徐國(guó)元，黃思源

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510641)

0 引 言

近些年來(lái)，基坑開(kāi)挖在我國(guó)城市建設(shè)中較為廣泛，由于基坑工程的周圍環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜，施工過(guò)程中會(huì)對(duì)下臥的盾構(gòu)隧道及管道等結(jié)構(gòu)物造成一定的影響。特別在軟土地區(qū)，除基坑自身支承結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及穩(wěn)定性應(yīng)達(dá)到要求外，還必須嚴(yán)格控制隧道襯砌結(jié)構(gòu)的變形和保證列車正常運(yùn)營(yíng)安全。因此，如何合理計(jì)算分析基坑開(kāi)挖對(duì)下臥既有盾構(gòu)隧道變形的影響，是工程建設(shè)中亟待解決的問(wèn)題之一。[1-2]

目前，很多學(xué)者就此問(wèn)題進(jìn)行了探索和研究。在模型試驗(yàn)方面：Y.KOJIMA等[3]研究了地面加卸載2種不同工況條件下隧道襯砌的變形規(guī)律；魏少偉[4]通過(guò)設(shè)計(jì)2組離心模型試驗(yàn)，分析了在開(kāi)挖卸荷作用下，坑底不同位置處隧道橫截面附加內(nèi)力和附加變形的分布規(guī)律；姜兆華[5]在室內(nèi)試驗(yàn)中設(shè)計(jì)了3種工況，通過(guò)改變隧道與基坑間的相對(duì)空間位置關(guān)系，總結(jié)出隧道結(jié)構(gòu)附加彎矩和周圍土壓力的變化規(guī)律。在數(shù)值模擬方面：高廣運(yùn)等[6]應(yīng)用FLAC 3D模擬了基坑開(kāi)挖及坑外地層二次加固的全過(guò)程，發(fā)現(xiàn)既有的地下結(jié)構(gòu)和土體加固可以減小基坑周圍土層的位移；鄭剛等[7]依托天津市區(qū)某實(shí)際基坑工程，采用更符合土體變形特性的HSS模型模擬分析，劃分出在圍護(hù)結(jié)構(gòu)不同變形模式下基坑開(kāi)挖對(duì)隧道變形的影響區(qū)域；劉方梅[8]在軟土地區(qū)工程實(shí)例的基礎(chǔ)上，建立了不同本構(gòu)模型并與工程監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)比較，發(fā)現(xiàn)采用HSS模型分析的結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)最為吻合。在理論解析方面，兩階段法是常用于分析基坑開(kāi)挖引起鄰近隧道變形的方法，劉國(guó)斌等[9]首先提出了坑底卸荷殘余應(yīng)力的概念，由劉浩[10]將其應(yīng)用在Mindlin基本解中；張治國(guó)等[11]充分考慮了基坑底部和四側(cè)坑壁土體同時(shí)卸荷的作用，結(jié)合Winkler地基梁模型求解得到隧道縱向的變形，與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有較好的吻合性；周澤林等[12]在第一階段計(jì)算附加應(yīng)力中把地基看作黏-彈性空間體，同時(shí)還考慮了降水和支承結(jié)構(gòu)的作用等因素的影響，最后基于Pasternak地基模型計(jì)算得到隧道的變形和內(nèi)力值。

由于室內(nèi)試驗(yàn)要求條件較高以及數(shù)值模擬存在建模復(fù)雜、計(jì)算耗時(shí)的缺點(diǎn)，筆者從理論解析方面入手，在兩階段法的基礎(chǔ)上，通過(guò)在Pasternak地基模型的上部增加一層彈簧層來(lái)考慮上覆土層對(duì)隧道的約束作用，提出基坑開(kāi)挖引起下臥盾構(gòu)隧道變形的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，通過(guò)將隧道變形的解析解分別與數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證其合理性。

1 隧道縱向附加應(yīng)力

1.1 建立力學(xué)模型

一隧道下臥于矩形基坑，兩者中心線的水平距離為x1，圍護(hù)結(jié)構(gòu)與隧道的最小水平凈距為s，隧道的外徑為D，中心埋深為z0，基坑的尺寸為L(zhǎng)×B，開(kāi)挖深度為d，基坑側(cè)壁按①～④分別進(jìn)行編號(hào)，如圖1。以基坑地面中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，平行于基坑寬度的方向?yàn)閤軸，以點(diǎn)O到側(cè)壁①為正；平行于基坑長(zhǎng)度的方向?yàn)閥軸，以點(diǎn)O到側(cè)壁③為正；平行于基坑深度的方向?yàn)閦軸，以豎直向下為正。

