李 姍， 葉國(guó)菊*， 劉 尉， 趙大方

(1.河海大學(xué)理學(xué)院， 南京 210098； 2.湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 黃石 435002)

多屬性決策是現(xiàn)代決策科學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它的本質(zhì)是在考慮多個(gè)屬性的情況下，根據(jù)一組備選對(duì)象的屬性信息排序最終選出最佳方案。在過去幾十年的研究中，許多學(xué)者針對(duì)不同形式的屬性值與屬性權(quán)重的多屬性決策問題進(jìn)行了深入的研究[1-4]。由于客觀事物具有的復(fù)雜性和不確定性、人類思維的模糊性以及想法表述的差異性，人們往往不能明確地給出屬性的權(quán)重信息，而是以語言的形式來表示。例如，人們?cè)趯?duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)、汽車的性能等進(jìn)行評(píng)估時(shí)，對(duì)于權(quán)重信息經(jīng)常使用的是“幾乎所有”“很少”“許多”“大量”等自然語言，由此 Zadeh[5]提出將這些自然語言轉(zhuǎn)化為模糊子集來考慮。在進(jìn)行多屬性決策時(shí)，決策者所提供的信息不一定是確切的數(shù)值，更常見的是語言值，這就涉及如何將抽象語言信息轉(zhuǎn)化為更加方便計(jì)算的數(shù)值信息，因此研究該方面的問題有著重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。在20世紀(jì)80年代，Yager[6-7]根據(jù)多屬性決策問題引入了有序加權(quán)平均(OWA)算子的概念，OWA 算子是一種重要的多屬性綜合決策方法，廣泛應(yīng)用于管理與決策領(lǐng)域[8-11]，不同的權(quán)重選取方法可以生成不同的 OWA 算子，如何科學(xué)地給出 OWA 算子的權(quán)重是這一領(lǐng)域重要的問題之一。在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)與軍事的諸多領(lǐng)域中，對(duì)一些復(fù)雜問題進(jìn)行決策時(shí)，常常需要考慮不同決策人的偏好問題，進(jìn)而將決策人的偏好信息集結(jié)起來，而 OWA 算子能夠有效靈活應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的情況。自 Zadeh[5]提出模糊語義量化函數(shù)后，一些學(xué)者對(duì)于其性質(zhì)與應(yīng)用做了許多研究，其中包括將模糊語義量化函數(shù)與 OWA 算子結(jié)合應(yīng)用于決策和數(shù)據(jù)融合[1-2,12]等方面。近年來，OWA 算子已被廣泛應(yīng)用于實(shí)際問題中，例如：賈本甲等[13]用 OWA 算子來表示非確定型的決策方法中的聚合函數(shù)；張正昱等[14]將語言量化算子和 OWA 方法結(jié)合，利用 AHP(analytic hierarchy process)方法計(jì)算準(zhǔn)則權(quán)重進(jìn)行多準(zhǔn)則排序；潘竟虎等[15]引入有序加權(quán)平均多準(zhǔn)則決策模型優(yōu)化黃河流域甘肅段生態(tài)安全格局；Ernesto等[16]基于 OWA 算子研究農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格的波動(dòng)性。

在過去的研究中屬性權(quán)重的賦予方法大多都會(huì)忽略決策人的樂觀程度，而本文研究基于語義模糊量化函數(shù)給出一種確定新的 OWA 算子權(quán)重的方法，此方法可以考慮到?jīng)Q策者本身的樂觀水平，又可以考慮到極端值對(duì)于結(jié)果的影響，同時(shí)這種計(jì)算方式也是簡(jiǎn)單而直觀的。

1 OWA 算子

1.1 OWA 算子

定義1[8]R為實(shí)數(shù)集，Rn為n維歐幾里得空間，設(shè)函數(shù)f:Rn→R,若

(1)

OWA 算子不同于傳統(tǒng)的算子的一點(diǎn)是：OWA算子的系數(shù)并不直接與特定的屬性相關(guān)，而是與排序后的位置相關(guān)，可以有效消除一些不合理的情況。

