鄭宏亮,閔富紅,張 雯,曹保國(guó)

(南京師范大學(xué)南瑞電氣與自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210023)

憶阻器[1]是根據(jù)電路完備性提出的第4種基本元件,填補(bǔ)了磁通-電荷關(guān)系的空白. 不同于RLC等線性元件,憶阻伏安關(guān)系呈現(xiàn)斜“8”字型緊磁滯回線的非線性特征[2-4],將其引入混沌電路容易產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,這引起了學(xué)者們的研究興趣. 隨后,多種憶阻混沌電路[5-8]被相繼提出,其中有含雙曲正切憶阻的Fitzhugh-Nagumo電路[9]、憶阻超混沌Jerk系統(tǒng)[10]、基于SBT憶阻器的改進(jìn)蔡氏電路[11]等.

為了研究非線性系統(tǒng)的多種振蕩模式和遲滯特性,學(xué)者們?cè)赩an Der Pol振蕩器基礎(chǔ)上提出Shinriki振蕩器[12]. 文獻(xiàn)[13]構(gòu)建整數(shù)階憶阻Shinriki電路,基于此研究系統(tǒng)的分岔特性,驗(yàn)證振蕩器的多穩(wěn)定性、超混沌以及多渦卷吸引子等特點(diǎn). 文獻(xiàn)[14]構(gòu)造含磁控和荷控憶阻的Shinriki電路,利用動(dòng)力學(xué)分析方法,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在的周期性混沌氣泡和不對(duì)稱共存行為,并通過(guò)吸引盆揭示振蕩器的極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象. 上述文獻(xiàn)對(duì)憶阻Shinriki振蕩器的研究都局限于伏安域,系統(tǒng)內(nèi)平衡點(diǎn)類(lèi)型很難確定,從而導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的預(yù)測(cè)不夠準(zhǔn)確.

因此,選擇合適降維方法,將憶阻混沌電路模型從電壓-電流域轉(zhuǎn)變至磁通-電荷域,既可以使不確定的面平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定平衡點(diǎn),又能將初值衍化為系統(tǒng)參數(shù)而易于調(diào)控. 文獻(xiàn)[15]采用積分變換的狀態(tài)變量映射法對(duì)憶阻超Jerk系統(tǒng)降維建模,將依賴初值的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為參數(shù)依賴的動(dòng)力學(xué)行為,在硬件電路中驗(yàn)證多穩(wěn)定性. 文獻(xiàn)[16]提出混合狀態(tài)函數(shù)增量積分法,基于此,重構(gòu)Jerk系統(tǒng)降維模型,通過(guò)雙參數(shù)映射圖分析無(wú)窮多吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象. 但是,上述降維方法均是針對(duì)電路方程,采用數(shù)學(xué)分析方法處理,未對(duì)電路模型做任何變動(dòng). 因此,一種從電路原理出發(fā)的磁通-電荷分析方法被應(yīng)用到憶阻混沌電路的降維建模中[17-20]. 該方法直接將電路模型的伏安關(guān)系全部替換為積分后的韋庫(kù)關(guān)系,解決了絕對(duì)值和分段函數(shù)等特殊函數(shù)無(wú)法不定積分的問(wèn)題. 但推導(dǎo)過(guò)程和狀態(tài)變量選擇存在一定難度,現(xiàn)有文獻(xiàn)未能實(shí)現(xiàn)全部初值衍化為系統(tǒng)參數(shù),因此未完全實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的重構(gòu).

