張兆駒

(江蘇省連云港外國語學(xué)校 222006)

1 問題與思考

“學(xué)會思考”是學(xué)生“學(xué)好數(shù)學(xué)”的動力體系，是一種內(nèi)在的穩(wěn)定的認知心理品質(zhì)，是創(chuàng)新意識培養(yǎng)的“發(fā)動機”.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》明確指出，創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法.創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終.為此，教思考、教會思考、教學(xué)生學(xué)會思考成為課堂的“重頭戲”.

本文以中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)為思維運行載體，展現(xiàn)學(xué)生“學(xué)會思考”的路徑方法及其價值思想體系，在“有用組合思維”的參與下，落實學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考、學(xué)會成長、學(xué)好數(shù)學(xué)的課程教育目標.

2 方法與路徑

2.1 借助思維導(dǎo)圖，暢通思考途徑

思維導(dǎo)圖是概念“來龍去脈”的思考線索，是“學(xué)會思考”的思維支點.借助“思維導(dǎo)圖”(思維概念圖)，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實際需要的整體知識結(jié)構(gòu),讓知識有源頭也有方向.在教材的使用中，我們可以挖掘出適合孩子認知特點和認知基礎(chǔ)的知識和問題，引導(dǎo)他們在寬松的氛圍中感受學(xué)習(xí)的樂趣，才能有意識的培養(yǎng)孩子創(chuàng)新的動力和欲望.

例如，在備課組的一次集體研討中，關(guān)于中考四邊形復(fù)習(xí)的內(nèi)容，從邊、角、對角線等不同角度來闡述四邊形的發(fā)生、發(fā)展過程，由簡單到復(fù)雜，由一般到特殊，呈現(xiàn)知識的脈絡(luò)，清晰而生動(見圖1).

案例1 思維導(dǎo)圖

圖1

在課堂教學(xué)實施過程中，首先，讓各小組展示自己繪制的思維導(dǎo)圖，呈現(xiàn)該小組的繪圖思路；其次，通過討論再對本小組繪制的思維導(dǎo)圖進行修改完善，讓原來的思維導(dǎo)圖的質(zhì)量得到明顯提升，從而大大加深學(xué)生對思維導(dǎo)圖的理解和認識，也深化了對知識點的認識和理解；最后，教師對前面建構(gòu)思維導(dǎo)圖的過程進行點評，全班有幾個小組，就會有幾個思維導(dǎo)圖“作品”，各個思維導(dǎo)圖的形式、角度可能不一，教師要對其優(yōu)點進行充分肯定，對重難點問題進行有針對性的評價和建議，加深學(xué)生對重難點知識的理解，掃清思考問題的障礙.

課堂教學(xué)中，學(xué)生展示、修改的思維導(dǎo)圖始終圍繞定義、性質(zhì)、判定來建構(gòu)知識體系，進一步厘清了特殊四邊形“家族”中各成員的包含關(guān)系(譬如，矩形和菱形的公共部分是正方形等)，知道概念的來龍去脈(譬如，有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形)；讓學(xué)生從“對稱性”和“事實概念”的角度理解特殊四邊形的意義(譬如，對角線垂直的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形)，形成概念圖及其各要素的結(jié)構(gòu)關(guān)系.正是思維導(dǎo)圖，將學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)化，具有“手中握無限，剎那成永恒”的整體感，這就是學(xué)會思考、教好思考的表現(xiàn).

2.2 構(gòu)建基本模型，激發(fā)思考興趣

培養(yǎng)興趣，聚合思維，就要讓學(xué)生拓寬知識面，認識客觀事物，深入理解所學(xué)知識，理解事物的本質(zhì)屬性.要注意溝通知識間的本質(zhì)聯(lián)系，抓住知識間的連接點，這樣不但可以使學(xué)生逐步學(xué)會通過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性，而且還激活了學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)，運用遷移解決問題，順利完成認知建構(gòu).因此，教師要設(shè)計類似題型的練習(xí)，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，拉伸思維的寬度.