令W=(w1,w2,…,wn)是與f相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量。為了評(píng)價(jià) OWA 算子的權(quán)重W，Yager[7]給出了orness測(cè)度的定義。

定義2[8]orness測(cè)度定義為

(2)

orness測(cè)度可以測(cè)量“或”運(yùn)算和“與”運(yùn)算的程度，也可被看作是決策者的樂觀程度。

1.2 模糊語義量化函數(shù)

在大多數(shù)多屬性決策問題中，屬性之間的關(guān)系不僅僅是“對(duì)于任意”(“與”算子)或者“總存在”(“或”算子)那么簡(jiǎn)單，經(jīng)常是介于這兩種極端情況之間，換句話說，可能希望“許多”“大多數(shù)”“至少一半”等的準(zhǔn)則被滿足。

Zadeh[5]提出將這些自然語言當(dāng)作是模糊子集來考慮。Q(r)為所考慮對(duì)象的r部分滿足Q概念的程度。假設(shè)Q是“大多數(shù)”，Q(0.8)=1表達(dá)的意思就是“大多數(shù)”傳達(dá)的意思和0.8是完全兼容的。

Zadeh[5]在1983年提出了一種模糊語言量化函數(shù)Q(quantifiers):

(3)

Yager[5,8]在此基礎(chǔ)上給出一種計(jì)算 OWA 算子權(quán)重W=(w1,w2,…,wn)的方法，具體為

(4)

在該模糊語義量化函數(shù)的基礎(chǔ)上 Herrera等[12]定義了三種模糊語義量化函數(shù)“大多數(shù)”(m-ost)， “至少一半”(at least half)，“盡可能多”(as many as possible)。

模糊語義量化函數(shù)“大多數(shù)”對(duì)應(yīng)的參數(shù)(a,b)為(0.3,0.8)，如圖1所示。

圖1 大多數(shù)Fig.1 Most

模糊語義量化函數(shù)“至少一半”對(duì)應(yīng)的參數(shù)(a,b)為(0,0.5)，如圖2所示。

圖2 至少一半Fig.2 At least a half

模糊語義量化函數(shù)“盡可能多”對(duì)應(yīng)的參數(shù)(a,b)為(0.5,1)，如圖3所示。

圖3 盡可能多Fig.3 As many as possible

2 基于模糊語義量化函數(shù)生成的OWA 算子

2.1 四段折線型模糊語義量化函數(shù)

在 Zadeh[5]的基礎(chǔ)上給出了一種更加廣泛的模糊語義量化函數(shù)的表達(dá)形式。

定義3四段折線型模糊語義量化函數(shù)：

(5)

式(5)中：r、r1、r2、r3、q∈[0,1]且r1≤r2≤r3，這種情況下的模糊語義量化函數(shù)為四段折線型模糊語義量化函數(shù)。

2.2 相關(guān)性質(zhì)

(6)

(7)

對(duì)于r2≤r

(8)

這樣就可以得到

(9)

顯然這樣四段折線型模糊語義量化函數(shù)就退化為Zadeh[5]所提出的模糊語義量化函數(shù)的形式。

性質(zhì)2(單調(diào)性)對(duì)于任意a,b∈[0,1]且a

性質(zhì) 3(非負(fù)有界性)對(duì)于任意i∈{1,2,…,n}，有wi∈[0,1]。

注意到，由Q(r)的單調(diào)性及 Yager[7]提出的模糊語義量化函數(shù)權(quán)重獲取方式

事實(shí)上，對(duì)于i∈{1,…,n}，有

Q(1)-Q(0)=1

(10)

證明：

(11)

(12)

相對(duì)應(yīng)的權(quán)重為W=W*=(1,0,…,0)，由該權(quán)重生成的 OWA 算子為最大值算子。

(13)

相對(duì)應(yīng)的權(quán)重為W=W*=(0,0,…,1)，由該權(quán)重生成的 OWA 算子為最小值算子。

3 實(shí)例計(jì)算

3.1 決策背景

在多屬性決策中，n個(gè)決策者ek(k∈{1,2,…,n})對(duì)于p個(gè)備選對(duì)象Ai(i∈{1,2,…,p})的q個(gè)屬性Cj(j∈{1,2,…,q})分別做出評(píng)估，可得下列數(shù)據(jù)。