基于此,本文利用所構(gòu)雙磁控憶阻Shinriki振蕩器,采用磁通-電荷分析方法降維建模,五階伏安域模型轉(zhuǎn)變?yōu)槿A韋庫(kù)域模型,狀態(tài)變量初值均衍化為精確對(duì)應(yīng)的可調(diào)系統(tǒng)參數(shù). 通過(guò)分岔軌跡、Lyapunov指數(shù)等分析方法研究系統(tǒng)在參數(shù)域的特殊對(duì)稱行為[21]. 在韋庫(kù)域內(nèi)對(duì)比研究不同憶阻和非憶阻參數(shù)、不同條件下的雙憶阻參數(shù)吸引盆,分析降維系統(tǒng)的無(wú)窮多運(yùn)動(dòng)狀態(tài)吸引子共存的極端多穩(wěn)態(tài)性,并就存在的Bursting現(xiàn)象[22-23]進(jìn)行探討. 最后,利用Multisim軟件構(gòu)建韋庫(kù)域等效電路模型,通過(guò)示波器觀察時(shí)序圖和相軌跡圖,驗(yàn)證數(shù)值仿真及磁通-電荷分析方法降維處理的正確性.

1 問(wèn)題提出

構(gòu)造含5個(gè)狀態(tài)變量的雙憶阻Shinriki振蕩器,數(shù)值仿真得到混沌相軌跡圖. 考慮不改變系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為基礎(chǔ)上降低系統(tǒng)復(fù)雜性,將依賴于初值的極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象衍生到方便調(diào)控的參數(shù)域內(nèi),同時(shí)便于模塊化搭建Multisim等效電路,捕捉系統(tǒng)在超級(jí)多穩(wěn)態(tài)時(shí)經(jīng)歷的不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)吸引子. 選擇磁通-電荷分析方法對(duì)系統(tǒng)降維處理,得到精確的三階降維模型. 系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為得以重現(xiàn)且5個(gè)狀態(tài)初值均衍化為系統(tǒng)參數(shù),該過(guò)程分以下兩部分闡述.

圖1 雙憶阻Shinriki振蕩器模型Fig.1 Two-memristor-based Shinriki oscillator model

1.1 電路模型

以Shinriki振蕩器為基礎(chǔ),引入無(wú)源磁控憶阻替代原電路非線性正電導(dǎo)區(qū)域的二極管橋,將RLC諧振回路的電阻支路替換為有源磁控憶阻,同時(shí)在電感支路串聯(lián)電阻R5. 構(gòu)建圖1的憶阻混沌電路,該電路還包括非線性負(fù)電導(dǎo)區(qū)域以及電容C0. 優(yōu)化的Shinriki振蕩器含有5個(gè)動(dòng)態(tài)元件,分別為電容C0、C,電感L,三次無(wú)源磁控憶阻W1(φ1)和三次有源磁控憶阻W2(φ2),對(duì)應(yīng)5個(gè)狀態(tài)變量VC0,VC,iL,φ1和φ2. 根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律和電路元件間的本構(gòu)關(guān)系,推導(dǎo)狀態(tài)方程為:

(1)

式(1)中兩個(gè)磁控憶阻的憶導(dǎo)方程為

(2)

為了方便后續(xù)討論,對(duì)狀態(tài)變量和元件參數(shù)進(jìn)行處理,令VC0=x,VC=y,iL=z,φ1=u,φ2=v,1/C0=a,1/C=b,1/L=c,1/R3-1/R4=d和R5=e,得到簡(jiǎn)化后系統(tǒng)的非線性微分方程組

(3)

初值設(shè)置為(x(0),y(0),z(0),u(0),v(0))=(10-6,10-6,10-6,0,0),系統(tǒng)參數(shù)固定為表1,獲得圖2的雙渦卷吸引子. 此時(shí),系統(tǒng)的李氏指數(shù)是L1=0.256 8,L2=0.009 2,L3=-0.001 7,L4=-0.002 9,L5=-10.324 5 表明系統(tǒng)處于混沌態(tài).

