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例談數(shù)形雙視角解決向量的夾角問題

2021-09-27 05:55:12顧予恒
數(shù)理化解題研究 2021年25期
關(guān)鍵詞:鈍角仰角刻畫

顧予恒

(浙江省杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校 311215)

向量的夾角是向量概念中的一大要素,是刻畫兩個(gè)向量之間相對(duì)位置關(guān)系的重要量.近年來,它已成為向量考查的重要知識(shí)點(diǎn)之一.向量的夾角既有明顯的幾何特征,又與數(shù)量積運(yùn)算有著密切的聯(lián)系,因此也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的重要陣地.

一、代數(shù)視角,公式運(yùn)算

例1已知非零平面向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a,b的夾角為( ).

解析由(a-b)⊥b,得(a-b)·b=0.

即a·b=b2,即|a|·|b|cosθ=|b|2.

點(diǎn)評(píng)向量的數(shù)量積運(yùn)算中蘊(yùn)含夾角余弦值,因此通過向量的代數(shù)運(yùn)算,可以方便地求出夾角.

例2 非零向量a,b滿足2a·b=a2·b2,|a|+|b|=2,則a與b的夾角的最小值是____.

解析由(|a|+|b|)2=4,得|a|2+|b|2=4-2|a|·|b|≥2|a|·|b|,即|a|·|b|≤1.

例3 設(shè)向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夾角是60°,若2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,則t的取值范圍是____.

解析因?yàn)?te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,故(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,且2te1+7e2與e1+te2不反向共線.

點(diǎn)評(píng)兩個(gè)向量成銳角或鈍角,與數(shù)量積為正或?yàn)樨?fù)有關(guān),但不是充要條件,要注意共線的特例,往往是利用共線條件進(jìn)行剔除.

解析設(shè)P(x,y),則Q(x,-y).

點(diǎn)評(píng)建系條件下的向量夾角坐標(biāo)表示形式也是求解夾角的一種有力工具.

分析本題看似是一道三角函數(shù)的問題,但其研究的對(duì)象是三角形的三個(gè)角,那么如何使用向量方法來刻畫三角形三個(gè)內(nèi)角的余弦值呢?

二、幾何視角,圖形探究

如果能利用向量的幾何表示作出圖形,那么用平面幾何的知識(shí)也能幫助探求夾角.

點(diǎn)評(píng)本題是用向量刻畫了米勒問題(山高模型)中的仰角差,教材中的計(jì)算山高、塔高的問題就是這類問題的現(xiàn)實(shí)模型.在直角三角形中,利用仰角的正切值來研究仰角差比較便利.

例7 已知平面單位向量a,b滿足a·b=0,記f(x)=tan〈b+xa,b+(x-1)a〉,則f(x)的最大值為____.

圖4 圖5

(1)如圖4,當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)D在點(diǎn)B的同側(cè),設(shè)BC=x≥1,BD=x-1,則tan∠BOC=x,tan∠BOD=x-1.

點(diǎn)評(píng)本題是例6的進(jìn)化版,用向量刻畫了平行線上的兩等距離動(dòng)點(diǎn),研究向量的夾角,實(shí)質(zhì)還是仰角差模型的應(yīng)用,但要注意有兩種情況分類討論.

例8 已知平面向量a,b,c滿足|c|=4,a·(c-a)=b·(c-b)=3,當(dāng)a與b的夾角最大時(shí),a·b=____.

分析注意到題干條件a·(c-a)=b·(c-b)=3是同構(gòu)式,刻畫的是同一個(gè)圓.

點(diǎn)評(píng)本題用向量刻畫了一個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn),即圓外一點(diǎn)與圓上兩點(diǎn)連線的夾角最大為切線角,將問題轉(zhuǎn)化為求圓外一點(diǎn)與圓心連線距離最短.

例9 已知平面向量a,b,c,e滿足|a|=4,|b|=|c|=2,|e|=1,則tan〈a+b+e,a+c+e〉的最大值是____.

分析注意到要求的角〈a+b+e,a+c+e〉中有共同的元素a+e,故視為整體.

點(diǎn)評(píng)本題是例8的升級(jí)版,考點(diǎn)依然是圓的切線角最大,但對(duì)向量幾何作圖提出了更高的要求.

三、數(shù)形結(jié)合,比翼齊飛

靈活運(yùn)用代數(shù)與幾何多角度研究夾角問題,有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的核心素養(yǎng).

記E2(x,y),則由山高模型知,

要求cos2θ的最小值,即求tanθ最大時(shí)的θ值.

至此,向量的夾角問題得到了很好的解決.向量作為數(shù)形結(jié)合的主陣地,處理問題的方法一般也有代數(shù)的數(shù)量積運(yùn)算與幾何的圖形背景兩個(gè)角度.在日常的教學(xué)和學(xué)習(xí)中,只有不斷加強(qiáng)兩方面的研究,才能在數(shù)與形之間自由切換,收放自如.

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