以此類推。

由此，可由式(14)表示該問題：

j∈{1,…,q}}

(14)

3.2 決策實(shí)例

假設(shè)有4個(gè)公司，分別為汽車公司A1、食品公司A2、計(jì)算機(jī)公司A3和裝備公司A4，三位決策者在做決定的時(shí)候要考察各個(gè)公司的三個(gè)屬性特征，分別為風(fēng)險(xiǎn)分析C1、發(fā)展分析C2和環(huán)境影響分析C3[17]。De Miguel等[11]根據(jù)這個(gè)問題提出了一種使用n維模糊數(shù)的群體決策的算法，本文研究將繼續(xù)沿用此算法。

由決策人e1、e2、e3所提供的評(píng)估值為

第一步：根據(jù)已知信息得到元素為三維模糊數(shù)的矩陣D。

第二步：選擇序≤M。

為方便起見，繼續(xù)使用文獻(xiàn)[11]中的序。

M=(M1,M2,…,Mn)是由n個(gè)聚合函數(shù)組成的序列，其中，Mi:[0,1]n→[0,1]，有x,y∈On，On={x=(x1,x2,…,xn)∈[0,1]n|x1≤x2≤…≤xn}。

(1)x

(2)x≤My當(dāng)且僅當(dāng)x

在本例中選取序≤M[11]為

(15)

第三步：選擇權(quán)重W=(w1,w2,w3)。

圖4 Q(r)Fig.4 Q(r)

(16)

(2)由四段折線型模糊語義量化函數(shù)生成相應(yīng)的OWA算子：

(17)

(18)

第五步：根據(jù)序≤M給4個(gè)公司排序，A1≤MA3≤MA2≤MA4。

因此，選擇第四家公司，該公司在該權(quán)重下是最佳選擇。

對(duì)比文獻(xiàn)[11]中選取的權(quán)重W=(0.35,0.25,0.4)，其樂觀程度為orness(W)=0.475。例子所選用的權(quán)重向量的樂觀程度為orness(W)=0.420，由定義2可知在該情況下決策人更加樂觀，并且樂觀程度隨著四段折線型模糊語義量化函數(shù)的選擇而變化。由此四段折線型模糊語義函數(shù)生成的 OWA 算子更加靈活高效，針對(duì)復(fù)雜問題的解決可以更加精確。

4 結(jié)論

在通過 OWA 算子進(jìn)行決策時(shí)，如何確定OWA 算子相關(guān)聯(lián)的權(quán)重是十分重要的一步?；?Yager[5]提出的模糊語義量化函數(shù)提出了一種可以調(diào)節(jié)樂觀水平的 OWA 權(quán)重確定方法，并將其應(yīng)用到了屬性值為模糊數(shù)并且屬性權(quán)重以模糊語言形式給出的多屬性決策中。在 OWA 算子權(quán)重確定的傳統(tǒng)方法中，最大最小算子過于極端化；算術(shù)平均算子給予每個(gè)數(shù)據(jù)相同的權(quán)重，也不夠合理；而奧運(yùn)會(huì)算子則是去掉最大值與最小值其余取平均，忽視了極端點(diǎn)的作用。從模糊語義量化函數(shù)的角度出發(fā)，給出了一種新的 OWA 算子權(quán)重的確定方法，得到如下結(jié)論。

(1)本文方法基于模糊語義量化函數(shù)，可以將人們的口語化信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，使得更加直觀并且易于理解，并且該方法經(jīng)過實(shí)例論證有效且直觀。

(2)在以往的 OWA 算子賦權(quán)過程中容易丟失一些信息或者其確定過程是在固定樂觀程度下進(jìn)行的，本文方法是一種可以調(diào)節(jié)決策者樂觀程度的有效方法，使決策結(jié)果更加符合決策者的意愿，也為多屬性決策提供了一種新的思路。