董久祥， 張振興

(東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110819)

現(xiàn)如今，大多數(shù)系統(tǒng)已演變成復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，給系統(tǒng)的控制帶來了極大的困難.20世紀(jì)80年代，兩個(gè)著名的日本學(xué)者 Takagi和 Sugeno根據(jù)模糊控制理論提出了 Takagi-Sugeno (T-S)模糊模型來處理復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[1]，為非線性系統(tǒng)的控制與分析鋪平了道路. T-S模糊模型對(duì)非線性系統(tǒng)具有很強(qiáng)的逼近能力.它利用如果-那么規(guī)則將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)描述成一系列局部線性子系統(tǒng)的線性組合，通過隸屬度函數(shù)將線性子系統(tǒng)聯(lián)接起來，從而借用線性系統(tǒng)理論對(duì)模糊系統(tǒng)進(jìn)行分析與控制[2-3].T-S模糊模型的應(yīng)用特別廣泛，例如：汽車懸架系統(tǒng)[4]，三相并聯(lián)電力濾波器[5]，機(jī)器人[6]，等等.通過利用 T-S模糊模型，非線性系統(tǒng)的模糊控制得到了很好的解決.

在模糊控制中，使用并行分布式補(bǔ)償機(jī)制所設(shè)計(jì)的模糊控制器要和系統(tǒng)享有相同的前件變量，模糊集合以及隸屬度函數(shù)，這在一定程度上限制了模糊控制器的設(shè)計(jì)靈活度.相比并行分布式補(bǔ)償機(jī)制，非并行分布式補(bǔ)償控制可以允許設(shè)計(jì)者對(duì)模糊控制器使用不同的前件變量，模糊集合和隸屬度函數(shù).因此，在一定程度上，后者可以極大地提高模糊控制器的設(shè)計(jì)靈活度[7].值得注意的是，在已有的控制文獻(xiàn)中，基于非并行分布式補(bǔ)償原則所設(shè)計(jì)的模糊控制器的隸屬度函數(shù)都是任意選取的，只要保證在每一個(gè)隸屬度函數(shù)的可行域范圍之內(nèi)即可.眾所周知，不同的隸屬度函數(shù)的選取將會(huì)導(dǎo)致整體的模糊控制增益的不同，進(jìn)而會(huì)使得系統(tǒng)產(chǎn)生不同的性能響應(yīng)，如收斂性，跟蹤性能，抗故障性能， H∞性能，等等.因此，已有文獻(xiàn)的控制方法僅僅能夠維持系統(tǒng)穩(wěn)定，而不能使系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)最優(yōu)的性能響應(yīng).另一方面，在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中，通常需要受控輸出的峰值要小于一定的界限， L2-L∞控制理論可以很好地解決這一問題[8].此外，傳統(tǒng)的H∞控制也是衡量系統(tǒng)性能的一個(gè)重要指標(biāo)，如何協(xié)同設(shè)計(jì)這兩個(gè)重要的性能指標(biāo)，并利用先進(jìn)的智能算法針對(duì)這一個(gè)特定的混合性能指標(biāo)來實(shí)時(shí)地優(yōu)化隸屬度函數(shù)進(jìn)而得到該性能的最優(yōu)響應(yīng)，是一個(gè)非常具有研究意義的工作.為此，本文提出了一種新穎的隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)優(yōu)化算法實(shí)時(shí)地更新模糊控制器隸屬度函數(shù).相比傳統(tǒng)控制方法，該算法不僅能夠穩(wěn)定系統(tǒng)，還能夠最大程度地優(yōu)化系統(tǒng)的性能.最后，給出了相應(yīng)的仿真驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性.

1 問題描述

本文考慮了一類帶有r個(gè)模糊規(guī)則的非線性離散系統(tǒng)，其詳細(xì)的建模規(guī)則如下：

x(k+1)=Aix(k)+Biu(k)+Bwiw(k),z(k)=Ciy(k)+Diu(k),

y(k)=Cx(k).

(1)

y(k)=Cx(k).

考慮到系統(tǒng)的狀態(tài)通常是不可測的，本文設(shè)計(jì)了與系統(tǒng)享用不同的前件變量，模糊集合以及隸屬度函數(shù)的模糊靜態(tài)輸出反饋控制協(xié)議，詳細(xì)的建模如下：

u(k)=Kjy(k).

(2)

其中,wj(ψ(k))表示每一個(gè)子控制器的隸屬度.

