓取機(jī)構(gòu)連同被抓取板材的質(zhì)量中心，h表示P點(diǎn)與BC連線(xiàn)之間的垂直距離。當(dāng)機(jī)械手工作時(shí)，由兩條同步帶分別帶動(dòng)A，D兩個(gè)移動(dòng)載板，通過(guò)控制兩個(gè)移動(dòng)載板之間的距離，改變連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，實(shí)現(xiàn)抓取機(jī)構(gòu)沿y軸方向的上下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)移動(dòng)載板A、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，若兩移動(dòng)載板之間距離減小，則帶動(dòng)BC段下降；若移動(dòng)載板之間距離增大，則帶動(dòng)BC段上升。通過(guò)兩個(gè)載板沿導(dǎo)軌的橫向移動(dòng)實(shí)現(xiàn)抓取機(jī)構(gòu)沿X軸方向的左右運(yùn)動(dòng)。

圖3 集裝箱板材折彎系統(tǒng)整體模型Fig.3 Overall Model of Container Sheet Bending System

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)及抓取機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.4 Schematic Diagram of Parallel Mechanism and Grabbing Mechanism

為了便于對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析，首先建立了相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系。在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖中，xoy為參考坐標(biāo)系，其中o為參考坐標(biāo)系原點(diǎn)，x軸沿AD方向，y軸垂直x軸向上；XPY為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，P點(diǎn)為抓取機(jī)構(gòu)質(zhì)量中心，隨著抓取機(jī)構(gòu)一起進(jìn)行移動(dòng)，X軸平行于x軸，Y軸平行于y軸。

4 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

首先定義以下變量：（1）xi=[xA,xD]T，（i=A或D）為定義于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量，其中xA,xD分別表示移動(dòng)載板A，D沿x軸的位移。（2）Xp=[xp,yp]T為定義于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量，其中xp,yp為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系XPY的坐標(biāo)原點(diǎn)P相對(duì)于參考坐標(biāo)系xoy的坐標(biāo)。

由已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)主動(dòng)件參考坐標(biāo)的位置，求解出抓取機(jī)構(gòu)位于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的位置，稱(chēng)為機(jī)構(gòu)位置的正解。反之，如果已知抓取機(jī)構(gòu)位于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的位置，由此推出并聯(lián)機(jī)構(gòu)主動(dòng)件參考坐標(biāo)的位置，稱(chēng)為機(jī)構(gòu)位置的逆解。

首先由結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖4所示坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系可以導(dǎo)出P點(diǎn)位置方程：

由圖4幾何關(guān)系得：

再將式（2）代入（1），可得P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的正解：

再由式（3）可得P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的反解：

將上面求得的運(yùn)動(dòng)方程（4）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，便可得到速度方程：

再將速度方程（5）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)便可求出加速度方程：

5 動(dòng)力學(xué)學(xué)分析

在前面運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，以2-P（Pa）并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，利用拉格朗日法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

在求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，拉格朗日函數(shù)為并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)能與勢(shì)能的差值，即：

式中：L—拉格朗日函數(shù)，T—并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能，V—并聯(lián)機(jī)構(gòu)的勢(shì)能。

在此機(jī)械手的并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，需要分析的剛體包括：移動(dòng)載板、連桿、抓取機(jī)構(gòu)（包括被抓取板材）。在此假設(shè)兩側(cè)連桿長(zhǎng)度相同，且為均質(zhì)連桿。

5.1 計(jì)算機(jī)械手的拉格朗日函數(shù)

基于參考坐標(biāo)與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)計(jì)算連桿的動(dòng)能：

首先將連桿質(zhì)心坐標(biāo)表示為關(guān)于參考坐標(biāo)與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)的關(guān)系函數(shù)，設(shè)桿l1，l3的質(zhì)心坐標(biāo)為(x1,y1)，(x3,y3)，r1,r3表示連桿質(zhì)心到與連桿整體長(zhǎng)度的比值，則求解連桿的動(dòng)能公式為：

基于參考坐標(biāo)xi=[xA,xD]T，計(jì)算出移動(dòng)載板的動(dòng)能Ts，基于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)Xp=[xp,yp]T，計(jì)算出抓取機(jī)構(gòu)機(jī)架及板材的動(dòng)能Tp，若ml1=ml3=ml，r1=r3=r，則求得機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總動(dòng)能為：

式中，ms—移動(dòng)載板的質(zhì)量，mp—抓取機(jī)構(gòu)機(jī)架的質(zhì)量，mB—板材的質(zhì)量，Ts—移動(dòng)載板的動(dòng)能，Tp—抓取機(jī)構(gòu)機(jī)架的動(dòng)能，

5.2 機(jī)械手的勢(shì)能

勢(shì)能的大小與零勢(shì)能面的選取有關(guān)，分析此機(jī)械手的勢(shì)能時(shí)，首先把板材被抓取前質(zhì)心所在平面設(shè)為零勢(shì)能面。由于兩個(gè)移動(dòng)載板的軌跡為水平橫移，故其勢(shì)能不變，即為0。抓取機(jī)構(gòu)連同被抓取板材由最低點(diǎn)抬升至最高點(diǎn)的距離為H，設(shè)其勢(shì)能為Vp；設(shè)連桿的勢(shì)能為Vl，則機(jī)械手的勢(shì)能：

式中：L—桿l1,l3的長(zhǎng)度，θ10,θ30—機(jī)械手抓取機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)兩側(cè)連桿與水平軸向所成的角度，mp—抓取機(jī)構(gòu)機(jī)架的質(zhì)量，mB—板材的質(zhì)量。

