蔣鑫源 郜舒竹

【摘 ? 要】數(shù)與量及其關(guān)系是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)。對(duì)其意義的理解存在諸多模糊認(rèn)識(shí)。早在十幾世紀(jì)之時(shí)，許多數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家便對(duì)數(shù)、量等概念做了諸多論述。通過(guò)文獻(xiàn)梳理可以發(fā)現(xiàn)，量是描述事物多少的概念，而數(shù)是對(duì)量的度量結(jié)果加以描述時(shí)所形成的一種主觀生成，“度量”一詞是基于單位與被度量的量之間比的存在，數(shù)與量之間的關(guān)系是一種因果關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】量;強(qiáng)度量;廣延量;數(shù);度量;單位;比

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中提出“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟”。應(yīng)當(dāng)如何理解其中的“數(shù)”與“量”及其關(guān)系？通常會(huì)把數(shù)理解為“數(shù)字”，比如1、2這樣的符號(hào);把量理解為“數(shù)字+單位”，比如1米、10千克等。諸如此類的認(rèn)識(shí)并未觸及數(shù)與量的本質(zhì)特征，因此需要對(duì)數(shù)與量及其關(guān)系的意義予以辨別與分析。

一、質(zhì)與量

古希臘時(shí)期的亞里士多德在《形而上學(xué)》中對(duì)質(zhì)（quality）與量（quantity）都有所論述，他提及“量是可以分割為兩個(gè)或多組成部分的東西，而質(zhì)的首要含義是本質(zhì)的區(qū)別”。亞里士多德所說(shuō)的質(zhì)與量是兩個(gè)不同的范疇，質(zhì)是回答什么樣的事物（what sort of thing）的問(wèn)題，而量則是回答事物的大小、多少（How large）的問(wèn)題。[1]從以上觀點(diǎn)來(lái)看，可以將質(zhì)定義為事物的一種屬性，這種屬性決定了事物能夠成為自身并且區(qū)別于其他事物。而量的最大特征是具有可加性的，意味著一個(gè)整體的量也可以通過(guò)部分來(lái)表述。

質(zhì)與量的區(qū)別之一在于量的變化是大小的變化，而質(zhì)的變化是程度的變化。就像長(zhǎng)度作為一個(gè)量，就可以通過(guò)“一個(gè)長(zhǎng)度比另一個(gè)長(zhǎng)度更長(zhǎng)”去描述長(zhǎng)度的大小變化。但是，顏色作為一個(gè)質(zhì)，卻不可以通過(guò)“一個(gè)顏色比另一個(gè)顏色更長(zhǎng)或更短”去描述顏色的程度變化。除此之外，質(zhì)與量的區(qū)別還體現(xiàn)在是否具備可加性。以長(zhǎng)度量為例，可以將3米長(zhǎng)的繩子與5米長(zhǎng)的繩子相加得到8米長(zhǎng)的繩子，在現(xiàn)實(shí)世界中也可以進(jìn)行實(shí)際操作來(lái)實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證。但是對(duì)于顏色這個(gè)質(zhì)來(lái)說(shuō)，將不同程度的顏色相加是無(wú)法得到以上結(jié)果的。

小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中包含著諸多的量，比如長(zhǎng)度、面積、時(shí)間、速度、溫度、濃度等等。如若從可加性的視角將這些量進(jìn)行分類，便可發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度、面積和時(shí)間等是可以表述為“整體=部分+部分”的，而速度、溫度、濃度等量則不可以。因?yàn)閷⒁槐?0攝氏度的水與一杯40攝氏度的水混合，并不能得到一杯70攝氏度的水。這個(gè)特征似乎與質(zhì)與量的區(qū)別有所聯(lián)系。

對(duì)此，早在18世紀(jì)之時(shí)，德國(guó)古典哲學(xué)創(chuàng)始人伊曼努爾·康德（Immanuel Kant，1724—1804）便通過(guò)廣延量（extensive quantity）與強(qiáng)度量（intensive quantity）來(lái)區(qū)分這樣的兩類量。19～20世紀(jì)，英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家、文學(xué)家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）在他的著作《論數(shù)與量的關(guān)系》中談及強(qiáng)度量與廣延量，認(rèn)為廣延量是可以表述為“整體=部分+部分”的，這與剛剛提到的長(zhǎng)度、面積和時(shí)間等量具有相同的性質(zhì)。其中作為整體的部分是可以被無(wú)限分割的，也意味著整體是具備“可分性（Divisible）”的，最重要的是，整體與部分之間必須是同類量。同類量是指如若整體是長(zhǎng)度量，則部分也必須是長(zhǎng)度量，不可以為面積、體積等量。在羅素眼中，強(qiáng)度量不同于廣延量，它是一種內(nèi)在的性質(zhì)，且整體與部分之間是相同的。對(duì)于強(qiáng)度量的量變必須是通過(guò)直覺的直接比較來(lái)判斷。例如溫度，當(dāng)溫度發(fā)生量變時(shí)，人體可以直接感受到天氣的冷熱變化。[2]