圖1 基坑開(kāi)挖對(duì)隧道影響Fig. 1 Influence of foundation pit excavation on tunnel

在求解基坑卸荷應(yīng)力過(guò)程中做3點(diǎn)假設(shè)：①分析坑底卸荷時(shí)考慮土體的彈塑性；②不考慮基坑開(kāi)挖過(guò)程中的時(shí)空效應(yīng)；③不考慮基坑降水的作用。

在求解隧道上附加應(yīng)力過(guò)程中做2點(diǎn)假設(shè)[1]：①土體為線彈性、均質(zhì)的半無(wú)限空間體；②忽略既有隧道存在對(duì)計(jì)算基坑卸荷過(guò)程引起隧道處附加應(yīng)力的影響。

1.2 計(jì)算公式

1.2.1 坑底卸荷分析

文獻(xiàn)[9]認(rèn)為由于土體是彈塑性材料，在基坑開(kāi)挖后會(huì)存在殘余應(yīng)力，并通過(guò)分析工程實(shí)測(cè)資料，提出了確定殘余應(yīng)力系數(shù)α的方法如式(1)：

(1)

因此坑底卸荷荷載大小如式(2)：

σ=(1-α)γd

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Ω為坑底的積分區(qū)域；v為土體泊松比；R1、R2分別為基坑底面某點(diǎn)(ξ,η,d)及其關(guān)于地面對(duì)稱點(diǎn)(ξ,η,-d)到隧道軸線一點(diǎn)(x1,y1,z0)的距離。

1.2.2 坑壁卸荷分析

由于在計(jì)算中把土體視為彈性半空間體，根據(jù)文獻(xiàn)[14]，認(rèn)為Mindlin解不能計(jì)算遠(yuǎn)離隧道的基坑側(cè)壁②的土體卸荷應(yīng)力對(duì)隧道變形的影響，只適用于計(jì)算其他3側(cè)坑壁的應(yīng)力作用。另外，坑壁土體側(cè)向應(yīng)力的釋放受到圍護(hù)結(jié)構(gòu)影響，基坑開(kāi)挖前后，圍護(hù)墻后土體由靜止土壓力狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)土壓力狀態(tài)，利用兩個(gè)狀態(tài)下最大土壓力差值比上初始狀態(tài)靜止土壓力最大值，便可得到應(yīng)力釋放折減系數(shù)β，如式(7)：

(7)

式中：P0為靜止土壓力；Pa為主動(dòng)土壓力。可根據(jù)JGJ 120—2012《建筑基坑支護(hù)技術(shù)規(guī)程》[15]中的土壓力計(jì)算方法或者有限元方法得到。

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：Γc1為側(cè)壁①上的積分區(qū)域；K0為靜止側(cè)壓力系數(shù)，一般由試驗(yàn)直接獲得。在缺乏試驗(yàn)條件時(shí)，對(duì)于砂性土，可取K0=1-sinφ′；對(duì)于黏性土，可取K0=0.95-sinφ′，φ′為有效內(nèi)摩擦角；T1、T2分別為基坑側(cè)壁某點(diǎn)(B/2,η,τ)及其關(guān)于地面對(duì)稱點(diǎn)(B/2,η,-τ)到隧道軸線一點(diǎn)(x1,y1,z0)的距離。

(12)

(13)

當(dāng)基坑中心軸線與隧道縱軸線成一定角度時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，隧道軸線上附加應(yīng)力的求解可以通過(guò)不同坐標(biāo)系變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。在隧道正上方地面處建立局部坐標(biāo)系x′-y′，其中x′軸垂直于隧道軸線方向，且通過(guò)全局坐標(biāo)系x-y的坐標(biāo)原點(diǎn)，y′軸平行于隧道軸線方向，如圖2。隧道軸線上的點(diǎn)在坐標(biāo)系x-y中的坐標(biāo)(x,y)可按式(14)由局部坐標(biāo)系x′-y′中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)(x′,y′)得到。

