陳 強,許昌源,孫明軒

(浙江工業(yè)大學信息工程學院,浙江杭州 310023)

1 引言

永磁同步電機由于其效率高、魯棒性強、轉矩慣量比高、功率密度高、轉動慣量小等優(yōu)點,在高精度伺服控制領域取得了廣泛應用[1–2].與其他控制方法相比,滑模控制方法能夠實現(xiàn)對被控系統(tǒng)的降階控制,具有穩(wěn)定范圍寬、動態(tài)響應快、魯棒性強、控制實現(xiàn)簡單等優(yōu)點,適用于永磁同步電機控制器設計.在實際工業(yè)生產過程中,電機伺服系統(tǒng)往往執(zhí)行周期性重復作業(yè)任務.然而,現(xiàn)有的非線性控制技術如滑?？刂芠3]、自適應控制[4]、有限時間控制[5]和魯棒控制[6]等,在控制器設計中鮮有考慮和利用電機期望軌跡的周期特性.重復學習控制適用于在無限區(qū)間上周期運行的被控對象,利用上一周期運行的數(shù)據(jù)修正當前周期的控制輸入,實現(xiàn)對周期軌跡的零誤差跟蹤.經典的重復學習控制通常也被稱為重復控制,通過在頻域內應用內模原理構造周期為T的任意周期信號內模,實現(xiàn)對周期信號的完全跟蹤[7–8].

近年來,基于Lyapunov方法的重復學習控制引起了廣泛關注[9–11].文獻[12]針對一類時變參數(shù)不確定非線性系統(tǒng),提出一種周期自適應學習控制方法,并證明閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性.文獻[13]針對一類非線性參數(shù)化系統(tǒng)提出一種自適應重復學習控制方法,在存在未知常數(shù)和周期時間函數(shù)的情況下,可以實現(xiàn)自適應系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和跟蹤誤差的漸近收斂.然而,永磁同步電機中存在的負載轉矩和未建模動態(tài)等非參數(shù)不確定性使得參數(shù)化的重復學習控制方法不能直接適用.

針對帶有非參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng),文獻[14]提出一種基于backstepping的重復學習控制方法,實現(xiàn)對給定周期軌跡的精確跟蹤.文獻[15]針對分數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng),考慮非參數(shù)化不確定、周期時變參數(shù)化不確定、常參數(shù)化不確定和外部擾動等問題,設計自適應重復學習同步控制器,實現(xiàn)主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的完全同步.文獻[16]針對帶有非參數(shù)不確定性的步進電機,設計魯棒重復學習控制器,保證轉子位置跟蹤誤差指數(shù)收斂到極小的范圍內.文獻[17]針對工業(yè)雙軸精密龍門提出一種自適應魯棒重復控制方法,利用傅立葉級數(shù)展開估計和補償周期性不確定性,進而設計非線性魯棒項減小輪廓誤差.上述文獻中,非參數(shù)不確定性的界限要求在控制器設計中已知或部分已知,且學習律大多設計為部分限幅學習律,難以保證將學習項限制在指定的界內.文獻[18]針對一類非參數(shù)不確定系統(tǒng)提出一種自適應重復學習控制方法,設計全限幅學習律對構造的參考輸入信號進行學習,但其需要利用Lipschitz條件對非周期項進行放縮且只給出仿真結果.

擴張狀態(tài)觀測器的基本思路是將外部干擾和系統(tǒng)不確定性擴張為新的狀態(tài)變量,并通過設計狀態(tài)觀測器精確估計和補償系統(tǒng)不確定性[19–20].目前,基于擴張狀態(tài)觀測器的重復學習控制研究較少,且已有工作多基于內模原理,在頻域下設計重復控制器.擴張狀態(tài)觀測器可分為線性擴張狀態(tài)觀測器和非線性擴張狀態(tài)觀測器,線性擴張狀態(tài)觀測器由于其設計簡單和易于實現(xiàn)而引起廣泛關注和研究[21–22].文獻[23]針對直流電機伺服系統(tǒng),設計廣義線性擴張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)中的干擾進行估計,并設計重復控制器實現(xiàn)對周期信號的精確跟蹤.文獻[24]針對一類帶有周期性和非周期性干擾的二階系統(tǒng),設計線性擴張狀態(tài)觀測器對非周期性干擾進行估計和補償,并在頻域下設計重復控制器抑制周期性干擾,實現(xiàn)較好的跟蹤效果.