結(jié)合式(1)和式(2),可以得到如下的閉環(huán)系統(tǒng)表達(dá)式：

(3)

y(k)=Cx(k).

定義1[8]在0初始狀態(tài)下，對(duì)于給定的γ> 0，如果被控輸出z(k)滿足

(4)

那么，閉環(huán)系統(tǒng)(3)滿足L2-L∞/H∞混合性能指標(biāo).

注1式(4)是一個(gè)更為一般的性能表達(dá)式，因?yàn)檫x取不同的權(quán)重參數(shù)α，它可以被轉(zhuǎn)成標(biāo)準(zhǔn)的H∞性能指標(biāo)和L2-L∞性能指標(biāo).如果α=0，條件(4)就變成了H∞性能；如果α=1，條件(4)就退化成了L2-L∞性能；如果 0<α<1，條件(4)就是L2-L∞/H∞混合性能.

2 主要結(jié)果

本章節(jié)首先給出了設(shè)計(jì)模糊靜態(tài)輸出反饋控制器的充分條件.隨后，一個(gè)新穎的隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)算法被首次提出來實(shí)時(shí)地獲取最優(yōu)的隸屬度函數(shù)的值，進(jìn)而得到更好的混合性能指標(biāo).

定理1對(duì)于給定的參數(shù) 0≤α≤1，0<κi≤1(i=1,…,r)和γ>0，在保證wj-κjmj≥0的情況下，如果存在正定對(duì)稱矩陣P，對(duì)稱矩陣Ω和控制器Kj(j=1,…,r)使得如下的線性矩陣不等式成立：

(5)

(6)

(7)

(8)

證針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(3)，選取李雅普諾夫函數(shù)V(k)=xT(k)Px(k).進(jìn)而，可以得到

J=ΔV(k)+(1-α)zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)≤

其中,φ(k)=[xT(k)wT(k)]T.因?yàn)?P-1

κiΔii-κiΩ+Ω<0,

(9)

κjΔij-κjΩ+κiΔji-κiΩ+2Ω<0,i

(10)

Δij-Ω<0.

(11)

這也就意味著

J=ΔV(k)+(1-α)zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)<0

是成立的.于是有

(12)

αzT(k)z(k)-V(k)<0

(13)

通過式(12)和式(13),可以得到

因此，閉環(huán)系統(tǒng)(3)滿足混合性能指標(biāo)(4).此外，當(dāng)外部干擾為0時(shí)，通過所給出的定理可以很容易得到閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.證畢.

通過定理1不難發(fā)現(xiàn)在非并行分布式補(bǔ)償機(jī)制下，模糊控制器的隸屬度函數(shù)在可允許變化范圍內(nèi)是可以自由選取的.也就是,

κjmj≤wj≤1(j=1,…,r).

(14)

然而，在已有的非并行分布式補(bǔ)償控制文獻(xiàn)中，模糊控制器的隸屬度函數(shù)往往都是任意選取的，只要保證在上述可行域(14)里面就可以.但是這種選取方式僅僅能夠維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并不能使得系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)的性能響應(yīng).不同的控制器隸屬度函數(shù)的選取會(huì)使得系統(tǒng)產(chǎn)生不同的系統(tǒng)性能響應(yīng)，比如：收斂速度，抗干擾能力等等.因此，針對(duì)一個(gè)特定的系統(tǒng)性能，如何設(shè)計(jì)一個(gè)智能算法去優(yōu)化控制器隸屬度函數(shù)進(jìn)而獲取最優(yōu)的性能響應(yīng)是很有意義的.受上述討論的啟發(fā)，本文提出了一種隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)算法來尋求最優(yōu)的控制器隸屬函數(shù)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的混合性能響應(yīng).

3 隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)

為了在控制器隸屬度函數(shù)可行域(14)內(nèi)實(shí)時(shí)優(yōu)化其值進(jìn)而獲取最優(yōu)的混合性能響應(yīng)，本文首次提出了一個(gè)利用梯度下降法的隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)策略.根據(jù)混合性能指標(biāo)表達(dá)式，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于每一個(gè)模糊規(guī)則，如果通過實(shí)時(shí)地調(diào)節(jié)控制器隸屬度函數(shù)使得‖z(k)‖2盡可能的小，那么，干擾抑制性能指標(biāo)γ就可以被降低.為此，定義成本函數(shù)E(N)如下：

(15)

每一個(gè)隸屬度函數(shù)wj的梯度可以表示為如下形式：

每一個(gè)隸屬函數(shù)的迭代如下：

wj(N+1)=wj(N)+Δwj(N).