圖2 計(jì)算模型的平面投影Fig. 2 Plane projection of calculation model

(14)

式中：X為全局坐標(biāo)系原點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)；θ為y′軸與y軸正向的夾角。

2 隧道縱向變形理論

2.1 隧道縱向變形計(jì)算模型

城市地鐵隧道一般建于深層土體中，傳統(tǒng)彈性地基梁理論往往忽略了上覆土體對(duì)盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)的約束作用，對(duì)于埋深超過(guò)1.5倍隧道外徑的盾構(gòu)隧道，可將其結(jié)構(gòu)上覆土體視為Winkler彈性地基來(lái)模擬這種相互作用[16]。筆者通過(guò)在雙參數(shù)Pasternak模型[17]的上部增加一層彈簧層，來(lái)分析隧道的縱向變形，既考慮了上覆土層對(duì)隧道的影響，又使下部彈簧之間產(chǎn)生聯(lián)系，可以體現(xiàn)下臥地基擴(kuò)散應(yīng)力效應(yīng)和土體變形協(xié)調(diào)性，使計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際，簡(jiǎn)化地基梁計(jì)算模型如圖3。

圖3 地基梁模型Fig. 3 Foundation beam model

2.1.1 隧道平衡微分方程

圖4 微元體受力Fig. 4 Stress diagram of microelements

由微元段的力與彎矩平衡條件和材料力學(xué)[18]中梁的純彎曲理論，隧道最終的撓曲線微分方程如式(15)：

(15)

式中：E是材料的彈性模量；I是材料的界面慣性矩；EI為隧道縱向等效抗彎剛度；G為土體剪切模量；q(y)為隧道處附加的豎向或水平荷載，可分別由式(12)和式(13)得到的σz與σx乘以隧道外徑D得到；w(y)為隧道的豎向或水平位移。

由地基梁模型的基本假設(shè)可知，地基上某點(diǎn)的變形S僅與其所受到的應(yīng)力p成正比，因此

p1(y)=k1S

(16)

p2(y)=-k2S

17)

式中：p1(y)，p2(y)分別為上、下部地基土體受到的應(yīng)力；k1，k2分別為上、下部地基土體的基床系數(shù)。當(dāng)上下地基為同一類土或力學(xué)性質(zhì)相近時(shí)，可采用相同的基床系數(shù)k，為計(jì)算簡(jiǎn)便取k=k1=k2。

由于隧道與土體之間是協(xié)調(diào)變形的，不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑移與脫離，即：

S=w(y)

(18)

聯(lián)立式(15)～式(18)，得到梁的撓度微分方程為：

(19)

2.1.2 方程求解

式(19)是非齊次四階常微分方程，在求解解析解上有一些難度，下面筆者應(yīng)用有限差分法近似計(jì)算，同時(shí)也便于編程求解。將隧道離散為n+4個(gè)獨(dú)立單元，各段長(zhǎng)度為l。在隧道兩端各補(bǔ)充上兩個(gè)虛擬單元，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)分別為-2，-1，n+1和n+2，如圖5。

圖5 隧道離散分析Fig. 5 Discrete analysis of tunnel

每分段的隧道位移分別為w0，w1，…，wn，假定隧道兩端是自由的，根據(jù)有限差分原理可得：

(20)

式(19)中微分項(xiàng)的有限差分格式可表示為：

(21)

(22)

聯(lián)立式(20)～(22)得到n+1個(gè)未知數(shù)為各分段位移的方程，可寫成：

(K+2Ks-Gs)w=Qt

(23)

式中：K和Ks分別為隧道和地基的剛度矩陣，Gs為地基剪切剛度矩陣；Qt為作用在隧道上的附加荷載列向量；w為隧道位移列向量。

根據(jù)材料力學(xué)，將求解出的w分別進(jìn)行二次和三次求導(dǎo)，可進(jìn)一步得到隧道結(jié)構(gòu)的附加彎矩M和附加剪力Q：

(24)

(25)

