韓忠輝，張道成

(中國(guó)人民解放軍91404部隊(duì),河北 秦皇島 066000)

1 整周模糊度的基本概念

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,載波相位載體姿態(tài)的精確測(cè)量在軍事、民用、商用等方面顯得日益重要。我們?cè)谶M(jìn)行載波相位測(cè)量時(shí),接收機(jī)實(shí)際上能測(cè)定的只是不足一整周的部分,因?yàn)檩d波是一種單純的余弦波,不帶有任何識(shí)別標(biāo)志,所以我們無(wú)法確定正在測(cè)量的是第幾個(gè)整周的小數(shù)部分,于是在載波相位測(cè)量中便出現(xiàn)了一個(gè)整周未知數(shù),也叫整周模糊度。

2 整周模糊度浮點(diǎn)解求解技術(shù)的發(fā)展

隨著GPS載波相位差分技術(shù)的深入研究,利用兩個(gè)或多個(gè)接收機(jī)進(jìn)行高精度的載體姿態(tài)測(cè)量成為可能?？焖?、準(zhǔn)確、可靠地求解整周模糊度是載體姿態(tài)測(cè)量的關(guān)鍵問(wèn)題之一。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者和研究人員做了大量的工作。安徽理工大學(xué)徐躍[1]針對(duì)短基線單歷元解算考慮到GEO衛(wèi)星模糊度較難固定問(wèn)題,在寬巷模糊度固定的基礎(chǔ)上約束固定出IGSO和MEO衛(wèi)星的模糊度,然后再用IGSO和MEO衛(wèi)星模糊度約束固定出GEO衛(wèi)星模糊度,而固定寬巷模糊度時(shí)法方程的病態(tài)性則通過(guò)基于奇異值分解的正則化法來(lái)解決,在N、E、U方向定位精度達(dá)到厘米級(jí)。武漢大學(xué)沈明星[2]針對(duì)GNSS網(wǎng)絡(luò)RTK參考站間三頻模糊度確定進(jìn)行相關(guān)研究,詳細(xì)介紹了網(wǎng)絡(luò)RTK技術(shù)中參考站間模糊度確定、誤差改正數(shù)生成和流動(dòng)站定位的相關(guān)理論和算法,開(kāi)展了相關(guān)研究。武漢大學(xué)隋心[3]在任意GNSS系統(tǒng)之間、不同波長(zhǎng)之間、不同基線長(zhǎng)度條件下均可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)間雙差模糊度構(gòu)建和固定為目標(biāo),提出顧及系統(tǒng)間雙差模糊度固定的多GNSS定位統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型。

3 有約束條件的整周模糊度浮點(diǎn)解求解

在實(shí)際的姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)中,由于對(duì)實(shí)時(shí)性要求比較高,所以短時(shí)間模糊度的固定就顯得非常重要,但是在較短的觀測(cè)歷元下,往往會(huì)出現(xiàn)以下幾種情況:第一種情況是,由于各種噪聲的影響,使模糊度浮點(diǎn)解精度很差,這樣導(dǎo)致浮點(diǎn)解構(gòu)成的模糊度搜索空間中并沒(méi)有正確的整數(shù)解存在,從而導(dǎo)致求解失敗;第二種情況是,即使模糊度真值在搜索空間中,但最后模糊度收斂值并非模糊度正確解,這時(shí)就必須利用后續(xù)歷元的觀測(cè)量進(jìn)行計(jì)算和檢驗(yàn),這樣就延長(zhǎng)了模糊度固定時(shí)間;第三種情況是,由于短時(shí)間模糊度之間有非常強(qiáng)的相關(guān)性,使得模糊度搜索空間極其狹長(zhǎng),盡管Z變換后也如此,這時(shí)對(duì)于實(shí)時(shí)姿態(tài)輸出系統(tǒng),如何快速地搜索模糊度就顯得尤其重要。

為了在短時(shí)間內(nèi)得到高精度的浮點(diǎn)解,我們常常借助于一些額外的輔助措施[4-7],例如對(duì)于短基線姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)來(lái)說(shuō),通過(guò)事先接收機(jī)天線間的基線長(zhǎng)度可以精確得知,一些低成本的慣性器件短時(shí)間內(nèi)可以實(shí)時(shí)地給出姿態(tài)角的近似參考值,從而提高模糊度解算的成功率。在GPS短基線載波相位雙差觀測(cè)模型中,主要考慮兩組未知數(shù),分別是基線矢量和雙差整周模糊度。為了在短時(shí)間內(nèi)得到精確的姿態(tài)結(jié)果,必須利用模糊度的整數(shù)特性。LAMBDA(最小二乘降相關(guān)平差法)算法以其較好的性能和完備的理論體系得到越來(lái)越多的關(guān)注,下面給出了基于LAMBDA算法的基線長(zhǎng)度和俯仰角約束的浮點(diǎn)解求解方法。