基于以上討論,本文針對非參數(shù)不確定永磁同步電機伺服系統(tǒng),提出一種基于擴張狀態(tài)觀測器的全限幅重復學習控制方法,實現(xiàn)對周期性期望軌跡的高精度跟蹤.將永磁同步電機中的非參數(shù)不確定性分為周期性部分與非周期性部分,其中周期性部分通過設計重復學習律進行處理,非周期性部分則由擴張狀態(tài)觀測器進行估計和補償,避免使用Lipschitz假設條件.此外,設計全限幅學習律估計周期性期望控制輸入,與已有的部分限幅學習律相比,該學習律可保證估計值被限制在指定界內.

2 問題描述

永磁同步電機在旋轉坐標系下的數(shù)學模型可表示為[16]

其中:iq為q軸定子電流,J是慣性系數(shù),B為粘滯摩擦系數(shù),np是極對數(shù),?f是磁鏈,TL(θ)表示與位置有關的負載轉矩.θ,ω分別是轉子位置和角速度,d表示除負載擾動以外的非線性摩擦等時變非周期擾動.

本文永磁同步電機伺服系統(tǒng)系統(tǒng)結構圖如圖1所示.

圖1 永磁同步電機伺服系統(tǒng)結構圖Fig.1 The schematic of the PMSM servo system

圖1中:RLC表示重復學習控制器(repetitive learning controller),LESO表示線性擴張狀態(tài)觀測器(linear extended state observer).為便于分析,令x1θ,x2ω,uiq,則式(1)可寫為

本文根據(jù)期望軌跡x1r的周期性,將α(x1)分為兩部分α(x1)α(x1r)+[α(x1)?α(x1r)].其中周期項α(x1r)可設計重復學習律進行估計;非周期項α(x1)?α(x1r)可設計擴張狀態(tài)觀測器進行估計和補償.

本文的控制目標為,針對系統(tǒng)(1)設計重復學習控制器u,保證位置狀態(tài)x1能夠精確跟蹤周期性期望位置信號x1r.

3 基于擴張狀態(tài)觀測器的重復學習控制

3.1 誤差定義與滑模面設計

定義跟蹤誤差為

其中:x1r,x2r分別為期望位置信號與期望速度信號,x1r,x2r滿足

其中ur表示期望控制輸入信號,根據(jù)式(4)可得

由xir的周期性可知,ur同樣為周期性為T的周期信號,即ur(t)ur(t ?T).

將式(2)與式(4)相減可得

為估計系統(tǒng)中的非周期性擾動,設計擴張狀態(tài)觀測器,定義觀測誤差為

其中zi為狀態(tài)xi的觀測值.設計滑模面為

其中λ為大于0的常數(shù).對式(8)求導,并由式(6)可得

根據(jù)式(9),設計控制器u為

注1相較于文獻[25]的滑模面設計,即σ本文設計的滑模面(8)中不含狀態(tài)變量x2,因此,在控制器設計中能夠避免使用系統(tǒng)狀態(tài)x2,從而有效降低擾動對速度測量精度的影響.

3.2 重復學習律設計

根據(jù)期望控制輸入ur的周期特性,設計以下全限幅重復學習律用以精確估計ur,即

其中:μ>0為學習增益,sat(·)為限幅函數(shù),對于任一標量a有

將式(10)代入式(6),可得

注2為處理非周期不確定項α(x1)?α(x1r),現(xiàn)有文獻[26–27]多采用局部Liptchiz條件將其放縮為參數(shù)不確定進行處理.與文獻[26–27]不同,本文采用擴張狀態(tài)觀測器直接估計該非周期不確定項,從而避免使用Lipschitz假設條件.

注3為保證估計值的有界性,現(xiàn)有文獻[16,26]中多采用部分限幅形式的學習律,形式為

然而,未限幅項φ(t)μσ的存在,使得難以被限制在指定界內.與文獻[16,26]不同,本文設計的全限幅學習律(11)由于對和(t ?T)分別進行限幅,因此能夠確保被有效限制在指定的界內.

3.3 擴張狀態(tài)觀測器設計

其中:b0>0為大于0的正常數(shù),可以根據(jù)先驗知識得到;h為連續(xù)有界函數(shù).