故可得機(jī)械手并聯(lián)機(jī)構(gòu)及抓取機(jī)構(gòu)的拉格朗日函數(shù)：

5.3 求解動(dòng)力學(xué)方程

將式（9），（10），（11）帶入拉格朗日方程，最后并聯(lián)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為：

由并聯(lián)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程式（12）可知，當(dāng)已知機(jī)械手所受外力及機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可求出移動(dòng)載板所受力的大小。

6 仿真結(jié)果

結(jié)合集裝箱板材折彎的流程，對(duì)機(jī)械手的運(yùn)行軌跡進(jìn)行規(guī)劃。已知待轉(zhuǎn)運(yùn)的集裝箱角柱板材質(zhì)量為54kg，機(jī)械手由取料到放料完成所用時(shí)間為T(mén)=6s，抓取機(jī)構(gòu)及板材質(zhì)心初始點(diǎn)為（0，0），末端點(diǎn)為（4，0），抬起高度為0.4米，為了機(jī)械手運(yùn)行順暢，運(yùn)行軌跡連續(xù)、光滑，采用正弦加速度函數(shù)規(guī)劃其運(yùn)動(dòng)軌跡如下：

由此運(yùn)行軌跡可知，機(jī)械手在起始位置及末端位置的速度及加速度為0，保證了機(jī)械手運(yùn)行的平穩(wěn)性，減小了機(jī)械振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)板材安全、高效的轉(zhuǎn)移。

忽略摩擦力，給定重力加速度g=9.8m/s2，利用Matlab軟件對(duì)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程（12）進(jìn)行計(jì)算，得出移動(dòng)載板所受驅(qū)動(dòng)力的變化曲線(xiàn)，如圖5所示。

圖5 理論驅(qū)動(dòng)力曲線(xiàn)Fig.5 Theoretical Driving Force Curve

從圖5中可以看出，機(jī)械手抓取板材后開(kāi)始抬升時(shí)計(jì)時(shí)，0-1秒期間，兩個(gè)移動(dòng)載板同時(shí)分別向兩側(cè)移動(dòng)，帶動(dòng)抓取機(jī)構(gòu)抬升，這其中兩個(gè)移動(dòng)載板都經(jīng)歷了加速度由小變大再由大變小加減速過(guò)程，驅(qū)動(dòng)力也隨之變化；1-1.5秒兩個(gè)移動(dòng)載板同時(shí)向x軸正向加速移動(dòng)，加速度逐漸減小，所受驅(qū)動(dòng)力逐漸減小，1.5秒后加速度變?yōu)?，兩個(gè)移動(dòng)載板作勻速運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力趨于零；4.5-5秒兩個(gè)移動(dòng)載板作減速運(yùn)動(dòng)，加速度逐漸增大，驅(qū)動(dòng)力也再變大，移動(dòng)至下料位置斜上方后，移動(dòng)載板A繼續(xù)向x軸正向移動(dòng)，移動(dòng)載板B開(kāi)始減速；5-6秒期間，移動(dòng)載板B開(kāi)始向x軸負(fù)向移動(dòng)。此時(shí)，機(jī)械手抓取板材向下移動(dòng)，其中兩個(gè)移動(dòng)載板都經(jīng)歷了加速度先由小變大后再有大變小的加減速的過(guò)程，其所受驅(qū)動(dòng)力也隨之變化，如圖5所示。

為了更近一步驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)方程的正確性，首先在ADAMS軟件中建立機(jī)械手的仿真模型，利用式（13）所得的軌跡曲線(xiàn)，對(duì)上下料機(jī)械手進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。然后，經(jīng)過(guò)后處理得出機(jī)械手載板的驅(qū)動(dòng)力曲線(xiàn)如圖6所示。最后，對(duì)理論驅(qū)動(dòng)力變化曲線(xiàn)與仿真驅(qū)動(dòng)力變化曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，得到的誤差變化曲線(xiàn)如圖7所示。從圖7可以看出，理論值與仿真值在±5N范圍內(nèi)，誤差值較小，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型的正確性。據(jù)此可為初選驅(qū)動(dòng)元件，并進(jìn)一步進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制研究。

圖6 ADAMS仿真測(cè)得的載板驅(qū)動(dòng)力曲線(xiàn)Fig.6 Carrier Driving Force Curve Measured by ADAMS Simulation

圖7 驅(qū)動(dòng)力誤差曲線(xiàn)Fig.7 Driving Force Error Curve

6 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)集裝箱角柱板材上下料的需要，提出了一種采用2-P（Pa）并聯(lián)機(jī)構(gòu)與抓取機(jī)構(gòu)相結(jié)合的機(jī)械手，實(shí)現(xiàn)折彎工序?qū)Π宀牡目焖侔徇\(yùn)；利用解析法推導(dǎo)出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解、末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的速度方程；基于拉格朗日法建立了機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型，規(guī)劃一種實(shí)現(xiàn)機(jī)械手運(yùn)行平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并采用ADAMS軟件進(jìn)行了實(shí)例仿真驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明：理論值和仿真值的誤差在±5N范圍內(nèi)，誤差值較小，驗(yàn)證機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及動(dòng)力學(xué)模型的正確性，為機(jī)械手后續(xù)的動(dòng)載分配優(yōu)化及系統(tǒng)控制等提供了理論指導(dǎo)。