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

圖2 雙憶阻Shinriki振蕩器相圖Fig.2 Phase diagram of two-memristor-based Shinriki oscillator

圖3 憶阻Shinriki電路降維模型Fig.3 Dimensionality reduction model ofmemristive Shinriki circuit

1.2 降維模型

根據(jù)磁通-電荷分析方法,電路元件的磁通和電荷從0到t的增量分別被定義為φ(t,0)=φ(t)-φ(0)及 q(t,0)=q(t)-q(0),其中φ(0,0)=0,q(0,0)=0. 圖3所示電路元件磁通增量被定義為φW1(t,0)、φW2(t,0)、φC(t,0)、φC0(t,0)、φL(t,0)、φR3(t,0)、φR4(t,0)、φR5(t,0),依次對(duì)應(yīng)無(wú)源憶阻W1、有源憶阻W2、電容C和C0、電感L、電阻R3、R4和R5. 相應(yīng)地,各元件電荷增量定義為 qW1(t,0)、qW2(t,0)、qC(t,0)、qC0(t,0)、qL(t,0)、qR3(t,0)、qR4(t,0)、qR5(t,0),同時(shí),各元件磁通和電荷參考方向在圖3中標(biāo)出.

按照磁通-電荷分析方法的定義以及電路元件間的電氣連接關(guān)系,列出系統(tǒng)在磁通-電荷域的關(guān)系式:

(4)

式中,各元件初值分別為qC0(0)=C0VC0(0)、qC(0)=CVC(0)、φL(0)=LiL(0),且VC0(0)、VC(0)和iL(0)和電壓-電流域的前3項(xiàng)初值等價(jià).

憶阻W1和W2的數(shù)學(xué)模型如下:

(5)

解釋?xiě)涀枘Ｐ捅緲?gòu)關(guān)系,下式是憶阻W1的關(guān)系式:

(6)

憶阻W2的關(guān)系式如下:

(7)

根據(jù)電路模型,類(lèi)比推導(dǎo)系統(tǒng)三階常微分方程:

(8)

綜上,整理化簡(jiǎn)后電路的韋庫(kù)域狀態(tài)方程:

(9)

然后,令x=φC0(t,0),y=φC(t,0),z=qL(t,0),β1=VC0(0),β2=VC(0),β3=iL(0),β4=φW1(0),β5=φW2(0),將方程規(guī)范為:

(10)

(11)

通過(guò)磁通-電荷分析方法將系統(tǒng)從伏安域轉(zhuǎn)變?yōu)轫f庫(kù)域三階模型. 其中,電容C0和C的初值VC0(0)、VC(0),電感L的初值iL(0),憶阻W1的初值φ1(0),憶阻W2的初值φ2(0)分別衍化為可調(diào)控參數(shù)β1、β2、β3、β4、β5. 為了保證韋庫(kù)域分析的準(zhǔn)確性,式(11)的初始條件被設(shè)定為x(0)=0,y(0)=0,z(0)=0. 選取β1=β2=β3=10-6,β4=β5=0,其余電路參數(shù)設(shè)置和表1保持一致,振蕩器在韋庫(kù)域的混沌雙渦卷吸引子如圖4所示.

圖4 降維后振蕩器相圖Fig.4 Phase diagram of oscillator after dimension reduction

2 動(dòng)力學(xué)行為分析

2.1 對(duì)稱參數(shù)域的共存分岔現(xiàn)象

重構(gòu)式(11)降維系統(tǒng)隨參數(shù)c,d變化的動(dòng)力學(xué)行為. c代表振蕩器電感值的倒數(shù),d表示負(fù)電導(dǎo)R3與正電導(dǎo)R4的差值. 其它參數(shù)選擇如表1,將初值衍生參數(shù)設(shè)置為(±10-6,±10-6,±10-6,0,0),降維系統(tǒng)初值設(shè)置為(0,0,0). 圖5(a)和圖6(a)是xmax隨c,d變化的共存分岔軌跡,c,d在衍生參數(shù)取(10-6,10-6,10-6,0,0)的L1～L3共3根Lyapunov指數(shù)分別在圖5(b)和圖6(b)給出.