案例2 “K型相似”

圖2-1

圖2-2

圖2-3

復(fù)習(xí)相似知識點時，選取代表性的“K型相似”為出發(fā)點，設(shè)計以下三個小題：

(1)如圖2-1，有一直角三角板ABC的直角頂點C放置在水平面上的直線DE上，其中AC=5，BC=10，過A、B分別作DE的垂線，垂足為D、E，若AD=3，你能求出BE的長嗎？試試看.

(2)如圖2-2，過A、B分別作DE的垂線，垂足為D、E，若AD=3，BE=8，DE=10，你能在線段DE上找一點C，使△ADC與△CEB相似嗎？你能找?guī)讉€？

(3)如圖2-3，過A、B分別作DE的垂線，垂足為D、E，若AD=3，BE=t，DE=10，若只能在線段DE上找到一個點C，使△ADC與△CEB相似？你能求出t的范圍嗎？

課堂教學(xué)中，老師將一個直角三角板擺放在黑板上，過直角頂點任作一條直線(在直角三角形的一側(cè))，再通過兩個直角頂點作該直線的垂線，讓學(xué)生觀察其中有相似三角形嗎？引入過程在黑板上和學(xué)生一起操作(其他學(xué)生在紙上操作)，結(jié)論和學(xué)生一起探討，學(xué)生積極性很高.主要有兩個原因：一是學(xué)生動手操作熟悉的三角板，感覺非常親切；二是學(xué)生發(fā)現(xiàn)任意轉(zhuǎn)動中結(jié)論是不變的，感覺非常神奇有趣.

“學(xué)會思考”是以參與量為“拐點”的.學(xué)生會主動地參與其中，發(fā)揮自己的天性暢所欲言，進而發(fā)表自己的觀點，培養(yǎng)獨立思考的能力.通過該題的教學(xué)我們發(fā)現(xiàn)，從最初基本的相似模型出發(fā)，學(xué)生由基本的框架構(gòu)建到搭建橋梁，顯得非常自然，通過動點C的移動，創(chuàng)造了想象的空間，學(xué)生由基本的模型轉(zhuǎn)而上升到如何處理分類的情況，正反夾擊，直擊本質(zhì)，拉伸了學(xué)生思維的寬度，也較好地引導(dǎo)了學(xué)生分析和處理問題的更一般的方法，這就是會思考的具體表現(xiàn).

2.3 實施求異思維，引導(dǎo)換位思考

求異思維本身就是一種換位思考，而高效課堂的換位思考往往落地于“一題多問”.教學(xué)中，要在掌握常規(guī)的基礎(chǔ)上鼓勵學(xué)生突破常規(guī)，敢于設(shè)想創(chuàng)新，敢于標新立異.例如，通過“一題多解”、“一題多問”的訓(xùn)練，鼓勵學(xué)生從不同角度去思考和判斷問題，提出新設(shè)想，探索新路子，以利于學(xué)生求異思維的發(fā)展，拓展創(chuàng)新思維的廣度.

案例3 旋轉(zhuǎn)運動

圖3-1

圖3-2

圖3-3

四邊形復(fù)習(xí)時，在考慮學(xué)生的不同層次和水平時，我們設(shè)計了一個關(guān)于正方形運動的題目：

如圖3-1，當(dāng)正方形ABCD與正方形CEFG有公共頂點C，并且點B、C、E在一條直線上，點G在CD邊上，請你連結(jié)出兩條線段(正方形相等的對角線除外)，使得它們相等.

你連結(jié)出的線段除了相等，還有什么特殊的關(guān)系嗎？

如圖3-2，如果繞點C轉(zhuǎn)動其中一個正方形，上述結(jié)論還成立嗎？

如圖3-3，如果兩正方形的邊長分別為2和1，連結(jié)DG、BE，它們之間有什么關(guān)系呢？(在實踐中，我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生自己能較好地呈現(xiàn)這個問題)

本題三個小問由易到難，主要考察正方形的相關(guān)性質(zhì)以及線段之間的關(guān)系探討，也具有一定的開放性，發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解發(fā)揮想象，再加以說理，這才是教好思考應(yīng)有的行為.

