吳鳳和 張 寧 李元祥 張會龍 郭保蘇

1.燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，秦皇島，0660042.河北省重型智能制造裝備技術(shù)創(chuàng)新中心，秦皇島，066004

0 引言

信息物理融合、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)等先進(jìn)技術(shù)的部署和實施均需以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，而在機械加工領(lǐng)域，切削力是最為穩(wěn)定和可靠的關(guān)鍵信號之一，可為刀具磨損狀態(tài)監(jiān)測[1]、顫振監(jiān)測與抑制[2]、加工表面質(zhì)量控制[3]等提供重要信息。板式測力儀是目前最常用的測力設(shè)備，但它存在限制工件尺寸、易受切削液腐蝕的問題。為克服上述缺陷，有學(xué)者考慮將力感知元件和信號采集傳輸裝置與機床刀具或刀柄高度集成，形成旋轉(zhuǎn)式測力系統(tǒng)[4-5]，隨同加工過程進(jìn)行切削力測量，但刀具切削時高速旋轉(zhuǎn)，難以采用有線方式傳輸信號，通常利用無線通信協(xié)議將信號傳輸至上位機端進(jìn)行處理及可視化。旋轉(zhuǎn)式測力系統(tǒng)長期在高速、高頻條件下運行，且集成硬件性能有限，依據(jù)Nyquist-Shannon采樣定理限定的頻率采集數(shù)據(jù)可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)冗余問題，甚至受信號傳輸單元帶寬限制，發(fā)生數(shù)據(jù)堵塞現(xiàn)象。

近些年提出的壓縮感知理論(compressed sensing，CS)[6-7]可以較好地解決上述問題。充分開發(fā)信號稀疏特征，將信號壓縮與感知過程進(jìn)行融合，從而突破Nyquist-Shannon采樣定理頻率限制，實現(xiàn)壓縮式采集，結(jié)合高效的重構(gòu)算法，可實現(xiàn)信號的無失真測量，該過程主要包含信號稀疏模型創(chuàng)建、稀疏信號壓縮測量、壓縮信號重構(gòu)三個步驟。

作為CS框架的關(guān)鍵部分，測量矩陣的選擇和設(shè)計直接影響信號壓縮及重構(gòu)效果。常用測量矩陣類型有完全隨機測量矩陣、結(jié)構(gòu)化隨機測量矩陣以及確定性測量矩陣[8]。以高斯矩陣、Bernoulli矩陣為代表的完全隨機測量矩陣在低維或圖像信號的壓縮感知方面應(yīng)用廣泛[9-10]，具有測量數(shù)少而重構(gòu)精度高的特點，而局限性在于大存儲量和較高的矩陣隨機性；結(jié)構(gòu)化隨機矩陣包括部分正交矩陣、部分Hadamard矩陣[11]等，該類矩陣通過對高維正交矩陣進(jìn)行降維和歸一化得到，具備良好的重構(gòu)精度，但其矩陣構(gòu)造過程對正交矩陣維數(shù)較為敏感，因此應(yīng)用場合有限；確定性測量矩陣包括循環(huán)測量矩陣、Toeplitz矩陣[12]等，該類矩陣易于硬件實現(xiàn)，但受限于現(xiàn)有條件，其矩陣構(gòu)建速度較慢，難以滿足信號傳輸?shù)膶崟r性需求，同時測量值的取值范圍有限從而影響壓縮效果。此外，也有研究設(shè)計了針對信道估計[13]、雷達(dá)[14]、振動[15]等特定信號的專用測量矩陣，然而，目前鮮有學(xué)者針對切削力信號的壓縮測量矩陣展開研究。

本文基于CS理論，首先分析切削力信號稀疏性，采用離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)正交基構(gòu)建切削力信號在頻域上的稀疏表示模型；然后考慮加工過程對切削力信號傳輸?shù)膶崟r性需求，且考慮不同主軸轉(zhuǎn)速和刀具齒數(shù)下的信號采樣數(shù)據(jù)量不同，選擇高斯隨機矩陣作為基礎(chǔ)測量矩陣，并提出一種近似正交三角(QR)分解與最小相關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的高斯隨機測量矩陣優(yōu)化方法，進(jìn)一步提高測量矩陣性能，實現(xiàn)切削力信號壓縮測量；最后利用壓縮采樣匹配追蹤算法對切削力信號進(jìn)行高效重構(gòu)，并通過現(xiàn)場采集的切削力信號對其有效性進(jìn)行驗證。