圖5 隨參數(shù)c變化的共存分岔圖和李氏指數(shù)譜Fig.5 Coexistence bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum with parameter c

圖6 隨參數(shù)d變化的共存分岔圖和李氏指數(shù)譜Fig.6 Coexistence bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum with parameter d

從圖5(a)不難觀察出,c在(14.6,23.8)內(nèi),降維憶阻系統(tǒng)隨取值增加,先后遍歷混沌、周期窗、多周期,然后經(jīng)反倍周期分岔進(jìn)入周期1,最后到達(dá)穩(wěn)定點(diǎn). 當(dāng)c小于14.6時(shí),系統(tǒng)處于大周期狀態(tài),對(duì)應(yīng)分岔圖的xmax跳變?yōu)闃O大的值,且李氏指數(shù)譜的L3驟降為極小的值,考慮主體部分的可觀察性,該部分未在圖5 給出,僅作闡述. 在c∈(14.6,16.31)∪(16.684,18.928)時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生混沌吸引子,對(duì)應(yīng)圖5(b)最大Lyapunov指數(shù)L1>0. 觀察圖5(a)發(fā)現(xiàn),當(dāng)c位于(16.31,16.684)∪(18.928,23.68)時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài),而c>23.68時(shí)L1<0,進(jìn)入穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)狀態(tài). 再來(lái)分析圖6(a),系統(tǒng)隨d變化的共存分岔軌跡與圖5(a)變化規(guī)律呈現(xiàn)對(duì)稱性. d由1.59開(kāi)始增加,系統(tǒng)先后經(jīng)歷穩(wěn)定點(diǎn)、倍周期分岔至混沌態(tài)、多周期以及大周期等運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 結(jié)合圖6(b)的Lyapunov指數(shù),將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)與具體區(qū)間分布列于表2,更直觀展現(xiàn)特殊參數(shù)對(duì)稱行為. 此外,c取相反衍生參數(shù)時(shí),分岔軌跡在(18.4,23.8)內(nèi)平移互補(bǔ),剩余區(qū)間完全重合. 相應(yīng)地,d在(1.59,2.03)內(nèi)也平移互補(bǔ),其余部分表現(xiàn)重合一致性.

表2 系統(tǒng)隨參數(shù)c,d變化的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和Lyapunov指數(shù)Table 2 Motion state and Lyapunov exponent of the system with parameter c,d

2.2 極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象

下面研究降維系統(tǒng)在單憶阻和非憶阻初值衍生參數(shù)同時(shí)變化時(shí)的極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象. 圖7繪制不同衍生參數(shù)的6組吸引盆,除去每張吸引盆橫縱坐標(biāo)兩個(gè)有變化區(qū)間的衍生參數(shù),剩余3個(gè)衍生參數(shù)值均設(shè)置為0,系統(tǒng)初值統(tǒng)一為(0,0,0). 圖中,“SP”指穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn),“P1～P8”表示周期1至周期8極限環(huán),“CM”則代表混沌、多周期等復(fù)雜運(yùn)動(dòng).