針對系統(tǒng)(15),設計擴張狀態(tài)觀測器為

其中ω0表示擴張狀態(tài)觀測器的帶寬.將式(15)–(16)相減可得

根據(jù)式(17),未知動態(tài)h和觀測器輸出誤差?z1之間的傳遞函數(shù)可以計算為

因此,式(17)的特征多項式為

其中:A為Hurwitz矩陣,M[0 0 1]T.

引理1[22]針對系統(tǒng)(15),在擴張狀態(tài)觀測器(16)作用下,存在正常數(shù)ρi >0,c>0,以及有限時間T >0,使得

成立.

注4引理1可以保證觀測誤差的有界性,且通過增大帶寬參數(shù)ω0可以減小觀測器誤差.然而,過大的ω0可能會降低擴張狀態(tài)觀測器的魯棒性和產生高頻振蕩.因此,參數(shù)ω0設置應綜合考慮觀測精度與魯棒性.

3.4 重復學習控制器設計

定義如下Lyapunov函數(shù):

對式(21)求導,并將式(9)代入可得

4 收斂性分析

引理2[8]對于給定標量a和b,若|a|≤,其中為b的上界,以下不等式成立

定理1針對系統(tǒng)(1),給定周期性期望軌跡x1r,設計擴張狀態(tài)觀測器(16)、重復學習控制器(10)以及學習律(11),則系統(tǒng)的跟蹤誤差可收斂至原點附近的鄰域內.

證定義類Lyapunov函數(shù)為

由式(41)可知,在誤差上界δk,ρ2,τ恒定時,可以保證最終收斂到原點附近的鄰域內,且該鄰域隨著增益k1以及滑模面參數(shù)λ的增大而減小.然而,參數(shù)k1與λ選取過大將引起高轉矩和高頻振蕩,因此,選定控制器增益k1以及滑模面參數(shù)λ應綜合考慮跟蹤精度與高頻振蕩. 證畢.

5 仿真分析

為驗證本文所提控制方法的有效性,本節(jié)給出了基于永磁同步電機模型(1)的仿真結果.仿真中永磁同步電機參數(shù)與初始條件設置均與實驗分析中實際永磁同步電機實驗平臺的電機參數(shù)相同,如表1所示.其中,負載TL關于位置相關,為不失一般性,設置負載TL為0.5 sinx1.控制器、重復學習律和擴張狀態(tài)觀測器的表達式分別為式(10)–(11)和式(16).

表1 永磁同步電機模型參數(shù)Table 1 Parameters of the PMSM

仿真中設置轉子位置的參考軌跡為x1r(t)0.2π×sin(2πt),其周期為T1 s.永磁同步電機的初始狀態(tài)設置為x1(0)0,x2(0)0.控制參數(shù)設置為b04000,k0.1,λ50,其他參數(shù)設置為μ1,ω05.時變干擾d設置為d0.1 rand.

仿真結果如圖2–6所示.其中,圖2–3分別為位置跟蹤效果及跟蹤誤差圖.從圖2–3可以看出,本文所提重復學習控制方法能夠實現(xiàn)對給定周期位置信號的精確跟蹤.圖4給出擴張狀態(tài)觀測器對永磁同步電機狀態(tài)x1,x2,x3的觀測效果,由圖可知本文設計的擴張狀態(tài)觀測器(16)能夠實現(xiàn)對x1,x2,x3的精確估計.圖5可以看出本文設計的重復學習律(11)可實現(xiàn)對周期性期望控制輸入的準確估計.圖6給出了本文所提重復學習控制方法的控制輸入.從圖2–6可看出,本文設計的擴張狀態(tài)觀測器和重復學習控制器能夠實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的準確估計以及對周期性期望軌跡的精確跟蹤.

圖2 位置跟蹤效果Fig.2 Position tracking performance

圖3 位置跟蹤誤差Fig.3 Position tracking error

圖4 x1,x2,x3的觀測效果Fig.4 Observation performance of x1,x2,x3

圖5 期望控制輸入ur的估計Fig.5 Estimation of the desired control input ur

圖6 控制輸入Fig.6 Control input

6 實驗分析

為了顯示本文所提出方法(M1)的有效性,實驗中將本文方法與文獻[25]中的基于擴張狀態(tài)觀測器的滑?？刂品椒?M2)以及文獻[16]的魯棒重復學習控制方法(M3)進行對比.實驗中永磁同步電機平臺參數(shù)以及初始狀態(tài)設置均與仿真中一致.M1方法的重復學習控制器、重復學習律以及擴張狀態(tài)觀測器的設計與仿真中一致,表達形式如式(10)–(11)和式(16)所示.M1方法的參數(shù)設置為μ0.15,b04000,ω010,k0.1,λ50.

