王宏力，張鵬飛，何 星，馮 磊，肖永強

(1.火箭軍工程大學 導彈工程學院， 西安 710025；2.西安建筑科技大學 信息與控制工程學院， 西安 710055)

1 引言

X射線脈沖星導航具有自主性強、可靠性高的特點，在各領域有著巨大的發(fā)展前景[1-2]。然而在脈沖星導航過程中，脈沖星方位誤差會對導航精度造成嚴重的影響，通常0.001″的方位誤差就會造成幾百米的定位誤差[3]。由于脈沖信號微弱以及測量方法和設備的限制，目前常用的甚長基線干涉測量技術(very long baseline interferometry，VLBI)難以滿足導航精度的要求。因此，為了提高脈沖星方位誤差估計精度，國內學者采用了基于信標衛(wèi)星的估計[4-5]、魯棒濾波估計[6-7]、組合導航[8]等方法對脈沖星方位誤差進行估計，沒有考慮航天器的時鐘鐘差的影響。孫守明、王璐等研究了脈沖星導航以及脈沖星與慣性、多普勒等組合導航中的鐘差修正問題[9-10]，對于脈沖星方位誤差估計過程中的鐘差修正問題尚缺乏研究。當利用信標衛(wèi)星進行脈沖星方位誤差估計時，由于航天器長時間運行，時鐘鐘差會發(fā)生單向漂移，進而會造成系統(tǒng)偏差，從而使脈沖星方位誤差估計精度降低。本文中設計了考慮航天器鐘差影響的增廣脈沖星方位誤差估計算法，消除脈沖星方位誤差估計時航天器時鐘鐘差影響，提高脈沖星方位誤差的估計精度。

2 脈沖星方位誤差估計的傳統(tǒng)模型

圖1 脈沖星方位誤差估計原理示意圖Fig.1 The principle of azimuth error estimation of pulsar

轉換過程公式為[12]：

(1)

(2)

式(2)中：tsat為脈沖到達衛(wèi)星的真實時間；n為真實的脈沖星單位方向矢量。設脈沖星的赤經為α，赤緯為β，則滿足：

(3)

設(Δα，Δβ)為脈沖星方位誤差，則真實的脈沖星方位與帶誤差的脈沖星方位滿足：

(4)

將式(4)代入式(3)，進行泰勒展開并忽略二階及以上小項可得：

n=n′+Δn

(5)

其中，帶誤差的脈沖星方向矢量為：

(6)

脈沖星單位方向矢量誤差Δn為：

(7)

(8)

(9)

(10)

傳統(tǒng)算法未考慮航天器時鐘長期運行，時鐘鐘差緩變對脈沖星方位誤差影響，一般精度為10 mas左右，因此有必要對航天器時鐘鐘差進行修正。

3 時鐘鐘差對脈沖星方位誤差估計精度影響分析

由于信標衛(wèi)星時鐘頻率和相位的漂移，脈沖到達衛(wèi)星的真實時間和衛(wèi)星時鐘測得的脈沖到達時間之間存在鐘差，設其為δt，則滿足：

(11)

此時：

(12)

衛(wèi)星時鐘鐘差模型可寫為[13]：

(13)

式(13)中：x1、x2和x3分別為鐘差、鐘差漂移率和鐘差漂移率的變化率；τ為時間間隔；ω為高斯白噪聲，其方差矩陣為：

Q(τ)=E[ω(k)ω(k)T]=

(14)

其中，q1、q2和q3為噪聲的功率譜密度。其離散過程模型可寫為：

(15)

取鐘差漂移率為3.637 979×10-12，根據銣原子鐘模型，取時鐘的噪聲譜密度分別為q1=1.11×10-22s和q2=2.22×10-32s。給定時鐘初始時刻的鐘差為0 s，取時間間隔為1 s，則可得到鐘差隨時間的變化如圖2所示。

圖2 鐘差隨時間變化曲線Fig.2 Clock difference changes with time

由圖2可得，鐘差特點一是單向觀測，無法通過雙向觀測消除鐘差影響，二是緩慢增大。雖然鐘差增長緩慢，但隨著時間的推移，鐘差接近5×10-6s，該值與光速相乘理論上會造成1 500 m左右的定位誤差，將會給系統(tǒng)造成不可忽略的影響。因此，為分析其對方位誤差估計的影響，使用傳統(tǒng)脈沖星方位誤差估計算法進行仿真。以脈沖星B0531+21作為觀測脈沖星，其參數如表1所示。