2.2 參數(shù)確定

2.2.1 隧道縱向等效抗彎剛度

由于盾構(gòu)管片之間是通過(guò)螺栓連接的，存在縱向接縫，在計(jì)算隧道剛度時(shí)一般采用等效剛度連續(xù)模型將其視為均質(zhì)圓筒進(jìn)行折減，即：

EI=ηEcIc

(26)

式中：Ic為管片截面慣性矩；Ec為管片混凝土的彈性模量；η為隧道縱向剛度折減系數(shù)，按照文獻(xiàn)[19]中的方法，取η=1/5～1/7。

2.2.2 地基參數(shù)

確定地基參數(shù)常用簡(jiǎn)化彈性空間法[20-21]，其計(jì)算簡(jiǎn)便但得到的參數(shù)精度不夠高，因此周澤林[22]借助有限元軟件，通過(guò)數(shù)值解和理論解反復(fù)對(duì)比試算得到k和G的最優(yōu)取值方法，見(jiàn)式(27)、式(28)：

(27)

(28)

式中：Es為土體彈性模量；h為隧道下方的地基厚度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取h=6D；η′1，η′2分別為Es和h的修正系數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[22]的研究取[η′1,η′2]=[0.85,1.10]。

3 算例驗(yàn)證

3.1 有限元算例

假定某建筑矩形基坑長(zhǎng)為L(zhǎng)=15 m，寬為B=10 m，深度為d=6 m，采用厚度為1 m、插入深度為10 m的地下連續(xù)墻作為圍護(hù)結(jié)構(gòu)。盾構(gòu)隧道拱頂埋深為12 m，其縱軸線方向與基坑的長(zhǎng)邊平行，與圍護(hù)樁結(jié)構(gòu)的最小水平凈距為s=6 m。隧道縱向等效抗彎剛度為EI= 1.52×108kN·m2，管片外徑D=6 m，壁厚為0.3 m。為簡(jiǎn)便計(jì)算，地基土層均采用重度γ= 21 kN/m3，彈性模量Es=14 MPa，泊松比v=0.35，的粉質(zhì)黏土，土體的剪切參數(shù)c′=12.8 kPa，φ′=24°。采用文獻(xiàn)[15]的方法計(jì)算得到基坑側(cè)壁卸荷應(yīng)力折減系數(shù)取β=47%。

采用巖土通用有限元軟件Midas/GTS，建模分析基坑開(kāi)挖對(duì)隧道位移的影響。土體采用MC本構(gòu)關(guān)系，隧道管片與基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)均采用板殼單元模擬，有限元網(wǎng)格如圖6?；诠P者的計(jì)算方法，把隧道分n=100段，各段長(zhǎng)度l=1 m，通過(guò)MATLAB軟件編程計(jì)算求出各段的豎向和水平位移，進(jìn)而得到隧道沿縱向的變形曲線，并與有限元軟件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

圖7對(duì)應(yīng)隧道拱頂部位的位移值，圖8對(duì)應(yīng)靠近基坑側(cè)隧道拱腰部位的位移值。分析可知，由3種方法計(jì)算得到的結(jié)果盡管在數(shù)值上有一定偏差，但是沿隧道縱向的位移曲線變化規(guī)律大致相同，呈現(xiàn)正態(tài)分布的趨勢(shì)。采用Pasternak地基梁模型計(jì)算結(jié)果明顯大于其他方法所得結(jié)果，筆者方法所得結(jié)果與數(shù)值模擬較為接近。這是因?yàn)橄啾扔赑asternak地基梁理論，筆者方法充分考慮了上覆土體對(duì)隧道結(jié)構(gòu)的約束作用，計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，符合客觀規(guī)律。另外，由于數(shù)值模擬采用的摩爾-庫(kù)倫本構(gòu)模型作為理想彈塑性模型，不能區(qū)分基坑底部土體加荷和卸荷的力學(xué)響應(yīng)，而筆者的計(jì)算方法則是考慮了開(kāi)挖卸荷后坑底土體會(huì)存在殘余應(yīng)力的影響，因此得到的結(jié)果會(huì)比數(shù)值模擬偏小。