M2方法的滑模面定義為

控制器設計為

擴張狀態(tài)觀測器設計為

設置M2方法的擴張狀態(tài)觀測器增益為ω050,其他參數(shù)選取與M1方法一致,即b04000,k0.1,λ50.

M3方法的控制器設計為

其中:kv0.02,kω0.01,而與其他參數(shù)設置均與M1方法一致,即μ0.15,b04000,k0.1,λ50.

實驗裝置如圖7所示,其中三相PMSM額定負載、電壓和功率分別為1.5 N·m,220 V和550 W.用于驅動PMSM的逆變器是智能電源模塊(IPM)PS21765,100 V的DC總線電壓由DC電源MP3003D產生.實驗中使用的控制板是TI的DSP TMS320F28335,它通過CCS6.0編程環(huán)境連接到PC.相電流通過霍爾電流傳感器測量,轉子位置通過編碼器測量(分辨率:2500脈沖/轉).實驗是基于單位系統(tǒng)進行的,基線值設置為x1B2πrad,x2B100πrad/s,UBIB10 A.實驗中采用場定向控制(field oriented control,FOC)方案.d軸參考電流將設置為零以解耦速度和電流,并且q軸參考電流為外環(huán)自適應重復學習控制器輸出,即u.id和iq由兩個PI控制器調節(jié),則電流瞬變相對于機械瞬變可以忽略不計,且控制參數(shù)設置為kp0.8706和ki0.0136.PWM切換頻率為20 kHz,死區(qū)時間為2μs.電流環(huán)和位置環(huán)的采樣頻率分別設置為20 kHz和1 kHz.

圖7 實驗裝置圖Fig.7 The experimental setup

給定周期性期望軌跡x1r(t)0.2πsin(2πt),其周期為T1 s,實驗結果如圖8–10所示.圖8為M1–M3方法的位置跟蹤誤差對比圖,通過M1和M2的對比可看出,M2方法的跟蹤誤差仍具有一定的周期性.與M2相比,M1方法和M3方法由于能夠有效補償周期不確定性,因而可以減小穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差,實現(xiàn)對給定周期性期望軌跡的精確跟蹤.此外,在ESO對系統(tǒng)不確定性的補償作用下,M1方法相比M3方法具有更好的瞬態(tài)性能和更小的穩(wěn)定誤差.

圖8 跟蹤誤差效果Fig.8 Position tracking error performance

圖9給出了M1方法的重復學習律對期望控制輸入ur的估計圖,可看出由于式(11)的φ(t)的設計,使得參考輸入的估計值保持連續(xù)性,且看出重復學習律(11)對于周期性非參數(shù)不確定性實現(xiàn)了較好的補償性能.圖10給出了M1–M3這3種方法的控制輸入,可以看出,3種方法的控制信號幅值較為接近.實驗結果表明,本文所提出的M1方法能夠較好地補償系統(tǒng)中的非參數(shù)不確定性,實現(xiàn)對給定周期期望軌跡的精確跟蹤,與仿真結果描述一致.

圖9 期望控制輸入ur的估計Fig.9 Estimate of the desired control input ur

圖10 控制輸入Fig.10 Control input

7 總結

本文針對一類具有非參數(shù)化不確定性的永磁同步電機系統(tǒng)提出一種基于擴張狀態(tài)觀測器的重復學習控制方法.利用期望周期軌跡的周期特性構造周期控制輸入信號,并設計全限幅學習律進行估計,保證學習項的有界性.基于Lyapunov方法設計重復學習控制器,并設計擴張狀態(tài)觀測器對非周期不確定性及干擾進行估計,使跟蹤誤差收斂于零點附近的鄰域內,實現(xiàn)高精度跟蹤.最后,基于Lyapunov方法對誤差收斂性進行了分析,并通過仿真以及電機實驗驗證本文所提方法的有效性.