吳連大 張明江

(1 中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)南京 210023)

(2 中國(guó)科學(xué)院空間目標(biāo)與碎片觀測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京 210023)

1 Hansen系數(shù)的基本遞推關(guān)系

基本遞推關(guān)系式(R1)和(R3)式,可以用來(lái)進(jìn)行偏心率函數(shù)Gl,p,q=的遞推.將基本遞推關(guān)系式(R1)和(R3)式中的Hansen系數(shù)換成偏心率函數(shù),相應(yīng)的偏心率函數(shù)Gl,p,q的遞推公式即為[1]:

其中,l、p和q是偏心率函數(shù)Gl,p,q的3個(gè)指標(biāo),e是軌道偏心率.

2 遞推公式的特點(diǎn)

3 直接計(jì)算方法和遞推方法的計(jì)算效率比較

眾所周知,使用遞推方法的目的是為了提高計(jì)算效率.下文,我們舉例比較Hansen系數(shù)直接計(jì)算方法和利用k等于常數(shù)的遞推方法的計(jì)算效率.

假定需要考慮的地球引力場(chǎng)攝動(dòng)函數(shù)的最高階為100,偏心率函數(shù)Gl,p,q的指標(biāo)q的求和范圍為[?10,10],那么需要計(jì)算的偏心率函數(shù)Gl,p,q的總數(shù)為:5148×21=108108.考慮到Hansen系數(shù)的對(duì)稱性,實(shí)際只需要計(jì)算54079個(gè)即可,這就是偏心率函數(shù)Gl,p,q的直接計(jì)算方法所需要的計(jì)算量.

然而,采用偏心率函數(shù)Gl,p,q=的k=l?2p+q等于常數(shù)的遞推方法,通過(guò)遞推關(guān)系式(R1)、(R3)和(R6)的向前遞推計(jì)算,通過(guò)遞推關(guān)系式(R1)的向后遞推計(jì)算,均需要兩行初值[3],相應(yīng)地,偏心率函數(shù)Gl,p,q向前遞推、向后遞推的計(jì)算量分別為:

如果假定遞推計(jì)算時(shí)間與直接計(jì)算時(shí)間之比Tr/Td=0.01,則由(3)式可得,偏心率函數(shù)Gl,p,q向前遞推的計(jì)算量≈120769,向后遞推的計(jì)算量≈142088,這時(shí)偏心率函數(shù)Gl,p,q的遞推計(jì)算顯然是不合算的.即使遞推計(jì)算時(shí)間與直接計(jì)算時(shí)間之比Tr/Td=0.003,由(3)式可得,偏心率函數(shù)Gl,p,q向前遞推的計(jì)算量≈36775,向后遞推的計(jì)算量≈58244,這時(shí)偏心率函數(shù)Gl,p,q的遞推計(jì)算,只有向前遞推是合算的,其計(jì)算效率比直接計(jì)算方法高.此外,由(3)式還不難看出,即使遞推時(shí)間Tr=0,偏心率函數(shù)Gl,p,q向后遞推的計(jì)算量,約是直接計(jì)算方法的計(jì)算量的41.26%,相應(yīng)的計(jì)算效率僅提高約1.42倍.因此,有必要進(jìn)一步研究效率更高的偏心率函數(shù)Gl,p,q的遞推方法.

4 一種效率較高的偏心率函數(shù)的遞推方法—成批遞推

本節(jié)探討效率較高的偏心率函數(shù)Gl,p,q的遞推方法,即成批遞推方法.成批遞推方法的核心,仍然是基本遞推關(guān)系(R1)式向后遞推、(R1)和(R3)式向前遞推(參見文獻(xiàn)[3]),只是改用(1)式和(2)式作為遞推計(jì)算公式.

我們先分析利用遞推公式(1)式的向后遞推方法,相應(yīng)的遞推初值為:

其中,Q為指標(biāo)q的最大值.在遞推時(shí),指標(biāo)p的取值為1,2,···,l?1(未考慮偏心率函數(shù)的對(duì)稱性),即可計(jì)算出:

對(duì)指標(biāo)l進(jìn)行循環(huán),即l取值從L到4(L為指標(biāo)l的最大值),就可將所有需要的偏心率函數(shù)Gl,p,q都遞推計(jì)算出來(lái).當(dāng)然,也可以一次一次地遞推,每遞推一次,就可計(jì)算出一個(gè)l的攝動(dòng),這樣可以節(jié)省數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)量.但是,這種遞推是不完整的,有兩個(gè)問(wèn)題需要注意:(1)當(dāng)l?2p+q=0時(shí),需要利用指標(biāo)k=0的Hansen系數(shù),即的遞推方法計(jì)算;(2) 當(dāng)q=±Q時(shí),遞推公式(1)式中(Gl?1,p?1,q?1?Gl?1,p,q+1)會(huì)出現(xiàn)沒有初值的問(wèn)題,需要利用Hansen系數(shù)的直接計(jì)算方法計(jì)算.