圖7 隧道拱頂豎向位移值Fig. 7 Vertical displacement value of tunnel vault

圖8 隧道拱腰水平位移值Fig. 8 Horizontal displacement value of tunnel haunch

相比數(shù)值模擬的方法，筆者方法計(jì)算速度快，省去了大量的建模時(shí)間，可用于初步評(píng)估基坑開(kāi)挖對(duì)下臥盾構(gòu)隧道變形的影響，從而盡快提出相應(yīng)的工程措施。

3.2 工程案例

我國(guó)東部城市某建筑基坑長(zhǎng)為L(zhǎng)=30 m，寬為B=20 m，深度為d=7 m，詳細(xì)的地質(zhì)條件可參見(jiàn)文獻(xiàn)[23]?；硬捎?.8 m厚的地下連續(xù)墻作為圍護(hù)結(jié)構(gòu)，插入深度為15 m，并在內(nèi)部施作一道水平橫撐。地鐵1號(hào)線建成區(qū)間的下行線平行于基坑寬度方向，與基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)的最小凈距為s=4 m，隧道拱頂與地面的距離為10 m。隧道等效抗彎剛度EI=7.21×107kN·m2，管片外徑D=6 m，厚0.35 m。文獻(xiàn)[23]采用有限元方法進(jìn)行建模計(jì)算，得到應(yīng)力釋放折減系數(shù)β=25%。

圖9、10均對(duì)應(yīng)隧道拱頂部位的位移值。文獻(xiàn)[23]采用的是基坑側(cè)壁應(yīng)力僅考慮臨近隧道一側(cè)的Winkler彈性地基梁理論，所得結(jié)果與實(shí)測(cè)值偏差較大，而筆者方法則在文獻(xiàn)[23]方法的基礎(chǔ)上考慮了上覆土體對(duì)隧道的作用以及隧道下臥層土體的剪切效應(yīng)，因而隧道變形更趨向于實(shí)測(cè)值，進(jìn)一步驗(yàn)證了筆者方法的可靠性。

圖9 隧道拱頂豎向位移值Fig. 9 Vertical displacement value of tunnel vault

圖10 隧道拱頂水平位移值Fig. 10 Horizontal displacement value of tunnel vault

筆者方法在計(jì)算中作了一些近似的折減考慮，如圍護(hù)樁的擋土作用以及坑底土體的塑性變形等，且實(shí)際施工中存在一定人為因素，故理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果存在一定差異，但是都滿足小于控制值為20 mm的變形要求[24]，說(shuō)明在整個(gè)基坑開(kāi)挖過(guò)程中隧道結(jié)構(gòu)是處于安全狀態(tài)的。另外，地基參數(shù)的取值也會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，這需要在以后的工程實(shí)踐中不斷修正完善。

4 結(jié) 語(yǔ)

1)基于Mindlin經(jīng)典解，根據(jù)二重積分法分別得到坑底及側(cè)壁的卸荷應(yīng)力引起隧道處的豎向、水平附加應(yīng)力，應(yīng)用數(shù)值求積法及疊加原理即可求出基坑開(kāi)挖后作用在下臥盾構(gòu)隧道上的總附加應(yīng)力。在計(jì)算中同時(shí)考慮了坑底殘余應(yīng)力的影響及圍護(hù)樁的擋土效應(yīng)，更加接近工程實(shí)際。

2)通過(guò)在Pasternak模型上部增加一層彈簧層不僅可以體現(xiàn)下臥地基的剪切效應(yīng)，還能考慮上覆土層對(duì)隧道的約束作用，根據(jù)力學(xué)分析得到地基梁的撓度微分方程，最后轉(zhuǎn)化為有限差分方程來(lái)計(jì)算隧道整體位移值。與有限元數(shù)值模擬得到的隧道縱向變形曲線的趨勢(shì)大致相同，并且與實(shí)測(cè)變形值也較為接近，相比于常規(guī)的Winkle、Pasternak地基梁模型方法，筆者方法更能夠反映埋深超過(guò)1.5倍隧道外徑的盾構(gòu)隧道在外荷載作用下的力學(xué)響應(yīng)。另外，筆者方法可以通過(guò)前期計(jì)算程序的編寫，然后輸入不同工程的參數(shù)即可快速得到隧道的變形及內(nèi)力，省去了建模時(shí)間，能夠?qū)Χ軜?gòu)隧道管片結(jié)構(gòu)的安全性進(jìn)行初步評(píng)估。