表1 脈沖星B0531+21參數

表1中，P為脈沖周期，W為脈沖寬度，Fx為脈沖輻射光子流量，pf為一個脈沖周期內脈沖輻射流量與平均輻射流量之比。脈沖星的觀測噪聲方差可由式(16)計算得到[14]，即

(16)

式(16)中：A為探測器有效面積，本仿真中設為1 m2；Bx=0.005 ph·cm-2·s-1，為宇宙背景噪聲；d為脈沖寬度W與脈沖周期P之比；tobs為觀測時間，設為1 000 s。則可計算得到σ=(77.69 m)2。脈沖星方位誤差設為(2 mas，2 mas)，初始狀態(tài)設為0。

使用同一顆衛(wèi)星，分別在有無鐘差影響的情況下進行仿真，衛(wèi)星軌道參數如表2所示。

表2 衛(wèi)星軌道參數

仿真結果如圖3所示。

圖3 有無鐘差的脈沖星方位誤差估計曲線Fig.3 The azimuth error estimation results of pulsars with or without clock errors

對比分析圖3可得，當無鐘差影響時，傳統(tǒng)脈沖星方位誤差估計算法能較為精確地估計方位誤差。但當存在鐘差時，估計結果誤差較大，尤其是赤緯誤差，接近17 mas；而且赤經和赤緯誤差估計結果都沒有收斂到一個定值。可見，時鐘鐘差會對脈沖星方位誤差估計精度產生較大的影響，因此有必要對衛(wèi)星時鐘鐘差進行修正。

4 增廣鐘差脈沖星方位誤差估計算法

Xk+1=AkXk+Wk

(17)

(18)

由于該系統(tǒng)是線性時變系統(tǒng)，因此采用PWCS可觀性判據分析其可觀性，將系統(tǒng)分為j個時間段，在每個時間段里認為其為線性定常系統(tǒng)。

系統(tǒng)總的可觀測性矩陣為：

(19)

第j個時間段的可觀測矩陣為：

(20)

其中：

(21)

其中任意相鄰的3個時間段滿足：

(22)

對其中任意相鄰的3個時間段進行初等變換可得：

(23)

由于τ>0且衛(wèi)星在運行過程中相鄰3個點一般不在一個平面內，因此：

(24)

(25)

進而可得：

(26)

因此該系統(tǒng)完全可觀測。

仿真條件不變，根據該增廣算法，利用卡爾曼濾波進行最優(yōu)估計，估計結果如圖4和圖5所示。

圖4 ASKF算法估計曲線Fig.4 ASKF algorithm estimation results

圖5 修正后的鐘差Fig.5 The corrected clock error

其他條件不變，設置不同的鐘差來驗證所提算法的有效性，如表3所示。

為進一步驗證該增廣算法的有效性，鐘差、脈沖星方位誤差初始值以及衛(wèi)星軌道參數等保持不變，選用不同的脈沖星進行仿真驗證，脈沖星參數如表4所示。估計結果如表5所示。

由上述圖表可知，當存在鐘差影響時，傳統(tǒng)算法沒有修正鐘差，估計結果發(fā)散且偏差較大。而本文提出的考慮鐘差影響的增廣脈沖星方位誤差估計算法估計結果均能收斂，估計精度也較高，使赤經和赤緯估計精度分別保持在0.1 mas和0.3 mas左右，且經該增廣算法修正后，能有效抑制鐘差發(fā)散，使時鐘鐘差大小約減小2個數量級，能有效隔離鐘差的影響。而且當鐘差大小不同、對于不同的脈沖星，本文所提出的增廣算法均能克服鐘差影響，使估計結果保持較高的估計精度。

5 結論

1) 利用信標衛(wèi)星進行脈沖星方位誤差估計時，信標衛(wèi)星的時鐘鐘差會造成系統(tǒng)偏差，對估計結果產生影響，且不容忽略，必須修正才能提高估計精度。

2) 本文中提出的考慮鐘差修正的增廣脈沖星方位誤差估計算法能有效隔離時鐘鐘差的影響，在保證濾波解算穩(wěn)定性的同時，使估計精度保持在無鐘差影響水平。