崔曉萌，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

近幾年，分?jǐn)?shù)階微分方程相關(guān)理論具有良好的性能，因而在工程、金融經(jīng)濟(jì)、物理、疾病傳播以及生物系統(tǒng)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。如通過分?jǐn)?shù)階模型在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用，Barpi 和Valente 改進(jìn)斷裂力學(xué)的裂縫擴(kuò)展區(qū)域的微觀力學(xué)模型，使其與分?jǐn)?shù)階流變模型結(jié)合[1]；用分?jǐn)?shù)階微分方程描述電磁波和粘彈性體系來(lái)探索某些生物系統(tǒng)的行為[2]。由于其在安全通信和控制處理中的潛在應(yīng)用[1]，分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)及其相關(guān)現(xiàn)象中的混沌同步研究也日益受到關(guān)注[3-4]。分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題首先由Deng 和Li 提出，之后他們以不同的方式研究了分?jǐn)?shù)階Chen 系統(tǒng)的混沌同步[4]。

目前，研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步有許多方法[5-7]。其中，滑模變結(jié)構(gòu)控制方法在實(shí)際工程中逐漸得到各國(guó)學(xué)者的重視，這主要是因?yàn)樵摽刂品椒ㄋO(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)是根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，通過控制量的切換，使得系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面滑動(dòng)，具有良好的魯棒性。然而，在設(shè)計(jì)滑模面時(shí)，因不可避免地引入切換增益而導(dǎo)致了抖振的發(fā)生。為降低控制系統(tǒng)的抖振，Zhang等[8]發(fā)現(xiàn)模糊控制與滑模控制具有一定的相似性，并將這2 種控制方法結(jié)合，提出了模糊滑?？刂?，實(shí)現(xiàn)Duffing-Holmes 混沌系統(tǒng)的同步。許多學(xué)者應(yīng)用模糊滑?？刂品椒ㄑ芯坎淮_定性，系統(tǒng)變量受約束的一些分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)同步問題[9-10]，但是上述文獻(xiàn)研究非線性控制問題只考慮了系統(tǒng)僅有不確定項(xiàng)或者外界干擾的一種情況。文獻(xiàn)雖分析了模糊滑模控制方法研究驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同階數(shù)的情況，但這些也僅是研究了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)是相同階數(shù)的情況[11]。根據(jù)上述研究的基礎(chǔ)，本文針對(duì)具有雙重不確定性且具有不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)，提出模糊終端滑模控制器的設(shè)計(jì)方法[12]。

1 預(yù)備知識(shí)

現(xiàn)今分?jǐn)?shù)階微分方程逐漸成為一種趨勢(shì)，這是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中的一些問題往往是復(fù)雜的，而傳統(tǒng)的整數(shù)階微分方程不能很好地體現(xiàn)研究對(duì)象隨外界環(huán)境改變而變化的特點(diǎn)。分?jǐn)?shù)階微分方程具有遺傳記憶性，在研究解決多變的模型時(shí)具有很好的優(yōu)勢(shì)。目前，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程沒有統(tǒng)一的一般表述，但是典型的定義有3 種，分別是R-L 定義、Caputo 定義、G-L 定義。由于Caputo 定義具有弱奇異性，因此在工程中用處廣泛。

定義1Caputo 分?jǐn)?shù)階微分定義

性質(zhì)1分?jǐn)?shù)階微分滿足

將自適應(yīng)滑?？刂评碚撆c模糊邏輯系統(tǒng)結(jié)合[13]，通過設(shè)計(jì)模糊滑?？刂破鹘档拖到y(tǒng)的抖振現(xiàn)象。間接模糊滑模控制有成熟的設(shè)計(jì)步驟，但是這些步驟僅針對(duì)含有未知函數(shù)的系統(tǒng)，而對(duì)既含有未知項(xiàng)，又有外界干擾這2 種不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究還不完善[14]。此外，現(xiàn)實(shí)生活中的系統(tǒng)往往復(fù)雜多變，故研究驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)為不同階數(shù)的情形具有極其重要的意義。

2 系統(tǒng)描述

2.1 分?jǐn)?shù)階耗損型耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的描述

根據(jù)一些研究學(xué)者的成果發(fā)現(xiàn)，耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，對(duì)該系統(tǒng)的參數(shù)特征以及動(dòng)力特性進(jìn)行研究，可為實(shí)際工程的發(fā)電機(jī)系統(tǒng)提供重要的實(shí)際意義。前人詳細(xì)分析了整數(shù)階耗損型變形耦合發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，在此基礎(chǔ)上得到分?jǐn)?shù)階耗損型變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)[15]。

