管茂橋，崔曉曦，王林平，賈 鑫，鄒景鋒

(中國兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所， 北京 100089)

導(dǎo)彈飛行和命中的全過程，攻角是一個(gè)很重要的物理量。導(dǎo)彈飛行過程中，通過對攻角的控制來實(shí)現(xiàn)彈體穩(wěn)定和制導(dǎo)飛行；而導(dǎo)彈命中毀傷目標(biāo)過程中，攻角也是很重要的一個(gè)限制量。為了確保侵徹戰(zhàn)斗部有更好的毀傷效果，要求命中攻角盡量小。為了實(shí)現(xiàn)零攻角命中的要求，一些學(xué)者提出使用制導(dǎo)律讓彈的攻角在末端自然歸零[1-2]。但是，導(dǎo)彈飛行過程中的風(fēng)干擾、加工誤差、結(jié)構(gòu)擾動、非線性環(huán)境、器件誤差等干擾項(xiàng)，使得這些制導(dǎo)律很難真正達(dá)到末端攻角歸零的效果。在工程上，末端使用攻角收斂控制回路實(shí)現(xiàn)攻角歸零更為可靠。為了不影響制導(dǎo)精度，通常要求攻角收斂控制回路具有非常高的快速性，同時(shí)也應(yīng)當(dāng)有足夠的穩(wěn)定性，而這兩者之間通常是矛盾的。因此收攻角控制回路的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)在快速性、準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性之間平衡。

本文使用了人工智能的熱門算法[3]之一——最速梯度下降優(yōu)化方法[4]作為基本方法，分析了兩種常見的攻角收斂駕駛儀——過載駕駛儀和姿態(tài)駕駛儀的理論原理、分別給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法、分析了穩(wěn)定性與快速性、進(jìn)行了仿真驗(yàn)證并且得出了設(shè)計(jì)結(jié)論。

1 模型建立

建立導(dǎo)彈的縱向平面角度、角速度、加速度的關(guān)系式[5]：

(1)

(2)

(3)

(4)

?=θ+α

(5)

其中，α為攻角； ?為俯仰角；θ為彈道傾角；ωz為俯仰角速度；δz為俯仰舵偏角；V為導(dǎo)彈飛行速度；bα、bδz、aα、aωz、aδz等動力系數(shù)的定義見參考文獻(xiàn)[6]。

對方程式(1)～式(5)進(jìn)行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)：

(6)

(7)

(8)

其中，ayb為縱向過載。

(10)

(11)

(12)

(13)

2 過載收攻角自動駕駛儀設(shè)計(jì)

2.1 原理框圖

過載收攻角駕駛儀的結(jié)構(gòu)框圖[7]如圖1。

圖1 過載駕駛儀原理框圖Fig.1 Schematic diagram of acceleration autopilot

對于正常式布局的導(dǎo)彈，舵機(jī)環(huán)節(jié)在設(shè)計(jì)階段可以簡化為一個(gè)系數(shù)[8]ks=-1。

2.2 內(nèi)回路設(shè)計(jì)方法

對于圖1，內(nèi)回路通常稱作阻尼回路，其作用是提高導(dǎo)彈的穩(wěn)定性，外回路為過載回路，其作用是讓過載在一定時(shí)間內(nèi)收斂到0。

內(nèi)回路設(shè)計(jì)方法為阻尼匹配設(shè)計(jì)，起增穩(wěn)作用，設(shè)定期望的阻尼為μd，內(nèi)回路傳遞函數(shù)為

(14)

對分析傳遞函數(shù)的分母，阻尼可以解為

(15)

這樣，對于選定的期望阻尼μd，可以求出內(nèi)回路的增益為

(16)

(17)

2.3 過載駕駛儀數(shù)值優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

駕駛儀的外回路參數(shù)Kacc采用數(shù)值優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到。

將過載自動駕駛儀寫為狀態(tài)空間格式[11]：

(18)

設(shè)置初值：

α(t0)=α0;δz(t0)=0;ayb(t0)=V[bαα(t0)+bδz(t0)]

θ(t0)=0; ?(t0)=0;ωz(t0)=0

將自動駕駛儀的收斂準(zhǔn)則設(shè)置為當(dāng)時(shí)間time>tdesire后，攻角的絕對值收斂到一小量，即：|α|<αlimit。

選定待求量Kacc的初值，記為Kacc0.