圖7 吸引盆平面Fig.7 Attraction basin

圖7中6組吸引盆關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)呈現(xiàn)多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)共存和中心對(duì)稱特性. 復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)被包裹于不同周期數(shù)的周期區(qū)域內(nèi),復(fù)雜運(yùn)動(dòng)中鑲嵌零星多周期運(yùn)動(dòng). 從坐標(biāo)原點(diǎn)向四處延伸,可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)依次遍歷復(fù)雜運(yùn)動(dòng)、多周期運(yùn)動(dòng)、低周期運(yùn)動(dòng)和穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn). 其中,圖7(a)、圖7(d)、圖7(e)隨衍生參數(shù)的增長(zhǎng),復(fù)雜運(yùn)動(dòng)范圍向邊界無(wú)限延伸,而圖7(b)、圖7(c)、圖7(f)中周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域?qū)?fù)雜運(yùn)動(dòng)完全包圍住. 圖7(a)、圖7(c)、圖7(e)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)區(qū)域表現(xiàn)為“S”狀演變趨勢(shì),平面主要被周期1和復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)覆蓋,其余周期狀態(tài)小范圍貼合于復(fù)雜運(yùn)動(dòng)周?chē)蛄阈氰偳对趶?fù)雜運(yùn)動(dòng)中. 而圖7(b)、圖7(d)、圖7(f)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)則均呈“螃蟹”狀,在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的同時(shí)滿足橫縱坐標(biāo)軸對(duì)稱,大范圍周期1和混沌態(tài)共存,周期數(shù)由邊界向原點(diǎn)方向遞增,最終將混沌態(tài)嵌套在內(nèi)部. 相較于無(wú)源參數(shù)β4分別與非憶阻衍生參數(shù)β1、β2、β3的組合,有源參數(shù)β5與三者構(gòu)成的吸引盆平面,具有更多周期態(tài)的同時(shí)不同周期態(tài)的分布范圍更廣,在相同條件下,β5對(duì)應(yīng)的極端多穩(wěn)態(tài)范圍更大且多穩(wěn)態(tài)行為更復(fù)雜. 因此,可以認(rèn)為控制有源參數(shù)時(shí),振蕩器具有較好的魯棒性和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.

進(jìn)一步分析憶阻對(duì)系統(tǒng)極端多穩(wěn)態(tài)特性的影響,選擇β4和β5為控制參數(shù),仿真相反非憶阻初始參數(shù)條件下,振蕩器在β5-β4平面上關(guān)于xmax的吸引盆如圖8所示,參數(shù)區(qū)間選擇參考圖7. 從β4來(lái)看,兩張吸引盆中的10種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均關(guān)于β4=0對(duì)稱,系統(tǒng)對(duì)稱性在無(wú)源憶阻的影響下仍然延續(xù)下來(lái),反觀β5,當(dāng) |β5|>2.8 時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為關(guān)于β5=0對(duì)稱,而在-2.8<β5<2.8范圍內(nèi)對(duì)稱性遭到破壞,這種現(xiàn)象可能和憶阻有源性相關(guān). 同時(shí)在該區(qū)間內(nèi),改變非憶阻衍生參數(shù)正負(fù),發(fā)現(xiàn)圖8兩者運(yùn)動(dòng)狀態(tài)反向?qū)ΨQ. 由此可以推斷,有源磁控憶阻的存在,極大地豐富了Shinriki振蕩器的極端多穩(wěn)態(tài)行為.

圖8 雙憶阻衍生參數(shù)β5-β4平面吸引盆,初值(0,0,0)Fig.8 The attraction basin of double memristive derivative parameters β5-β4 plane,initial value(0,0,0)

驗(yàn)證降維系統(tǒng)的極端多穩(wěn)態(tài)性,利用相軌跡觀察圖7(b)和圖8中吸引盆某些離散點(diǎn)的吸引子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖9所示. 其中圖9(a)～圖9(d)再現(xiàn)β1和β5吸引盆平面的共存吸引子,設(shè)置(β2,β3,β4)=(0,0,0),選擇xz平面上數(shù)值仿真. 在圖9(a)中,當(dāng)β1=±0.7,β5=±6時(shí),無(wú)論兩值同號(hào)或異號(hào),對(duì)稱系統(tǒng)均表現(xiàn)為周期1極限環(huán)共存,因此僅繪制同號(hào)時(shí)相圖;而在圖9(b)～圖9(d)中,隨著β1和β5取值不同,同號(hào)或異號(hào)時(shí)表現(xiàn)為不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的吸引子共存,反映系統(tǒng)在初值域中心對(duì)稱的特點(diǎn). 圖9(b)同號(hào)時(shí)呈現(xiàn)周期2共存,異號(hào)時(shí)為周期4共存,圖9(c)則出現(xiàn)周期3與單渦卷共存,而圖9(d)表現(xiàn)為不同拓?fù)涞闹芷?和雙渦卷共存. 對(duì)應(yīng)參數(shù)值在圖中標(biāo)出,隨著取值愈發(fā)接近原點(diǎn),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)逐漸復(fù)雜,呈現(xiàn)低周期到高周期、單渦卷到多渦卷的變化,吸引子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不斷豐富,既驗(yàn)證了吸引盆的極端多穩(wěn)態(tài)性,又揭示不同取值下的吸引子運(yùn)動(dòng)軌跡. 圖9(e)和圖9(f)是在yz平面仿真的圖10對(duì)應(yīng)的相位圖,其中非憶阻項(xiàng)β1=β2=β3=±10-6,周期域選取β4=±0.2,β5=±1.8,非憶阻與憶阻項(xiàng)同號(hào)時(shí)為相平面內(nèi)小幅振蕩的周期1極限環(huán)共存,異號(hào)則呈現(xiàn)出小幅周期2極限環(huán)共存. 而當(dāng)β4=±0.6,β5=±1.5時(shí),無(wú)論同號(hào)異號(hào)系統(tǒng)均為雙渦卷混沌態(tài)共存. 對(duì)比圖9(e)和圖9(f),觀察到兩者在衍生參數(shù)同號(hào)時(shí)吸引子位置發(fā)生顛倒,由此看出雙憶阻平面存在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更復(fù)雜的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.