1 壓縮感知理論

任意一個一維離散信號可以由一組正交基線性表示：

(1)

式中，N為原始信號長度；x為一維離散時間信號，維度為N×1；Ψ為稀疏基，Ψ=[ψ1ψ2…ψN]，維度為N×N，ψi為列向量；α為稀疏向量，維度為N×1，αi為元素。

取一與Ψ不相干的矩陣，將原始信號x映射至低維空間：

(2)

(3)

式(3)的常用求解方法包括以基追蹤(basic pursuit, BP)為代表的最優(yōu)化逼近方法、以正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)[16]為代表的貪婪算法以及以迭代硬閾值(iterative hard thresholding, IHT)為代表的非凸方法。綜合考慮測力系統(tǒng)硬件水平和重構(gòu)效率需求，本文選擇貪婪算法中的壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit, CoSaMP)[17]算法作為信號重構(gòu)算法。

2 切削力信號稀疏表示

具有稀疏性的信號表現(xiàn)為僅有少數(shù)元素非零。一般情況下自身具備稀疏性的信號較少，但經(jīng)過某種變換可以挖掘信號的稀疏特征。對于一維信號，通常借助正交變換方法實現(xiàn)信號稀疏表示，如傅里葉變換、正(余)弦變換和小波變換。本文分別利用上述方法進(jìn)行切削力信號稀疏建模，分析不同正交基下的切削力信號稀疏表示效果，并最終選擇DFT基作為稀疏正交基。

通過切削實驗并采用自主設(shè)計的旋轉(zhuǎn)式測力系統(tǒng)[18]獲取切削力信號，初始采樣頻率為4 kHz，從中選取2 s數(shù)據(jù)，并以500 Hz頻率對其重新采樣，得到原始切削力信號，如圖1所示。將其絕對值按降序排列后如圖2所示。可以發(fā)現(xiàn)，原始切削力信號中的絕大多數(shù)元素均為非零元素，因此，切削力信號在時域上是非稀疏的。

圖1 原始切削力信號

圖2 排序切削力信號

分別利用DFT、離散余弦變換(discrete cosine transform, DCT)和離散小波變換(discrete wavelet transform, DWT)獲取切削力信號的頻域波形，其中DWT基于Haar小波函數(shù)，分解等級為10級。對變換系數(shù)按絕對值降序排列后如圖3～圖5所示，可以看出三種情況下的變換系數(shù)均呈現(xiàn)快速下降趨勢，僅包含少量大系數(shù)值。以fmax表示變換系數(shù)最大值，在DFT、DCT、DWT三種變換下，變換系數(shù)值大于0.01fmax的數(shù)量分別為103、105和249?？梢姡?jīng)過DFT處理的切削力數(shù)據(jù)稀疏性更佳，稀疏度K為103。

圖3 切削力信號DFT排序

圖4 切削力信號DCT排序

圖5 切削力信號DWT排序

3 改進(jìn)高斯隨機測量矩陣設(shè)計

為實現(xiàn)信號的高精度重構(gòu)，測量矩陣設(shè)計需符合兩項要求：一是測量矩陣與稀疏變換基不相干；二是觀測矩陣應(yīng)符合約束等距性(restricted isometry property, RIP)。本文以高斯隨機測量矩陣為基礎(chǔ)構(gòu)建觀測矩陣，為了實現(xiàn)切削力信號的精確重構(gòu)，其測量值需滿足：

M≥CKln(N/K)

(4)

式中，C為一常數(shù)。

對于圖1所示的切削力信號數(shù)據(jù)，其信號長度N=1000，稀疏度K=103，經(jīng)計算僅需測量M=235個數(shù)據(jù)點即可以較高的精度重構(gòu)出原始切削力信號，壓縮比可達(dá)76.5%。

