廖永福
(福建省廈門第二中學(xué) 361009)
解三角形有四種基本題型:(1)已知兩邊和它們的夾角;(2)已知三邊;(3)已知兩角和任一邊;(4)已知兩邊和其中一邊的對角.根據(jù)全等三角形的判定方法可知,前三種基本題型,三角形都有唯一解,最后一種題型,三角形可能無解、一個(gè)解或兩個(gè)解.由于解的個(gè)數(shù)不易確定,因而成為教學(xué)的難點(diǎn).筆者經(jīng)過精心研究,歸納整理出判斷三角形解的個(gè)數(shù)的四個(gè)妙招.
我們知道,三角形有許多性質(zhì),如“在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB”“若α是三角形的內(nèi)角,則0 例1 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足以下條件的三角形解的個(gè)數(shù)為1的是( ). A.a(chǎn)=22,b=25,A=120° B.a(chǎn)=9,c=10,A=30° C.a(chǎn)=6,b=8,A=60° D.a(chǎn)=11,b=6,A=45° 分析從已知條件出發(fā),利用正弦定理、大邊對大角以及正弦函數(shù)的有界性,判斷各個(gè)選項(xiàng)中三角形的個(gè)數(shù),從而得出結(jié)論. 解析對于選項(xiàng)A,因?yàn)閎>a,所以B>120°.所以滿足題意的三角形不存在; 先根據(jù)已知條件畫出三角形,再根據(jù)所畫三角形的個(gè)數(shù)作出判斷.三角形有幾個(gè),解就有幾個(gè). 畫三角形的關(guān)鍵是確定三個(gè)頂點(diǎn)的位置,一般步驟是:(1)畫角,確定第一個(gè)頂點(diǎn);(2)畫鄰邊,確定第二個(gè)頂點(diǎn);(3)畫對邊,確定第三個(gè)頂點(diǎn). 首先,分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正弦定理求出另一已知邊的對角的取值范圍和正弦表達(dá)式;其次,構(gòu)造相應(yīng)的正弦函數(shù)和常數(shù)函數(shù)并畫出它們的圖象;最后,根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)作出判斷, 交點(diǎn)有幾個(gè),三角形的解就有幾個(gè). 分析利用正弦定理,可用a表示sinA,結(jié)合C的大小,可知A∈(0°,120°).構(gòu)造相應(yīng)正弦函數(shù)和常數(shù)函數(shù)并畫出其圖象,結(jié)合存在兩個(gè)三角形的條件,即可列出a滿足的不等式,求得a的取值范圍. 在△ABC中,已知邊a,b和角A,則△ABC有幾個(gè)解等價(jià)于關(guān)于邊c的一元二次方程c2-(2bcosA)c+b2-a2=0(*)有幾個(gè)不等的正根. 證明由余弦定理知,邊c是方程(*)的根,△=(2bcosA)2-4(b2-a2) =4a2-4b2sin2A. 綜上,△ABC有幾個(gè)解等價(jià)于方程(*)有幾個(gè)不等的正根. A.0°
二、畫圖法
三、 圖象法
四、判別式法