圖9 吸引子共存相軌跡Fig.9 Attractor coexistence phase trajectory

2.3 類(lèi)神經(jīng)元的Bursting現(xiàn)象

研究雙憶阻衍生參數(shù)影響的吸引子共存情況. 固定非憶阻參數(shù)為(β1,β2,β3)=(±10-6,±10-6,±10-6),選擇兩組不同雙憶阻參數(shù)值,觀察到圖10的兩種類(lèi)神經(jīng)元Bursting現(xiàn)象. 當(dāng)取β4=±0.5,β5=±3時(shí),仿真得到圖10(a)、圖10(b),圖10(a)是舍去前100 s時(shí)間后,截取的t∈(100,300)的z方向時(shí)序圖,混沌態(tài)的Bursting行為由非周期性小幅振蕩的沉寂態(tài)和尖峰狀的激發(fā)態(tài)組成. 沉寂態(tài)的小幅振蕩在z=0附近,衍生參數(shù)均為正時(shí)向上跳變激發(fā),為負(fù)時(shí)則是相同幅值的負(fù)方向激發(fā),對(duì)應(yīng)yz平面共存相圖在圖10(b)中給出,觀察到運(yùn)動(dòng)軌跡由原點(diǎn)處穩(wěn)定的小幅振蕩出發(fā),隨取值正負(fù)表現(xiàn)為對(duì)稱的向上或向下激發(fā)的大幅值混沌環(huán)狀態(tài). 保持β5不變,調(diào)整β4=±0.6,得到異于上述Bursting現(xiàn)象的圖10(c)、圖10(d). 對(duì)比發(fā)現(xiàn),該種情況下衍生參數(shù)均為正時(shí),運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)為在z=2.5附近的沉寂態(tài),向負(fù)方向激發(fā)的尖峰,取值為負(fù)時(shí)則是在z=-2.5處小幅振蕩,向正方向大幅值激發(fā),相軌跡也體現(xiàn)了這種特點(diǎn).

圖10 Bursting現(xiàn)象Fig.10 Bursting phenomenon

綜上所述,憶阻衍生參數(shù)的微調(diào)導(dǎo)致對(duì)稱系統(tǒng)兩種不同趨勢(shì)的混沌Bursting共存現(xiàn)象的出現(xiàn):相同處沉寂,向相反方向激發(fā);相反處沉寂,向相同處激發(fā). 可以看出,憶阻引入極大的豐富系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,類(lèi)神經(jīng)元現(xiàn)象的捕捉對(duì)于研究自治系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)系具有重要意義.

