上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)董海濤名師工作室 (201600) 曾 錚

在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)列位于知識點交匯處，與許多章節(jié)的內(nèi)容有著密切的聯(lián)系.同時，數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，方程與函數(shù)、分類討論、化歸和轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等中學(xué)數(shù)學(xué)常用的思想方法在數(shù)列中都有充分的展現(xiàn)和應(yīng)用，在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，尤其要重視函數(shù)思想的應(yīng)用，因為數(shù)列是特殊的函數(shù).

一、從函數(shù)的角度認(rèn)識數(shù)列

1、教材強化了數(shù)列定義中的函數(shù)觀點

教材在給出數(shù)列的定義后，特別說明“……所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項，記為an.也就是說，當(dāng)自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2)，…，f(n)…就是數(shù)列{an} ”.在該段表述的右側(cè)又再次以旁白的形式不惜筆墨地強調(diào)“以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)”.另外，在數(shù)列的表示中，教材再次強調(diào) “與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和圖象來表示”以及“顯然，通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式”.研究數(shù)列單調(diào)性的時候，又明確地加上一筆“與函數(shù)類似，我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性”.這樣不厭其煩地強調(diào)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系是以往教材沒有過的，對比研讀新教材，不難看出編者以函數(shù)思想統(tǒng)領(lǐng)數(shù)列學(xué)習(xí)的編寫意圖和良苦用心.

既然教材作了如此明確的說明，那么我們在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，就應(yīng)充分注意用函數(shù)的思想來研究數(shù)列中的有關(guān)問題.

評析：解法二借助于函數(shù)的單調(diào)性巧妙地解決了數(shù)列的最大值問題，解題思路清晰簡單，將數(shù)列與函數(shù)較好地統(tǒng)一于一體.

2、強化等差數(shù)列與一次、二次函數(shù)的聯(lián)系

由于等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d，可以變形為an=d·n+(a1-d)=d·n+b(其中b=a1-d)，從變形式中可以看出：當(dāng)d≠0時，等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)，所以等差數(shù)列的通項an的圖象是均勻地分布在一條直線上的離散點.根據(jù)兩點確定一條直線，也就很容易理解為什么已知等差數(shù)列中的任意兩項，可確定一個等差數(shù)列了.

例3 一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列，前5項之和與前13項之和相等，那么這個數(shù)列的前多少項之和最大？

評析：解法一雖然常規(guī)但運算量大，解法二有一定的運算化簡技巧性，解法三與解法四運用了函數(shù)的知識，思路清晰且運算量較少，尤其是解法四，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解決等差數(shù)列前n項和最值問題中的作用.

3、強化等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系

例4 首項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為80，前2n項和為6560,且在前n項和中數(shù)值最大的項是54，求此數(shù)列的首項a1和公比q.

評析：這里確定an=54是關(guān)鍵，借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而使難點輕而易舉地得以突破.

二、不能將函數(shù)與數(shù)列混為一談

前面我們闡述了數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，看到了二者高度的統(tǒng)一性，體驗了函數(shù)思想對數(shù)列解題的指導(dǎo)性，但也要看到數(shù)列畢竟是特殊的函數(shù)，又不能把數(shù)列問題完全函數(shù)化，二者還是有區(qū)別的，先看一個經(jīng)典的例題：

例5 已知{an}是遞增數(shù)列，且對任意的n∈N*，都有an=n2+λn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.

由此可見，將數(shù)列問題簡單地函數(shù)化，也容易出現(xiàn)不和諧的音符，在涉及數(shù)列單調(diào)性問題時，我們首先要選用數(shù)列單調(diào)性自身的性質(zhì)解題，以免出現(xiàn)類似例5的錯誤.為了更清楚地說明數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，下面我們再分析一個例題.

例6 已知數(shù)列{an}的通項為an=n·an(0an+1對所有正整數(shù)n均成立，求實數(shù)a的取值范圍.

評析：兩種解法的結(jié)果相距甚遠(yuǎn).但同樣的思路，例2卻能殊途同歸，這是怎么回事呢？實事上，在例2中已出現(xiàn)了不和諧的“音符”，解法一中n>3.7，解法二中n<4.16，只是由于n∈N*，將二者統(tǒng)一于n=4,但解題過程并未能遮蓋住兩種解法的些許差異.本例中，f(x)在[1，+∞)上為減函數(shù)只是an>an+1，n∈N*恒成立的充分不必要條件，并不是等價條件.

綜上，學(xué)習(xí)數(shù)列，不能離開函數(shù)思想方法的指導(dǎo)，因為數(shù)列是特殊的函數(shù)；但在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，也不能將自變量離散變化的數(shù)列完全等同于自變量連續(xù)變化的函數(shù)，畢竟，數(shù)列是特殊的函數(shù).