李少云 王君麗 何曉紅 徐會(huì)作

(1.溫州廣播電視大學(xué) 教師教學(xué)發(fā)展中心，浙江 溫州 325000； 2.臺(tái)州科技職業(yè)學(xué)院 成人教育學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318020； 3.衢州廣播電視大學(xué)教務(wù)處，浙江 衢州 324000；4.溫州理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 溫州 325000)

0 前言

Gauss反雙紐線正弦函數(shù)和反雙紐線雙曲正弦函數(shù)[1，2]分別定義如下：

另外一對(duì)反雙紐線函數(shù)，即反雙紐線正切和反雙紐線雙曲正切函數(shù)[3]定義為

我們不難證明(見(jiàn)文獻(xiàn)[2]定理1.7):

和

其中

是經(jīng)典伽瑪函數(shù)[4]以及

是第一類完全橢圓積分[5，6].

對(duì)于a，b>0且a≠b，算術(shù)平均A(a，b)，二次平均Q(a，b)和雙紐線平均LM(a，b)[3]分別定義如下：

(1)

和

上述四種反雙紐線函數(shù)可以用R-超幾何函數(shù)來(lái)表示[3].近年來(lái)，涉及反雙紐線函數(shù)和雙紐線平均的不等式引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.在特殊情形，可以發(fā)現(xiàn)一些新的重要不等式，相應(yīng)結(jié)果可參見(jiàn)有關(guān)文獻(xiàn)[7-14].

設(shè)a，b>0且a≠b，z=|a-b|/(a+b)∈(0，1)，LMAQ(a，b)=LM[A(a，b)，Q(a，b)]，LMQA(a，b)=LM[Q(a，b)，A(a，b)].則這兩個(gè)平均LMAQ(a，b)和LMQA(a，b)的顯式表達(dá)式為：

(2)

(3)

Neuman[3]證明了不等式

A(a，b)

(4)

對(duì)所有a，b>0且a≠b成立.

根據(jù)不等式(4)，本文的主要結(jié)論是如下兩個(gè)定理：

定理1雙向不等式

定理2雙向不等式

定理1和定理2揭示了雙紐線平均和算術(shù)平均與二次平均調(diào)和組合的序關(guān)系，進(jìn)一步可以分別獲得反雙紐線雙曲正弦函數(shù)和反雙紐線正切函數(shù)的估計(jì).

1 引理

為了證明定理1和定理2，本節(jié)給出反雙紐線函數(shù)的求導(dǎo)公式和兩個(gè)引理.

首先，根據(jù)反雙紐線函數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，容易得到如下求導(dǎo)公式:

.

下面，我們給出本文需要的兩個(gè)引理.

引理1.1設(shè)p∈(0，1)，

f(t)=3pt4+3pt3-(1-p)t2-4(1-p)t-4(1-p)

(5)

證明(1)當(dāng)p=3/5時(shí)，則等式(5)變成

(6)

7p-1=2.6397…>0，13p-4=2.7594…>0，

f(1)=3(5p-3)=-1.2006…<0，

(7)

(8)

f′(t)=12pt4+9pt2-2(1-p)t-4(1-p)>12pt+9p-2(1-p)t-4(1-p)

=2(7p-1)t+(13p-4)>0

(9)

引理1.2設(shè)p∈(0，1)，

g(t)=4pt4+4pt3+pt2-3(1-p)t-3(1-p)

(10)

證明(1)當(dāng)p=2/5時(shí)，則等式(10)變成

(11)

11p-1=2.5662…>0，g(1)=15p-6=-1.1369…<0，

(12)

(13)

g′(t)=16pt3+12pt2+2pt-3(1-p)>3(11p-1)>0

(14)

2 定理證明

定理1

1/LMAQ(a，b)-[p/A(a，b)+(1-p)/Q(a，b)]

(15)

設(shè)

(16)

則簡(jiǎn)單計(jì)算可得

F(0+)=0，

(17)

(18)

(19)

其中

(20)

(21)

其中f(t)是定義在引理1.1.

下面分四種情形證明:

情形1p=3/5.由式(15)-(17)，(19)-(21)和引理1.1得到

情形2 0

(22)

F(1-)=0.

(23)

由式(15)-(17)、(23)及函數(shù)F(x)的分段單調(diào)性，可知

F(1-)<0.

(24)

定理2

1/LMQA(a，b)-[p/A(a，b)+(1-p)/Q(a，b)]

(25)

設(shè)

(26)

則簡(jiǎn)單計(jì)算可得

G(0+)=0，

(27)

(28)

(29)

其中

(30)

(31)

其中g(shù)(t)是定義在引理1.2.

下面分四種情形證明:

情形1p=2/5.由式(25)-(27)，(29)-(31)和引理1.2得到

情形2 0

(32)

G(1-)=0，

(33)

由式(25)-(27)、(33)及函數(shù)G(x)的分段單調(diào)性可知

G(1-)<0.

(34)

由定理1和定理2，我們得到如下推論:

推論雙向不等式

對(duì)所有x∈(0，1)成立.