當(dāng)然，在不同的班級或是同一個班級不同的學(xué)生之間還是有差異的，選擇適合學(xué)生的內(nèi)容和方法才是最容易讓學(xué)生接受的，也是學(xué)好思考的前提.其實，課堂上創(chuàng)新、或是有一些新的想法或見解的不一定是課堂上學(xué)習(xí)最優(yōu)秀的學(xué)生，他們都有看待問題的不同角度，也就自然產(chǎn)生出一些與眾不同的奇思妙想.

另外，通過該題的教學(xué)我們發(fā)現(xiàn)，正方形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)出了知識的聯(lián)系，也轉(zhuǎn)出了問題的本質(zhì).首先由開放性問題入手，找出兩條相等的線段，根據(jù)不同學(xué)生的特點會提出不同的觀點和答案，再選出具有較高研究價值的答案進行研究，讓學(xué)生的思維能隨著問題的深入發(fā)展逐步打開，并向問題的本質(zhì)靠近，不變的是什么？為什么不變？這樣有利于學(xué)生思維發(fā)散后的回歸.最后一問的設(shè)計，學(xué)生會根據(jù)已有經(jīng)驗嘗試去尋找不同的關(guān)系，但是需要學(xué)生借助正方形的特點去尋找，讓學(xué)生的探究欲望進一步增強，創(chuàng)新的思維需要進一步打開，在運動中再次尋找到線段的不變關(guān)系.這樣的設(shè)計較好地拓展了學(xué)生的創(chuàng)新廣度，有利于學(xué)生學(xué)會思考.

2.4 注重逆向補償，引發(fā)深度思考

逆向補償是學(xué)生“知其然、知其所以然、知其所不然”的必經(jīng)途徑，是深度思考、高階投入的認知“砝碼”.深入挖掘教材內(nèi)涵和開發(fā)課程資源，不斷大膽嘗試，實踐探索，積累經(jīng)驗和方法，分析問題時要有橫縱聯(lián)系，充分利用條件和結(jié)論的關(guān)系，打通最直接的聯(lián)系，也許這個聯(lián)系就隔著一層紙，而我們要捅破它就需要有目的地去找到問題的關(guān)鍵所在，從而獲得解決問題的最佳途徑，也增加了創(chuàng)新的厚度.

案例4 規(guī)律探索

為了考察正方形和一次函數(shù)的結(jié)合，我們選擇了一個探究的填空題:

圖4-1

圖4-2

如圖4-1，在平面直角坐標系xOy中，記直線y=x+1為l.點A1是直線l與y軸的交點，以A1O為邊作正方形A1OC1B1，使點C1落在x軸正半軸上，作射線C1B1交直線l于點A2，以A2C1為邊作正方形A2C1C2B2，使點C2落在x軸正半軸上，依次作下去，得到如圖所示的圖形，則點B4的坐標是，點Bn的坐標是.

課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很容易算出B4的坐標，但是求Bn的坐標時出現(xiàn)了麻煩，縱坐標能根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)為2n-1，但是橫坐標不知道怎么求(主要是因為找不到規(guī)律).其實，如果借助An+1與Bn的橫坐標相同，借助An+1在直線y=x+1上且縱坐標為2n，就可以求出An+1的橫坐標為2n-1(如圖4-2)，所以Bn的橫坐標也為2n-1.

“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”.“度”和“悟”是繞不開思考的.“數(shù)學(xué)是講究方法的”，這種方法不僅僅指的是解題方法，還有思維方法，也就是為什么這樣做，為什么這樣想成功率會高一些，是什么條件引導(dǎo)我們這樣想，會不會有一些其它發(fā)現(xiàn)或是推導(dǎo)出新的結(jié)論等等，所以在備課的時候要把問題備透、備足，方能適時引導(dǎo)學(xué)生思維向縱深發(fā)展，學(xué)生才有探究的欲望和能力，才有創(chuàng)新的火花產(chǎn)生，才有機會開花結(jié)果.本例中引導(dǎo)學(xué)生借助An+1與Bn的橫坐標相同，解決了問題，當(dāng)學(xué)生獲得了解決問題的通道時，更多的是一種經(jīng)驗的積累.經(jīng)過這樣長期訓(xùn)練培養(yǎng)，他們的探究和逆向性思維就會有較好的發(fā)展.