接下來，使用龍格庫塔數(shù)值積分方法對方程式(18)求解，可以得到滿足|α|<αlimit(time>tc)的攻角收斂時(shí)間tc，記為：tc=facc(Kacc)[12]，

對于制定的期望攻角收斂時(shí)間tdesire，求待定量Kacc的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的無約束優(yōu)化問題，優(yōu)化的目標(biāo)是找到一個(gè)外回路增益Kacc，使得tc無限接近于tdesire

Kacc=optimal(facc(Kacc)-tdesire)

2.4 無約束優(yōu)化問題求解

采用最速梯度下降法進(jìn)行優(yōu)化問題求解[13]。最速梯度下降法是一種較成熟的優(yōu)化算法[14]，步驟如下：

1) 選取初始點(diǎn)x0，給定終止誤差ε>0，令k=0；

2) 計(jì)算當(dāng)前梯度▽f(xk)，若▽f(xk)≤ε，終止迭代，輸出結(jié)果為xk，否則進(jìn)行第三步；

3) 取pk=-▽f(xk)；

4) 進(jìn)行一維搜索，求tk，使得：

令xk+1=xk+tkpk，k=k+1，轉(zhuǎn)步驟2)。

在本算例中，選擇Kacc作為待求的x，初值為x0=0.5，ε=10-6，函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)f為2.3節(jié)中的目標(biāo)函數(shù)Kacc=optimal(facc(Kacc)-tdesire)。

2.5 設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

表1為某導(dǎo)彈的動力學(xué)系數(shù)。

表1 典型動力學(xué)系數(shù)

將動力學(xué)系數(shù)代入方程式(6)到式(7)，得到傳遞函數(shù)參數(shù)[15]如下：

(19)

首先設(shè)計(jì)內(nèi)回路將期望閉環(huán)阻尼設(shè)置為0.9，使用方程式(16)，計(jì)算得到內(nèi)回路增益：Kg=0.161 3。

然后求解外回路增益Kacc，設(shè)置優(yōu)化算法求解條件為：time>tdesire，(tdesire=0.1s)后，攻角|α|<αlimit，αlimit=0.6°，攻角初值為α0=5°。

通過2.4的優(yōu)化算法求解流程，得到：Kacc=0.001 1。

基于前述參數(shù)，圖2為過載收攻角自動駕駛儀的攻角優(yōu)化仿真曲線。

圖2 過載收攻角自動駕駛儀優(yōu)化仿真曲線Fig.2 acceleration autopilot AOA convergence optimization result

3 姿態(tài)收攻角自動駕駛儀設(shè)計(jì)

姿態(tài)駕駛儀采用俯仰陀螺反饋的積分反饋形成外回路閉環(huán)，如圖3所示，通過將俯仰角指令設(shè)置為當(dāng)前的彈道傾角，也可以用來攻角[16]歸零。

圖3 俯仰收攻角自動駕駛儀(基礎(chǔ)版)外回路閉環(huán)示意圖Fig.3 structure of pitch AOA convergence autopilot(base version)

3.1 原理框圖

俯仰姿態(tài)駕駛儀的指令?c設(shè)置為彈道傾角θ，這樣，姿態(tài)駕駛儀的外回路閉環(huán)可以表示為如圖4所示的形式。

圖4 俯仰收攻角自動駕駛儀(推導(dǎo)版)外回路閉環(huán)示意圖Fig.4 structure of pitch AOA convergence autopilot (derived version)

由于α=?-θ，那么俯仰姿態(tài)駕駛儀的外回路閉環(huán)可以等效為如圖5所示的攻角駕駛儀形式。

圖5 俯仰收攻角駕駛儀(等效攻角駕駛儀版)外回路閉環(huán)示意圖Fig.5 Structure of pitch AOA convergence autopilot(equivalent AOA autupilot version)

如圖5所示，俯仰收攻角姿態(tài)駕駛儀可以等效為攻角指令為0的αc=0攻角駕駛儀。

俯仰姿態(tài)收攻角自動駕駛儀的內(nèi)回路與過載收攻角姿態(tài)駕駛儀的內(nèi)回路完全一致，其設(shè)計(jì)方法與2.2節(jié)中的內(nèi)回路設(shè)計(jì)方法一致，使用式(16)計(jì)算阻尼回路增益。

3.2 俯仰姿態(tài)收攻角駕駛儀數(shù)值優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

與2.3節(jié)中過載駕駛儀狀態(tài)空間形式類似，姿態(tài)收攻角自動駕駛儀可也寫為如下的狀態(tài)空間形式：

(20)