分?jǐn)?shù)階耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，階數(shù)為

當(dāng)參數(shù)分別為μ=2，γ=1，階數(shù)α=0.95 時(shí)，出現(xiàn)混沌吸引子。分?jǐn)?shù)階耗損型耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)

式中：Δfi（y）為不確定因素；di（t）為外界干擾（外界干擾在數(shù)值仿真時(shí)采用高斯函數(shù)的形式，即Ei（t），故將原來(lái)式子放到了數(shù)值仿真處）。

為方便下文表述，將分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)中引入部分函數(shù)

2.2 誤差系統(tǒng)的描述

由于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（5）與響應(yīng)系統(tǒng)（6）的階數(shù)不同，因此首先設(shè)計(jì)一個(gè)等效控制器U（x，y）={U1，U2，U3}∈R3×1，達(dá)到初步控制分?jǐn)?shù)階耗損型耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的目的。

將式（7）和式（8）代入式（6）得到

進(jìn)一步化簡(jiǎn)

現(xiàn)給出誤差系統(tǒng)定義[16]

由式（10）得到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（5）和響應(yīng)系統(tǒng)（6）的誤差系統(tǒng)

因此，針對(duì)式（11）設(shè)計(jì)合適的滑模面，使系統(tǒng)滿足到達(dá)條件，不斷調(diào)試對(duì)應(yīng)的控制器u（t）=（u1（t），u2（t），u3（t）），使得雙重不確定不同階數(shù)的非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)趨于同步狀態(tài)。

3 控制器的設(shè)計(jì)

3.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制器

為了后面的證明敘述方便，引入下面的假設(shè)以及定理[17]

假設(shè)1假設(shè)Δfi（x，y）和di（t）未知，并且滿足

引理1設(shè)有實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…，an，0<β<2。那么可以得到不等式

引理2假設(shè)存在連續(xù)正定函數(shù)V（t）滿足微分不等式V（t）≤-pV（t）n，?t≥t0，V（t0）≥0，式中p>0，0<δ <1 是2 個(gè)正常數(shù)。進(jìn)而任意選擇t0和滿足條件的V（t0）可以得到

引理3分?jǐn)?shù)階微分方程Lyapunov 穩(wěn)定性定理

對(duì)于一類分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)Dtax=f（x），x（0）=c，其中a∈（0，1]為分?jǐn)?shù)階算子的階數(shù)。系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x*為全局穩(wěn)定的，如果在點(diǎn)x*的Jacobian 矩陣J=的所有特征值λj（j=1，2，…，n）滿足下面條件|arg（λj）|>，j=1，2，…，n。

根據(jù)分?jǐn)?shù)階終端滑模控制理論及文獻(xiàn)[18]，設(shè)計(jì)非奇異滑模面

式中：0

定理1誤差系統(tǒng)（12）在非奇異滑模面（14）上，系統(tǒng)的軌道在有限時(shí)間tδ內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)，其中

證明當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)到達(dá)滑模面時(shí)滿足si（t）=0，故

選取Lyapunov 函數(shù)

對(duì)式（16）求導(dǎo)

根據(jù)引理2 可以得出有限時(shí)間的上界。因此，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為到達(dá)滑模面時(shí)，其可以在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)。

根據(jù)式（15）以及滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)理想的控制器u（t）=（u1（t），u2（t），u3（t））。其中，u（t）∈R1×3。

通過式（17）可以控制誤差系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)滿足到達(dá)條件并趨于穩(wěn)定，進(jìn)而使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（5）與響應(yīng)系統(tǒng)（6）同步。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離切換超平面時(shí)，上述控制器確保了系統(tǒng)能夠快速穩(wěn)定地到達(dá)滑模面[19]。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理以及滑?？刂评碚撨M(jìn)行驗(yàn)證。

證明 選取Lyapunov 函數(shù)

對(duì)式（18）求導(dǎo)得到

將式（11）代入

研究表明，無(wú)論誤差系統(tǒng)的初始條件如何，其都能夠滿足滑模到達(dá)條件。即使在滑模面si=0 以外的情況，也能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)或趨近滑模面[20]。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，誤差系統(tǒng)式（11）穩(wěn)定在平衡點(diǎn)，也就是實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步。但因?yàn)樵O(shè)計(jì)控制器u（t）的過程中加入了切換增益Ki（t），這就不可避免地給系統(tǒng)的控制效果帶來(lái)抖振，影響最終驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步效果[21]。

3.2 模糊滑?？刂破?/h3>

近幾年，模糊邏輯控制系統(tǒng)相關(guān)理論逐漸趨于成熟。通過上述設(shè)計(jì)的滑模面s（t），運(yùn)用模糊推理機(jī)制，最后去模糊化，將滑?？刂婆c模糊控制結(jié)合，減少最初設(shè)計(jì)的控制器u（t）中切換增益和符號(hào)函數(shù)帶來(lái)的不良影響，以達(dá)到優(yōu)化改進(jìn)的目的。