3.1 基線長(zhǎng)度約束虛擬觀測(cè)方程

在GPS定向解算算法中,固定長(zhǎng)的基線可以提供可靠的觀測(cè)信息。下面將基線長(zhǎng)度信息融入雙差方差中去。

S2=(ΔX0+dX)2+(ΔY0+dY)2+(ΔZ0+dZ)2

(1)

式中,X0等為初始基線坐標(biāo),它可以通過(guò)初始碼定位或其他方法得到,S為基線長(zhǎng)度;(dx,dy,dz)為基線的改正數(shù)向量,也是雙差定位中的未知向量。展開(kāi)上式有

2ΔX0dX+2ΔY0dY+2ΔZ0dZ

(2)

令dx2+dy2+dz2=K2,整理得:

(3)

其中,S0為初始基線向量的長(zhǎng)度,K2為一大于0的變量,其精度與初始基線精度有關(guān)。將上式寫(xiě)成矩陣形式有

(4)

3.2 俯仰角約束虛擬觀測(cè)方程

根據(jù)WGS-84坐標(biāo)系與ENU坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系有

(5)

dz=S·(sin(p)-sin(p0))

(6)

式中,p0為初始基線矢量(ΔX0,ΔY0,ΔZ0)求解的初始俯仰角,p為當(dāng)前估計(jì)的俯仰角,S為基線長(zhǎng)度。所以,根據(jù)式(5)和式(6)有

S(sin(p)-sin(p0))=

(7)

3.3 浮點(diǎn)解方程的組建

為了提高模糊度浮點(diǎn)解的精度,采用載波相位、偽距、基線長(zhǎng)度和俯仰角等信息來(lái)建立浮點(diǎn)解方程。具體如下

(8)

其中,A為GPS觀測(cè)值的系數(shù)矩陣,AS為基線長(zhǎng)度的系數(shù)陣,AP為俯仰角約束的系數(shù)陣,λ1為載波L1的波長(zhǎng),I為單位矩陣,b為未知基線向量,N為未知模糊度向量,νL1、νCA、νs、νp分別為觀測(cè)值L1、CA基線長(zhǎng)度和俯仰角的改正數(shù);lL1、lCA為L(zhǎng)1、CA觀測(cè)值與幾何距離之差;ls為基線長(zhǎng)度與其初始值之差。

從式(8)可以看出,即使在單歷元情況下,該方程也是滿(mǎn)秩的,但是為了能夠連續(xù)利用后續(xù)歷元的信息,這里給出一種模糊度向量和基線向量分離的最小二乘求解方法。

假設(shè)未知向量b、N和觀測(cè)值L組成的方程可以寫(xiě)成如下形式:

L=Ab+BN+VP

(9)

式中,A、B分別為基線向量和模糊度向量的系數(shù)矩陣,P為觀測(cè)值的權(quán)矩陣。經(jīng)過(guò)變換可得如下矩陣形式:

(10)

(11)

由此可見(jiàn),式(11)只是關(guān)于模糊度的求解公式。在實(shí)現(xiàn)該模型時(shí),由于偽距和載波相位精度有著數(shù)量級(jí)上的差距,導(dǎo)致載波相位觀測(cè)量淹沒(méi)在偽距觀測(cè)量的噪聲中,很難得到高精度的浮點(diǎn)解,所以必須合理地選取相位觀測(cè)量與偽距觀測(cè)量之間的權(quán)重比。另外,基線長(zhǎng)度約束和俯仰角約束權(quán)矩陣的選擇往往與先驗(yàn)精度有關(guān),理論上基線矢量先驗(yàn)精度越高,為了在方程組中體現(xiàn)其作用,則對(duì)應(yīng)的權(quán)重就應(yīng)該越大。

4 仿真及實(shí)現(xiàn)

為了分析基線長(zhǎng)度與俯仰角約束權(quán)矩陣對(duì)LAMBDA算法的影響,下面給出權(quán)的選取對(duì)模糊度成功率影響的仿真。圖1中的俯仰角噪聲的方差設(shè)為σ2(n)。

圖1 基線長(zhǎng)度與俯仰角約束權(quán)重對(duì)模糊度成功率的影響

從圖1可以看出,權(quán)重的選取對(duì)模糊度的固定成功率有很大影響,對(duì)方差為2°的傾角約束誤差來(lái)說(shuō),當(dāng)權(quán)重取1 000左右效果最好;而且方差不同,最高成功率處的權(quán)重也不同,所以只有合理地選取約束值的權(quán)重才能使解算結(jié)果改善。