基于以上內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的長(zhǎng)度、面積、體積、時(shí)間等量具有廣延量的性質(zhì)，廣延量更加傾向于亞里士多德所說(shuō)的量的范疇。而像速度、溫度、濃度等量則符合強(qiáng)度量的性質(zhì)，強(qiáng)度量更加傾向于亞里士多德所說(shuō)的質(zhì)的范疇。因此，量真正的意義并非“數(shù)+單位”，而是有關(guān)事物多少或大小的概念。

二、數(shù)與量

17～18世紀(jì)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，也是微積分創(chuàng)始人之一的戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716），認(rèn)為量體現(xiàn)了某種類型的測(cè)量的可能性，數(shù)則是在選定特定的單位后，從測(cè)量中得出的結(jié)果。測(cè)量就是用單位與被測(cè)物之間進(jìn)行比較，并且單位與被測(cè)物必須為同類量。[3]這就說(shuō)明數(shù)的產(chǎn)生是源于人對(duì)量進(jìn)行度量（measurement），最終通過(guò)數(shù)對(duì)度量結(jié)果加以描述。

度量活動(dòng)是與“比（ratio）”密切相關(guān)的，度量實(shí)際上就是比較，比是心智中生成的想法。[4]人通過(guò)身體可以感知到兩個(gè)量之間有所差異，比如人可以感受到兩張桌子不一樣高。但是，這種通過(guò)身體的感覺并不能精準(zhǔn)地描述兩張桌子在高度方面究竟相差多少，那么此時(shí)就可以通過(guò)度量的方式來(lái)探索這種感知到的差異。歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年）在《原本》中談及“比”的概念，將其定義為：比是兩個(gè)同類量之間關(guān)于大小的一種關(guān)系[5]。也就是說(shuō)比的存在至少有兩個(gè)量，且它們必須是同類量。

因此，在對(duì)量進(jìn)行度量時(shí)所選取的單位也必須具備與該量共為同類量的特征。從度量的過(guò)程來(lái)看，量是先于數(shù)的實(shí)體，而比作為人的心智中的生成也是先于數(shù)的存在的，數(shù)是對(duì)量的度量結(jié)果的描述，是處理量的工具。除了比的關(guān)系外，還需要注意的一點(diǎn)就是，數(shù)是針對(duì)單位來(lái)說(shuō)的。因?yàn)閿?shù)描述的是單位與被度量的量之間比的大小關(guān)系，如果沒(méi)有單位，那么數(shù)就失去了它的意義。

北師大版教材在編排“長(zhǎng)方形面積”這一內(nèi)容時(shí)，給出“通過(guò)利用1平方厘米小正方形的擺放去測(cè)量長(zhǎng)方形的面積”的提示?！懊娣e”作為量是度量的基礎(chǔ)，起初學(xué)生可以察覺到小正方形與長(zhǎng)方形之間在面積量上存在差異，也就是存在著比，但僅憑感覺，是無(wú)法說(shuō)清楚二者比的大小的。而后，學(xué)生可以借助小正方形作為單位去不斷與長(zhǎng)方形進(jìn)行比較，也就是進(jìn)行度量，最后通過(guò)數(shù)字“6”去表示二者之間在面積量上比的大小關(guān)系，以此測(cè)量出長(zhǎng)方形面積為6平方厘米。此時(shí)作為數(shù)字（numeral）的“6”是有意義的，它承擔(dān)著數(shù)的職責(zé)，意味著長(zhǎng)方形的面積包含6個(gè)小正方形的面積。但如若將6單獨(dú)抽離來(lái)看，它不具備任何意義，僅是一個(gè)數(shù)字符號(hào)。因?yàn)?代表著6個(gè)1，而1又意味著什么呢？所以，數(shù)是針對(duì)單位來(lái)說(shuō)的，如果沒(méi)有單位，那么數(shù)字也只不過(guò)是符號(hào)而已。

早在古希臘時(shí)期，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與研究是基于幾何量（magnitude）的。亞里士多德認(rèn)為，幾何量在一維上是長(zhǎng)，二維上是寬，三維上是高，而長(zhǎng)、寬、高分別對(duì)應(yīng)了線、面、體，所以如今數(shù)學(xué)教科書中的長(zhǎng)度、面積、體積都是幾何量的度量對(duì)象。由于研究對(duì)象的不同，希臘人在描述幾何量的度量結(jié)果時(shí)并不使用代數(shù)符號(hào)，而是使用圖形（figure），他們甚至通過(guò)圖形進(jìn)行推理。圖形相比代數(shù)符號(hào)具有仿真性，可以通過(guò)類比，再現(xiàn)各種真實(shí)的身體特征。[6]因此對(duì)于希臘人而言，圖形或語(yǔ)言文字就是一種數(shù)。所以，應(yīng)當(dāng)把數(shù)看作是對(duì)量的度量結(jié)果的描述，是人的一種主觀生成。數(shù)的表征形式是多種多樣的，可以是數(shù)字符號(hào)，也可以是圖形或語(yǔ)言文字。