(16)

值得注意的是,為了便于比較，在進(jìn)行如上迭代的過程中，模糊控制器隸屬度函數(shù)的初始迭代值要和傳統(tǒng)控制方法的初始值保持一致.此外，如果控制器隸屬度函數(shù)的迭代值超過了可行域，則繼續(xù)沿用上一時(shí)刻的迭代值.所以，經(jīng)由式(16)迭代出來的隸屬度函數(shù)的值總是能保持在可行域內(nèi).

注2式(16)的迭代需要一個(gè)大小合適的學(xué)習(xí)率βf,因?yàn)槿绻耭太小將會(huì)導(dǎo)致迭代速度緩慢；相反地，βf太大將會(huì)導(dǎo)致成本函數(shù)不收斂.因此，下一節(jié)給出了如何選取合理的學(xué)習(xí)率βf.

4 收斂性分析

定理2如果學(xué)習(xí)率參數(shù)βf滿足

(17)

其中,

其中，參數(shù)ξ是一個(gè)極小的正數(shù).那么，成本函數(shù)(15)的收斂性將會(huì)得到保證.

證對(duì)于成本函數(shù)(15)，考慮如下的李雅普諾夫函數(shù)：

其差分計(jì)算如下：

(18)

進(jìn)而有

(19)

和

(20)

根據(jù)所得結(jié)果式(19)和式(20)，有

(21)

將式(21)帶入式(18)，有如下結(jié)果：

(22)

5 仿真算例

本節(jié)給出了一個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證所提方法的有效性.

例1考慮帶有兩個(gè)模糊規(guī)則的非線性系統(tǒng)，其相關(guān)的參數(shù)如下：

w1(ψ(k))=0.2+0.7|sin(x1(k))|和w2(ψ(k))=1-w1(ψ(k)),

不難看出它們嚴(yán)格滿足隸屬度函數(shù)限制(14).利用MATLAB計(jì)算定理1 中的線性矩陣不等式，相應(yīng)的模糊控制器增益為：K1=[0.3717 -0.4707],K2=[0.380 6 -0.474 5].

仿真結(jié)果如圖1～圖6所示.圖1給出了系統(tǒng)隸屬度函數(shù)的變化；圖2描繪了在傳統(tǒng)方法下所定義的控制器隸屬度函數(shù)的變化；圖3展示了利用所提出的隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)算法優(yōu)化后的隸屬度函數(shù)的迭代軌跡；系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖4 所示；圖5分別給出了在傳統(tǒng)方法下以及在所提出的隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)策略下的被控輸出的二范數(shù)軌跡，顯然，在本文所提出的算法下，被控輸出的范數(shù)要比在傳統(tǒng)控制方法下要??；圖6分別刻畫了在傳統(tǒng)控制方法下和本文所提出的在線學(xué)習(xí)優(yōu)化策略下性能指標(biāo)γ曲線.顯而易見，在本文所提出的控制方法下，γ要明顯小于傳統(tǒng)控制下的值.綜上所述，本文所提出的控制算法要優(yōu)于傳統(tǒng)的控制方法.

圖1 系統(tǒng)隸屬度函數(shù)

圖2 控制器隸屬度函數(shù)

圖3 基于在線學(xué)習(xí)算法的控制器隸屬度函數(shù)軌跡

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖5 ‖z(k)‖2 的軌跡

圖曲線

6 結(jié) 論

本文研究了在非并行分布式補(bǔ)償機(jī)制下,利用所提出的隸屬度函數(shù)在線優(yōu)化策略來實(shí)時(shí)地優(yōu)化控制器隸屬度控制參數(shù),進(jìn)而使系統(tǒng)取得最優(yōu)混合性能指標(biāo)的問題.首先，給出了保證系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足混合性能指標(biāo)的充分的靜態(tài)控制器設(shè)計(jì)條件.緊接著，利用本文所提出的隸屬度函數(shù)在線學(xué)習(xí)策略，模糊控制器的隸屬度可以被實(shí)時(shí)地更新，再使用所更新的隸屬度函數(shù)構(gòu)造整體的模糊控制器，進(jìn)而獲取了最優(yōu)的混合性能指標(biāo).最后，給出了一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的有效性.