現(xiàn)有理論證明，M滿足式(4)的高斯隨機測量矩陣能以較高的概率符合RIP條件。為進(jìn)一步提高測量矩陣的信號壓縮性能，使信號重構(gòu)時的精度更高，本文結(jié)合近似QR分解和最小相關(guān)系數(shù)法對高斯隨機測量矩陣進(jìn)行改進(jìn)。

根據(jù)矩陣分解理論，矩陣的相干性很大程度上取決于矩陣的最小奇異值，表現(xiàn)為最小奇異值愈大則矩陣的相干性愈弱。因此，從降低測量矩陣與稀疏變換基相干性角度出發(fā)，盡可能增大高斯隨機測量矩陣的最小奇異值，可增強矩陣獨立性，從而使矩陣進(jìn)一步滿足RIP條件。

考慮到QR分解能夠增大矩陣奇異值，首先利用標(biāo)準(zhǔn)QR分解將ΦM × N分解如下：

Φ=(Q·R)T

(5)

式中，Q為方陣，且QH·Q=Ir；R為具有正對角元的上三角陣。

(6)

(7)

(8)

近似QR分解及最小相關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的高斯隨機測量矩陣優(yōu)化方法流程如圖6所示。

圖6 測量矩陣優(yōu)化流程圖

4 算法實現(xiàn)步驟

利用本文提出的改進(jìn)高斯隨機測量矩陣實現(xiàn)切削力信號壓縮感知的步驟如下：

(1)基于實驗獲取的切削力信號，利用DFT正交基對該信號進(jìn)行稀疏表示，獲取其先驗知識和稀疏度K。

(2)為使測量矩陣進(jìn)一步滿足RIP條件，結(jié)合近似QR分解及最小相關(guān)系數(shù)法對高斯隨機測量矩陣進(jìn)行優(yōu)化。

(3)借助上述改進(jìn)的測量矩陣，利用y=Φ·x，對原始信號x進(jìn)行壓縮測量，將其從N維信號映射為M維壓縮信號y。

(4)通過無線傳輸網(wǎng)絡(luò)將壓縮信號y傳輸至上位機端，綜合測量值y、測量矩陣Φ和稀疏基Ψ，并通過CoSaMP算法重構(gòu)獲得稀疏向量α。

5 實驗及結(jié)果分析

為了驗證改進(jìn)測量矩陣對切削力信號的壓縮性能，針對圖1中的實測切削力信號，分別通過標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機測量矩陣和近似QR分解、最小相關(guān)系數(shù)法以及結(jié)合近似QR分解與最小相關(guān)系數(shù)法優(yōu)化的高斯隨機測量矩陣進(jìn)行壓縮測量，計算四類矩陣的相關(guān)系數(shù)μt，它與對應(yīng)測量矩陣列向量組合數(shù)量T的分布關(guān)系如圖7所示。

(a)高斯隨機測量矩陣

為了驗證改進(jìn)測量矩陣的適用性，選擇長度N=100、稀疏度K=10的一段信號作為測試樣本，分別通過四類測量矩陣進(jìn)行壓縮測量，其相關(guān)系數(shù)分布如圖8所示。

由圖7、圖8可以看出，在圖1實測切削力信號和測試信號數(shù)據(jù)下，四類測量矩陣的最大相關(guān)系數(shù)分別為0.4381、0.4276、0.3830、0.3719和0.6434、0.5083、0.4103、0.3421。因此，本文提出的優(yōu)化算法在降低測量矩陣相干性方面效果明顯，由該測量矩陣構(gòu)建的觀測矩陣可進(jìn)一步滿足RIP條件，從而準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號。

(a)高斯隨機測量矩陣

為進(jìn)一步測試改進(jìn)測量矩陣的使用性能，分別利用四類測量矩陣對圖1實測切削力信號和測試信號進(jìn)行壓縮采集。定義壓縮比

c=(N-M)/N

(9)

設(shè)定c為0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75、0.8，在四種情況下分別重構(gòu)1000次，取其重構(gòu)平均值和均方值誤差，實測切削力信號和測試信號的重構(gòu)結(jié)果分別如表1～表4所示。