三、度量

如果把量理解為“數(shù)+單位”，是把數(shù)看作因，量看作果，這種觀點(diǎn)可謂是因果錯(cuò)位，其關(guān)系應(yīng)當(dāng)為量是因，數(shù)是果?！墩n標(biāo)》第17頁(yè)中對(duì)于“常見的量”這部分課程內(nèi)容的描述包括以下三點(diǎn)：在現(xiàn)實(shí)情境中，認(rèn)識(shí)元、角、分，并了解它們之間的關(guān)系;認(rèn)識(shí)年、月、日，了解它們之間的關(guān)系;在現(xiàn)實(shí)情境中，感受并認(rèn)識(shí)克、千克、噸，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算[7]。

基于此，教師對(duì)于“常見的量”這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)傾向于單位換算，意味著學(xué)生對(duì)量的認(rèn)識(shí)是偏向于單位的，而并非對(duì)量本身的認(rèn)識(shí)，這也造成學(xué)生將克、千克等單位看作是量。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)有著本末倒置的意味。因?yàn)榱渴嵌攘康膶?duì)象，是客觀存在的，它不同于具有主觀性的數(shù)和單位。對(duì)量的教學(xué)應(yīng)該集中于度量的內(nèi)涵、度量的對(duì)象、度量的單位和度量結(jié)果的表達(dá)。[8]

度量的內(nèi)涵是什么呢？歐幾里得《原本》中公理4描述道：彼此重合的兩個(gè)物體是全等的，剩余部分可以再一次重疊，依此繼續(xù)，總可以比較出兩個(gè)物體誰(shuí)大誰(shuí)小。[9]度量的過(guò)程就是不斷比較大小的過(guò)程。度量的對(duì)象應(yīng)該是量而不是單位，更不應(yīng)該是單位與單位之間的進(jìn)率。針對(duì)《課標(biāo)》第17頁(yè)內(nèi)容，其所指的度量的對(duì)象實(shí)際為人民幣、時(shí)間、質(zhì)量。但人民幣與時(shí)間、質(zhì)量不同，人民幣的存在起源于人對(duì)于商品價(jià)值的度量。人類最原始的交易是以物換物，是以某種商品的價(jià)值與另一種商品的價(jià)值進(jìn)行比較。

度量的單位是指用什么與被度量的量之間進(jìn)行比較，度量單位的確定具有主觀的多樣性。以長(zhǎng)方形面積為例，可以采用面積為1的小正方形作為單位，但同時(shí)也可以采用小三角形，因?yàn)槎攘繂挝坏倪x擇是主觀的，只要和被度量的量是同類量即可。而對(duì)于度量結(jié)果的表達(dá)，也是具有主觀差異性的。比如，可以使用數(shù)字來(lái)表達(dá)，也可以用圖形或文字來(lái)表達(dá)，但無(wú)論采用何種方式，都可以將結(jié)果用數(shù)表達(dá)。應(yīng)當(dāng)說(shuō)，度量是認(rèn)識(shí)量的基本活動(dòng)，活動(dòng)過(guò)程中將量與數(shù)建立起聯(lián)系。

四、數(shù)與量的意義差

為了理解數(shù)與量，應(yīng)該首先區(qū)分“質(zhì)與量”。即便亞里士多德將質(zhì)與量劃分為兩個(gè)不同的范疇，但并不代表二者是割裂的，反而存在著密切聯(lián)系。中世紀(jì)時(shí)期，人們興起了對(duì)質(zhì)進(jìn)行量化的思潮，試圖將質(zhì)的程度變化通過(guò)大小來(lái)表示，從而實(shí)現(xiàn)將所有的差異都?xì)w結(jié)為量的差異。[10]

強(qiáng)度量的存在完美地體現(xiàn)了質(zhì)與量的區(qū)別與聯(lián)系，它不像廣延量那般具備可加性，但它與廣延量一樣，需要通過(guò)感覺來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)其的認(rèn)知。此外，強(qiáng)度量并不是絕對(duì)的量，但它可以在兩個(gè)廣延量之間建立關(guān)系。比如速度，起初人對(duì)速度的認(rèn)識(shí)是基于質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是對(duì)運(yùn)動(dòng)快慢的一種感覺。將速度看作是一種量，是路程與時(shí)間兩個(gè)廣延量之間的比。針對(duì)數(shù)與量意義的差異，可以通過(guò)表1進(jìn)行對(duì)比。

數(shù)與量之間除了具有上述區(qū)別外，還具有因果關(guān)系。量作為關(guān)系中的因，具有客觀存在性，并能夠被人所感知。因此，人們能夠辨認(rèn)出兩個(gè)同類量之間存在比，并經(jīng)過(guò)度量來(lái)描述兩個(gè)量之間比的大小關(guān)系，從而形成數(shù)。對(duì)于數(shù)與量之間的因果關(guān)系，可以通過(guò)圖1來(lái)加以理解。

《課標(biāo)》前言中將數(shù)學(xué)定位于“研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，這就意味著數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一應(yīng)當(dāng)是如何研究“數(shù)量關(guān)系”，因此深入理解數(shù)與量及其關(guān)系，就成為提高數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的前提。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ? 100048）