3 Multisim數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)

驗(yàn)證Matlab數(shù)值仿真的結(jié)果,構(gòu)建3階韋庫(kù)域Shinriki系統(tǒng)的Multisim等效電路. 根據(jù)式(11)和基本運(yùn)算電路模塊(求和、積分、反向等),采用電阻、電容、運(yùn)算放大器和模擬乘法器等元件設(shè)計(jì)的等效電路模型如圖11所示. 該電路包括3個(gè)線性通道、3個(gè)非線性通道和5個(gè)直流電壓源. 其中,線性第一通道實(shí)現(xiàn)的是中間函數(shù)y-x,線性第二和第三通道分別對(duì)應(yīng)式(11)的g1(y-x)和g2(y)函數(shù),3個(gè)非線性通道分別對(duì)應(yīng)式(11)的微分方程組,具體元件參數(shù)在圖11中一一標(biāo)注.

考慮等效電路的正確性,將圖11(b)的x,y,z輸出端分別連接至示波器,觀察降維系統(tǒng)的xy、yz面相圖如圖12(a)、圖12(b)所示. 容易看出,實(shí)驗(yàn)波形與圖4的數(shù)值仿真結(jié)果一致.

緊接著,確認(rèn)系統(tǒng)極端多穩(wěn)態(tài)行為的豐富性,驗(yàn)證圖9部分吸引子相軌跡,調(diào)整圖11中等效直流電壓源β1,β2,β3,β4,β5值,在示波器中捕捉對(duì)應(yīng)相位圖如圖13所示. 圖13(a)～圖13(d)是對(duì)圖9(b)4種初值衍生參數(shù)情況下的相軌跡捕捉,圖13(e)～圖13(h)是對(duì)圖9(c)的驗(yàn)證,圖13(i)、圖13(j)驗(yàn)證圖9(e)非憶阻和憶阻參數(shù)異號(hào)的周期2共存現(xiàn)象,圖13(k)、圖13(l)捕捉圖9(f)的雙渦卷軌跡.

圖14是在等效電路中結(jié)合圖10的參數(shù)取值,對(duì)類(lèi)神經(jīng)元Bursting現(xiàn)象的復(fù)現(xiàn). 可以發(fā)現(xiàn),示波器的時(shí)序圖和相軌跡與數(shù)值仿真高度一致,自治系統(tǒng)中受憶阻初值影響的Bursting現(xiàn)象得到充分證明,系統(tǒng)降維后初值易于調(diào)控的特點(diǎn)對(duì)超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的驗(yàn)證以及數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)都有極大裨益.

圖11 三階降維Shinriki振蕩器等效電路Fig.11 Equivalent circuit of third-order reduced dimension Shinriki oscillator

圖12 相位圖:韋庫(kù)域模型Fig.12 Phase diagram:flux-charge domain model

圖13 吸引子相軌跡圖驗(yàn)證Fig.13 The verification of attractor phase trajectory

圖14 Bursting現(xiàn)象驗(yàn)證Fig.14 The verification of Bursting phenomenon

4 結(jié)論

本文根據(jù)伏安域雙憶阻Shinriki振蕩器,采用磁通-電荷分析方法,構(gòu)建系統(tǒng)韋庫(kù)域降維模型. 通過(guò)共存分岔和Lyapunov指數(shù)分析,發(fā)現(xiàn)表征電感的參數(shù)c、電導(dǎo)的參數(shù)d在特定區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生對(duì)稱動(dòng)力學(xué)行為. 然后,重點(diǎn)探討含憶阻初值衍生參數(shù)的極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,振蕩器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程初值表現(xiàn)出敏感性,初值變化引起多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)吸引子共存,并通過(guò)相軌跡圖驗(yàn)證. 緊接著,分析憶阻初值域的兩種類(lèi)神經(jīng)元Bursting現(xiàn)象. 最后,利用Multisim電路仿真軟件,實(shí)現(xiàn)降維前/后的憶阻混沌電路,通過(guò)示波器捕捉相應(yīng)的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)吸引子相軌跡圖,完成對(duì)Bursting現(xiàn)象的觀察,驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性.