由表1～表4可知，隨著信號壓縮程度升高，四類測量矩陣的重構(gòu)誤差均有所增大，其中，經(jīng)過本文方法改進(jìn)的高斯隨機測量矩陣無論在重構(gòu)平均值誤差還是在重構(gòu)均方值誤差方面的表現(xiàn)均優(yōu)于其他三類矩陣，它不但重構(gòu)精度較高，且在信號恢復(fù)時的穩(wěn)定性更佳。

表1 實測切削力信號平均值誤差

表2 實測切削力信號均方值誤差

表3 測試信號平均值誤差

表4 測試信號均方值誤差

在重構(gòu)算法選擇方面，當(dāng)壓縮比c為0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75時，采用OMP和CoSaMP兩種算法對圖1所示的切削力信號進(jìn)行重構(gòu)，每個壓縮比水平下運行25次，結(jié)果取其均值，對比兩種算法在重構(gòu)時間及重構(gòu)精度(以信號重構(gòu)均值偏差為評價指標(biāo))方面的差異，結(jié)果如圖9所示。

圖9數(shù)據(jù)表明，伴隨著信號壓縮程度不斷增加，CoSaMP算法的重構(gòu)效率顯著提高，而重構(gòu)均值偏差略有增大。在壓縮比c=0.75的情況下(接近測量矩陣限定的最高壓縮比)，CoSaMP算法重構(gòu)所需時間為0.027 16 s，相比于OMP算法的0.713 12 s，重構(gòu)效率大大提高；在重構(gòu)精度方面，CoSaMP算法的重構(gòu)均值偏差為2.028%，相比于OMP算法的1.125%僅增加1%；考慮到工業(yè)現(xiàn)場對力信號的傳輸效率要求較高，而兩種算法的重構(gòu)準(zhǔn)確性差距較小，所以CoSaMP算法同OMP算法相比更加適合實際切削場合的應(yīng)用。

(a)重構(gòu)時間對比圖

在壓縮比c=0.7的條件下，利用本文提出的切削力信號壓縮感知方法對圖1中的切削力信號進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)前后信號對比如圖10所示，重構(gòu)誤差為2.10%，重構(gòu)時間為0.016 s；另取一段實測鉆削力信號(稀疏度K=201)，在c=0.6的條件下對其進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)前后信號對比如圖11所示，重構(gòu)誤差為1.1%，重構(gòu)時間為0.052s。綜上，本文提出的切削力信號壓縮感知方法能夠滿足切削力信號的傳輸精度和實時性需求。

圖10 銑削力信號重構(gòu)結(jié)果對比圖

圖11 鉆削力信號重構(gòu)結(jié)果對比圖

6 結(jié)論

針對高速切削中依據(jù)傳統(tǒng)Nyquist-Shannon采樣定理采集數(shù)據(jù)易造成信號冗余和數(shù)據(jù)堵塞問題，本文將壓縮感知理論應(yīng)用于切削力信號采集過程。針對DFT正交基稀疏表示的切削力信號，選擇高斯隨機矩陣作為基礎(chǔ)測量矩陣，并提出近似QR分解與最小相關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的優(yōu)化方法對高斯隨機矩陣進(jìn)行重新設(shè)計，使其進(jìn)一步符合RIP條件，并極大地壓縮了數(shù)據(jù)量，結(jié)合高效的CoSaMP算法，實現(xiàn)力信號快速重構(gòu)。仿真測試結(jié)果表明，改進(jìn)的高斯隨機測量矩陣相較于其他三類矩陣具有更高的重構(gòu)精度和穩(wěn)定性，利用本文提出的方法對測力系統(tǒng)采集的切削力信號進(jìn)行壓縮重構(gòu)，重構(gòu)誤差為2.10%，重構(gòu)時間僅為0.016 s，可滿足工業(yè)現(xiàn)場對切削力信號的傳輸精度和實時性需求，此外，本文提出的壓縮感知方法也可為振動、聲發(fā)射等信號的高效采集與傳輸提供借鑒。