使用2.3中的方法，可也得到姿態(tài)收攻角自動駕駛儀的收斂時(shí)間tc與外回路增益Kpitch的關(guān)系：tc=fpitch(Kpitch).使用2.4中介紹的優(yōu)化問題求解方法求解。

3.3 設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

針對2.5節(jié)中的相同彈體傳函、初始條件、收斂準(zhǔn)則，求解姿態(tài)駕駛儀的控制參數(shù)。

姿態(tài)收攻角駕駛儀的內(nèi)回路與過載收攻角駕駛儀的內(nèi)回路完全一致，可以使用相同的設(shè)計(jì)方法得到內(nèi)回路阻尼配置為0.9時(shí)的阻尼回路參數(shù)為：Kg=0.161 3。

選擇與2.5中過載收攻角駕駛儀相同的優(yōu)化條件：time>tdesire，(tdesire=0.1 s)后，攻角|α|<αlimit，αlimit=0.6°。攻角初值為α0=5°

使用2.4節(jié)中的優(yōu)化算法求解流程，得到：Kg=50.871 5。仿真曲線如圖6所示。

圖6 姿態(tài)收攻角自動駕駛儀優(yōu)化仿真曲線Fig.6 Pitch autopilot AOA convergence optimization result

4 兩種駕駛儀結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性對比

4.1 根軌跡分析

過載收攻角駕駛儀與姿態(tài)收攻角駕駛儀有相同的內(nèi)回路，設(shè)計(jì)方法相同，可使用根軌跡方法對比兩種駕駛儀框圖的穩(wěn)定性與快速性。

過載收攻角自動駕駛儀的開戶傳函可以寫為：

其中：

姿態(tài)收攻角自動駕駛儀的開戶傳函可以寫為

姿態(tài)收攻角自動駕駛儀的開環(huán)零點(diǎn)為

根據(jù)根軌跡的準(zhǔn)則，可以近似得到2種駕駛儀構(gòu)型的如圖7所示[17]。

圖7 根軌跡示意圖Fig.7 Root locus diagram

根據(jù)根軌跡示意圖，可以得到如下結(jié)論：

1) 為了達(dá)到相同的閉環(huán)阻尼μclose，姿態(tài)收攻角駕駛儀的閉環(huán)頻率要遠(yuǎn)大于過載收攻角駕駛儀的閉環(huán)頻率，這對舵機(jī)提出了更高的要求。

2) 為了達(dá)到相同的快速性，即選定相同的閉環(huán)頻率ωclose，姿態(tài)收攻角駕駛儀的閉環(huán)阻尼要遠(yuǎn)大于過載收攻角自動駕駛儀的閉環(huán)阻尼。

3) 過載收攻角駕駛儀的快速性潛力小于姿態(tài)收攻角自動駕駛儀。

4.2 仿真與結(jié)論

為了驗(yàn)證根軌跡分析結(jié)果，分別在2.5和3.3節(jié)設(shè)計(jì)好的，具有相同快速性的過載收攻角駕駛儀和姿態(tài)收攻角駕駛儀中加入舵機(jī)環(huán)節(jié)，考核其閉環(huán)穩(wěn)定性。

假設(shè)舵機(jī)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

圖8、圖9分別是Ts=0 s和Ts=0.01 s的2種駕駛儀優(yōu)化仿真曲線。

圖8 舵機(jī)時(shí)間常數(shù)Ts=0 s時(shí)的優(yōu)化仿真曲線Fig.8 Simulation result of servo time constant Ts=0 s

圖9 舵機(jī)時(shí)間常數(shù)Ts=0.01 s時(shí)的優(yōu)化仿真曲線Fig.9 Simulation result of servo time constant Ts=0.01 s

從仿真曲線可以分析得到2種駕駛儀的優(yōu)缺點(diǎn)，見表2。

表2 2種收攻角駕駛儀的優(yōu)缺點(diǎn)

5 結(jié)論

過載駕駛儀和姿態(tài)駕駛儀是收攻角常用的2種駕駛儀結(jié)構(gòu)，并從快速性和穩(wěn)定性2個(gè)方面分析了它們的優(yōu)缺點(diǎn)。應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況確定攻角收斂策略：當(dāng)舵機(jī)性能較差時(shí)，可選擇過載駕駛，保證攻角收斂過程中的彈道穩(wěn)定；當(dāng)系統(tǒng)對攻角收斂的快速性有高要求時(shí)，可選擇姿態(tài)駕駛儀，以實(shí)現(xiàn)更短的攻角收斂時(shí)間。