不難看出,上述這種遞推方法中,有3個(gè)q值的偏心率函數(shù)Gl,p,q,需要“另外計(jì)算”.也就是說(shuō),當(dāng)Q=10時(shí),21個(gè)q值中,有3個(gè)不能遞推,但還有18個(gè)q值的偏心率函數(shù)Gl,p,q是可以遞推的.利用偏心率函數(shù)的對(duì)稱性[1]:Gl,p,q=Gl,l?p,?q,偏心率函數(shù)Gl,p,q的計(jì)算量又可以減少一半,計(jì)算效率要比逐個(gè)指標(biāo)k等于常數(shù)的遞推方法高得多.然而,值得指出的是,利用遞推公式(1)式向后遞推的成批遞推方法還存在顯著缺點(diǎn):一方面,需要提供高階偏心率函數(shù)的初值,當(dāng)偏心率較大時(shí)可能初值誤差較大;另一方面,從數(shù)量級(jí)大的偏心率函數(shù)向數(shù)量級(jí)小的偏心率函數(shù)遞推,容易損失有效位數(shù).

為了克服上述這些顯著缺點(diǎn),我們可以利用遞推公式(2)式的向前遞推方法.為了得到所有的指標(biāo)p和q的偏心率函數(shù)Gl,p,q,指標(biāo)p必須為0,1,···,l,這時(shí)就可能出現(xiàn)p超標(biāo)的情況.此外,與上述利用遞推公式(1)式的向后遞推方法一樣,還存在q超標(biāo)的情況,可能超標(biāo)的情況如表1所示.由表1可知,利用遞推公式(2)式的向前遞推方法,p=0、p=1、p=l?1、p=l、q=?Q、q=?Q+1、q=Q?1和q=Q的偏心率函數(shù)Gl,p,q必須直接計(jì)算,無(wú)法遞推.根據(jù)偏心率函數(shù)的對(duì)稱性,p=l?1和p=l的超標(biāo)情況可以規(guī)避掉.利用遞推公式(2)式的偏心率函數(shù)Gl,p,q向前遞推計(jì)算沒有奇點(diǎn)也沒有e分母,其計(jì)算量相對(duì)利用遞推公式(1)式的向后遞推方法更大;通過(guò)偏心率函數(shù)的對(duì)稱性,計(jì)算量可以減少一半,計(jì)算量還是可以接受的.

表1 利用遞推公式(2)式的向前遞推方法,偏心率函數(shù)Gl,p,q成批遞推計(jì)算中可能超標(biāo)的情況Table 1 The cases that the indexes p and q exceed the limit in the batch recursion of eccentricity functions Gl,p,q using Eq.(2) to perform the forward recursion

如果在l?20時(shí),使用遞推公式(1)式向前遞推,類似地(1)式中的相關(guān)項(xiàng)在p=0、p=l和q=±Q情況下超標(biāo).而使用遞推公式(2)式只向前遞推計(jì)算l?2p=0的情況(亦即p=l/2 的情況),(2)式中的相關(guān)項(xiàng)僅在q=±(Q?1)和q=±Q情況下超標(biāo).這樣,能夠克服利用遞推公式(1)式向后遞推的顯著缺點(diǎn),降低利用遞推公式(2)式向前遞推的計(jì)算量.相應(yīng)地對(duì)于上文第3節(jié)中同樣的計(jì)算要求,即假定需要考慮的地球引力場(chǎng)攝動(dòng)函數(shù)的最高階為100,偏心率函數(shù)Gl,p,q的指標(biāo)q的求和范圍為[?10,10],利用遞推公式(1)式和(2)式的向前遞推方法,同時(shí)借助偏心率函數(shù)的對(duì)稱性,偏心率函數(shù)Gl,p,q的成批遞推的計(jì)算量為:

綜上,基于遞推公式(1)式和(2)式[1]的向前遞推方法,我們就給出了一種效率較高的偏心率函數(shù)的成批遞推方法,這時(shí)相應(yīng)的遞推公式即為:

這種成批遞推方法的最大好處是:它需要的初值少,從量級(jí)小的偏心率函數(shù)到量級(jí)大的偏心率函數(shù)遞推,能夠保證遞推計(jì)算的精度.

5 結(jié)論

本文簡(jiǎn)單分析了Hansen系數(shù)遞推公式的特點(diǎn),舉例比較了Hansen系數(shù)的直接計(jì)算方法和k等于常數(shù)的遞推方法的計(jì)算效率,指出有必要研究效率較高的遞推計(jì)算方法.進(jìn)而,基于遞推公式(1)式和(2)式的向前遞推方法,我們給出了一種效率較高的偏心率函數(shù)Gl,p,q的成批遞推方法.該成批遞推方法不僅需要的初值少,而且從量級(jí)小的偏心率函數(shù)到量級(jí)大的偏心率函數(shù)遞推,能夠保證遞推計(jì)算的精度;其計(jì)算效率明顯優(yōu)于直接計(jì)算方法,比相應(yīng)的k等于常數(shù)的遞推方法高得多.

附錄

Hansen系數(shù)的基本遞推關(guān)系式(R1)–(R4)式[1–3]:

其中,n、m和k是Hansen系數(shù)的3個(gè)指標(biāo),e為軌道偏心率.