2.5 提倡發(fā)散留白，弘揚糾錯質(zhì)疑

發(fā)散留白意味著給學(xué)生足夠的彈性思維時空，讓學(xué)生在發(fā)散思維的參與下，用好“留白”思維，實現(xiàn)“以一當(dāng)十”的目標.當(dāng)然，糾錯質(zhì)疑本身就是一種大尺度的發(fā)散與留白，是學(xué)生獲得真知灼見和學(xué)會思考的可靠抓手.教師在課堂教學(xué)中要注重鼓勵學(xué)生奇思異想，并且敢于質(zhì)疑，敢于提出與自己不同的想法，這也是創(chuàng)新的基本要素.每一名學(xué)生都是富有個性，極具潛力的思維主體，課堂教學(xué)無疑給學(xué)生提供了一個思維空間，可以誘發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程、方法和結(jié)果進行大膽的發(fā)問、猜想、探索和反思，教師要努力培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的習(xí)慣，把握好時機，鼓勵學(xué)生自己釋疑，發(fā)展問題意識，培養(yǎng)探究精神，尋求解決問題的策略，促進學(xué)生思維的充分發(fā)展，從而能多維度提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

案例5 本質(zhì)探究

圖5

如圖5中，已知拋物線y=x2-2x-3交y軸于點C，作CA∥x軸交拋物線于點A，P、R是拋物線上的動點，滿足CA平分∠PCR，作OQ∥PR交拋物線于點Q，求Q點坐標.

教學(xué)片段：

師：P、R是拋物線上的動點，說明什么？

生： 說明任意位置都行啊.

師：要求Q點坐標，說明什么？

生：說明PR傾斜的程度(斜率)是不變的，才能求出固定的點Q.

生：哦，我知道了，說明無論P、R移到什么位置，PR傾斜的程度是固定的，只要求出PR這條線的k就可以了.

師：對，根據(jù)平分、相似、三角函數(shù)等知識就可以解決了.

這里需要指出的是，課堂教學(xué)中對于學(xué)生的引導(dǎo)和矯正要選擇合適的時機，當(dāng)學(xué)生遇到較難的問題時，不妨在已分析出的結(jié)論中反復(fù)推敲(留白與質(zhì)疑)，從中發(fā)現(xiàn)有價值的線索，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考.該題在尋找PR傾斜的程度時，需要學(xué)生仔細推敲，甚至在糾錯過程中去體會PR傾斜程度是不變的，才能找到k，找到問題的解決辦法.在引導(dǎo)過程中，學(xué)生的思維活躍程度還是非常高的，積極尋找問題的突破口，從多角度來尋找問題的答案，也較好地開辟了創(chuàng)新的維度.

3 結(jié)果與討論

(1)創(chuàng)新中考復(fù)習(xí)，在于教思考.教思考就是要用好留白的方法，讓學(xué)生“跳一跳，夠得到”.教思考就是讓學(xué)生在質(zhì)疑中，堅持真理、修正錯誤，建立嚴謹求實的數(shù)學(xué)態(tài)度.教思考就是讓學(xué)生在思維活動中培養(yǎng)興趣思維，產(chǎn)生一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“好胃口”.

(2)創(chuàng)新中考復(fù)習(xí)，在于學(xué)思考.學(xué)思考就是讓問題可逆，讓學(xué)生在山重水復(fù)的思考中知其然、知其所以然和知其所不然.學(xué)思考就是讓學(xué)生在思維補償中補償思維，獲得柳暗花明的思維驚喜.

(3)創(chuàng)新中考復(fù)習(xí)，在于教學(xué)生學(xué)會思考.教學(xué)生學(xué)會思考，就是教好換位思考，讓學(xué)生建立一種從不同角度分析問題、不同層次理解問題的能力.教學(xué)生學(xué)會思考就是關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)力，讓學(xué)生學(xué)有所能，讓學(xué)生學(xué)有所獲，讓不同人獲得不同的數(shù)學(xué)發(fā)展.