為了仿真約束條件下模糊度浮點(diǎn)解的精度,這里采用自編單基線GPS原始數(shù)據(jù)生成軟件進(jìn)行仿真。圖2為單基線觀測(cè)數(shù)據(jù)模擬圖。仿真共用400個(gè)歷元,共視的衛(wèi)星ID為[1,5,6,11,12,20,21],其中主衛(wèi)星采用高度角最高的1號(hào)衛(wèi)星;基線長(zhǎng)度設(shè)定為1.0 m;參與約束的俯仰角采用在俯仰角真值基礎(chǔ)上加上方差為2°的誤差,具體度數(shù)范圍見(jiàn)圖3;載波相位與偽距方差-協(xié)方差矩陣均采用單位陣模型,約束方程的載波相位、C/A碼偽距、基線長(zhǎng)度和俯仰角權(quán)重比為100 000∶2.5∶100∶100;整周模糊度真值采用全部歷元解算,仿真中給出了單歷元和遞推歷元兩種解算模糊度的浮點(diǎn)解與模糊度真值的差值。仿真程序界面具體參見(jiàn)圖4至圖9。

圖2 單基線GPS原始數(shù)據(jù)生成軟件

圖3 約束俯仰角度數(shù)仿真圖

圖4 衛(wèi)星5-1模糊度浮點(diǎn)解誤差圖

圖5 衛(wèi)星6-1模糊度浮點(diǎn)解誤差圖

圖6 衛(wèi)星11-1模糊度浮點(diǎn)解誤差圖

圖7 衛(wèi)星12-1模糊度浮點(diǎn)解誤差圖

圖8 衛(wèi)星20-1模糊度浮點(diǎn)解誤差圖

圖9 衛(wèi)星21-1模糊度浮點(diǎn)解誤差圖

從仿真圖4到9中可以看出,無(wú)論是單歷元的解算還是多歷元的解算,衛(wèi)星截止角分別為5、6、11時(shí),并且浮點(diǎn)模糊度的浮點(diǎn)解精度沒(méi)有太大的變化,變化不是很明顯,當(dāng)增加到12、20時(shí),單歷元的浮點(diǎn)模糊度的浮點(diǎn)解精度有了明顯的增加,當(dāng)變化為21時(shí),浮點(diǎn)模糊度的浮點(diǎn)解精度變化不是特別明顯。

但是無(wú)論截止角如何變化,當(dāng)歷元在0～290時(shí),浮點(diǎn)的模糊值和實(shí)際的真值存在一定的差距,從模糊度浮點(diǎn)解誤差圖可以看出,單歷元模糊度的浮點(diǎn)解糊度一般在真值±5周以?xún)?nèi),而遞推計(jì)算的模糊度浮點(diǎn)解精度則相對(duì)較高,它利用當(dāng)前歷元以及前面所有歷元的觀測(cè)值信息,可以看出當(dāng)?shù)?00歷元以后直至400歷元,單歷元模糊度的浮點(diǎn)解糊度的真值接近于0,也就是說(shuō)基本上都接近模糊度固定解真值,此時(shí)可以直接對(duì)其取整即為正確的整周模糊度。

LAMBDA算法最后按照殘差由小到大依次給出指定的多個(gè)候選值,前兩個(gè)候選值代表“最優(yōu)解”和“次優(yōu)解”。如果浮點(diǎn)解精度足夠高的話(huà),那么第一個(gè)候選值就是真實(shí)的整周模糊度。然而,短時(shí)間內(nèi),真實(shí)的模糊度解往往不在第一個(gè),通過(guò)對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,這里進(jìn)行了遞推求解模糊度浮點(diǎn)解時(shí)的真實(shí)模糊度出現(xiàn)位置仿真,見(jiàn)圖10。

圖10 遞推歷元下正確候選值出現(xiàn)的位置

從圖10可以看出,模糊度真實(shí)解的位置隨著時(shí)間的增加逐漸靠近“最優(yōu)解”,這時(shí)因?yàn)槟：雀↑c(diǎn)解的精度隨著時(shí)間的增加而變高,所以可以通過(guò)模糊度浮點(diǎn)解的精度來(lái)動(dòng)態(tài)的調(diào)整模糊度候選點(diǎn)數(shù)。當(dāng)浮點(diǎn)解精度高于某一定值時(shí),此時(shí)的最優(yōu)解就是模糊度真實(shí)解。

5 結(jié)束語(yǔ)

求解整周模糊度時(shí),依賴(lài)的浮點(diǎn)解精度要求很高,同時(shí)短歷元求解的浮點(diǎn)解一般偏離真值很大,這時(shí)搜索的成功率很低。作者提出了基線長(zhǎng)度和俯仰角約束的模糊度浮點(diǎn)解求解方法,并給出一種參數(shù)分離的最小二乘求解方法,該方法有利于多歷元的遞推解算。不難發(fā)現(xiàn)隨著歷元數(shù)的增加,浮點(diǎn)解的精度也逐漸增加。