按照模糊邏輯控制系統(tǒng)的要求設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊滑?？刂破鳌?/p>

3.2.1 模糊化

模糊控制器的規(guī)則是基于專家知識(shí)或熟練的操作人員長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)。本文規(guī)定ss˙為模糊INPUT，ΔKi（t）為模糊OUTPUT。得到模糊集合為[22]

式中：NB 為負(fù)大；NM 為負(fù)中；NS 為負(fù)??；ZO 為0；PS為負(fù)??；PM 為正中；PB 為正大。

上述模糊集合的模糊輸入以及模糊輸出對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)分別如圖1 和圖2 所示。

圖1 sds 模糊輸入隸屬函數(shù)

圖2 dk 模糊輸出隸屬函數(shù)

3.2.2 模糊規(guī)則庫(kù)的建立

根據(jù)模糊規(guī)則庫(kù)的規(guī)則對(duì)ss˙和ΔKi（t）進(jìn)行模糊推理得

在控制器式（17）中，有一造成抖振的因素，即Ki（t）的值。Ki（t）的作用是為了補(bǔ)償Ei（t），目的是為了使得滑模滿足存在性條件。如若Ei（t）時(shí)變，Ki（t）也會(huì)時(shí)變。所以根據(jù)模糊邏輯控制系統(tǒng)，以專家經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)Ki（t）的變化[24]。

4 數(shù)值仿真

為確保自適應(yīng)模糊滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)有效保證誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定，通過數(shù)值模擬仿真，檢驗(yàn)控制器式（21）的有效性[25]。系統(tǒng)參數(shù)取μ=0.85，γ=0.17，λ1=1.92，λ2=2.87，λ3=4.73，r=0.6；對(duì)外界干擾di（t）采用高斯函數(shù)的形式，即取mj=5.0，nj=0.50。

設(shè)置系統(tǒng)初始值為y1（0）=0.98，y2（0）=1.37，y3（0）=2.01；x1（0）=1.96，x2（0）=0.89，x3（0）=3.22，自適應(yīng)率=（0.18，0.74，0.95）。利用Matlab 和Simulink 進(jìn)行數(shù)值仿真，得到誤差系統(tǒng)隨著時(shí)間的增加逐步趨于穩(wěn)定，誤差系統(tǒng)時(shí)間歷程圖如圖3 所示。傳統(tǒng)控制器時(shí)間歷程圖如圖4 所示，模糊滑?？刂破鲿r(shí)間歷程圖如圖5所示。

圖3 誤差系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖4 傳統(tǒng)控制器時(shí)間歷程圖

圖5 模糊滑模控制器時(shí)間歷程圖

圖3 仿真結(jié)果表明，從任意初始條件出發(fā)的誤差系統(tǒng)在控制器的作用下漸進(jìn)穩(wěn)定，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的同步。

在未加入模糊邏輯系統(tǒng)時(shí)，傳統(tǒng)意義下的滑模控制器因切換增益項(xiàng)帶有抖振[22]，圖4 仿真結(jié)果表明，傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器在運(yùn)行時(shí)，因切換增益項(xiàng)而存在抖振，影響系統(tǒng)的同步性能。

為削弱抖振，根據(jù)模糊控制規(guī)則，改善控制器的性能。由圖5 可知，根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)，加入模糊控制系統(tǒng)后，增強(qiáng)了控制系統(tǒng)的魯棒性，提高了傳統(tǒng)控制系統(tǒng)在系統(tǒng)存在外界干擾和不確定情況下的適應(yīng)性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)模糊滑?？刂蒲芯康默F(xiàn)狀進(jìn)行了介紹，分析了目前該控制方法的研究中存在的缺點(diǎn)與不足，并研究了一類帶有雙重不確定項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的同步問題。通過設(shè)計(jì)模糊規(guī)則，根據(jù)滑模到達(dá)條件對(duì)切換增益進(jìn)行有效估計(jì)。與現(xiàn)有文獻(xiàn)設(shè)計(jì)的滑?？刂破鞅容^，本文設(shè)計(jì)能有效削弱抖振并且在有限時(shí)間內(nèi)逐步趨于穩(wěn)定。利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了所改進(jìn)的控制的合理性。但是，在模糊化和反模糊化時(shí)，仍缺乏系統(tǒng)的方法，主要是依靠專家系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)試湊。因此，建立完善統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)自適應(yīng)模糊滑?？刂评碚撘约皩?shí)際仿真程序是下一步研究的重點(diǎn)。