楊 康，趙 林

（青島大學 自動化學院，青島266071）

隨著諧波齒輪傳動和關(guān)節(jié)扭矩傳感器在機械臂中的應(yīng)用，剛性連桿和剛性關(guān)節(jié)的假設(shè)在機械臂系統(tǒng)中不再適用。柔性機械臂系統(tǒng)（FJMs）中的非線性、柔性、摩擦力和強耦合性限制了系統(tǒng)的控制性能?；？刂?、動態(tài)面控制、反步控制和模糊控制等[1-2]很多控制方法被研究人員用來消除機械臂系統(tǒng)中的柔性。文獻[1]提出了一種應(yīng)用于不確定單連桿柔性機械臂系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制，但是此控制器存在抖振問題[3-4]。與滑?？刂葡啾确床椒ú⒉淮嬖谶@個缺點，因此基于反步法設(shè)計的控制器在高階非線性柔性機械臂系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛；文獻[5]將反步法應(yīng)用到了柔性機械臂系統(tǒng)的控制器設(shè)計中，但采用的是傳統(tǒng)反步法，虛擬控制信號在每一步運算時都需要積分，這就增加了系統(tǒng)的計算復(fù)雜度；文獻[6-7]引入動態(tài)面控制，通過使用一階濾波器來降低系統(tǒng)的運算復(fù)雜度；文獻[8]將分布式動態(tài)面控制運用到了柔性機械臂系統(tǒng)中，但是文獻[5-8]都沒有考慮到引入濾波器所產(chǎn)生的的濾波誤差，降低了閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤效果。與動態(tài)面控制相比，文獻[9-12]提出的指令濾波反步控制不僅降低了系統(tǒng)的計算復(fù)雜度，而且引入了誤差補償機制抵消了濾波誤差。

另一方面，系統(tǒng)在實際運行過程中往往會受到各種各樣的限制，比如飽和、物理限制以及化學反應(yīng)器的溫度等，如果系統(tǒng)超過了所給定的物理限制，會降低控制效果，導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰甚至危及工作人員的生命安全，因此必須考慮如何設(shè)計一個控制器能夠讓系統(tǒng)的輸入和輸出控制在期望的范圍內(nèi)。為了使指定的狀態(tài)能夠控制在期望的范圍內(nèi)，文獻[13-14]將障礙李雅普諾夫函數(shù)（BLFs）應(yīng)用到了非線性系統(tǒng)中，但是它們并沒有考慮此種控制方法在機械臂系統(tǒng)中的應(yīng)用；文獻[15-16]將障礙李雅普諾夫函數(shù)應(yīng)用于輸出受限的機械臂系統(tǒng)；文獻[17]進一步將其應(yīng)用到了全狀態(tài)受限的n 階剛性機械臂系統(tǒng)中，但是文獻[15-17]都沒有考慮到實際機械臂系統(tǒng)中的柔性，并且控制器的設(shè)計都是基于傳統(tǒng)反步法，會產(chǎn)生“計算爆炸”，還有一點必須要指出的是文獻[13-17]中都沒有考慮到系統(tǒng)的收斂速度，這將限制實際系統(tǒng)的控制效果。

此外，收斂速度快、響應(yīng)快、高精度和良好的抗擾動能力對于實際系統(tǒng)來說非常的重要，而有限時間控制對提高這些性能非常有效，因此有限時間控制非常具有吸引力。文獻[18]將有限時間控制應(yīng)用于航天器系統(tǒng)的跟蹤控制；文獻[19]將有限時間控制應(yīng)用到了具有終端滑模的機械臂系統(tǒng)中，但是忽略了機械臂系統(tǒng)的柔性；文獻[20]研究了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間控制在柔性機械臂中的應(yīng)用，但是并沒有考慮狀態(tài)受限的情況；文獻[21]將自適應(yīng)指令濾波控制應(yīng)用在了全狀態(tài)受限的非線性系統(tǒng)中，而并沒有考慮有限時間控制。根據(jù)作者所知，目前還沒有針對全狀態(tài)受限柔性機械臂系統(tǒng)的有限時間指令濾波反步控制的研究成果，因此它具有非常重要的研究價值。基于障礙李雅普諾夫函數(shù)和指令濾波反步控制方法，本文提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)有限時間收斂的控制算法，解決了全狀態(tài)受限柔性機械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題。具體貢獻如下：

（1）與文獻[11-12]中提出的應(yīng)用在柔性機械臂系統(tǒng)中的指令濾波控制和文獻[20]將有限時間應(yīng)用于輸出受限的機械臂系統(tǒng)相比，本文進一步的考慮了系統(tǒng)的全狀態(tài)需要被約束在期望范圍內(nèi)的情況，并且使用障礙李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計虛擬控制量來使所有狀態(tài)都不超過期望的范圍。

（2）與文獻[17]將障礙李雅普諾夫函數(shù)應(yīng)用在全狀態(tài)受限的剛性機械臂系統(tǒng)中相比，本文不僅考慮了實際機械臂系統(tǒng)的柔性問題，而且使用了基于分數(shù)冪的有限時間控制器，有效提高了系統(tǒng)的收斂速度，控制精度更高。

1 理論準備

引理1[9]：對于正數(shù)Ψ1＞0，Ψ2＞0，β∈（0，1），如果一個連續(xù)函數(shù)滿足條件V˙+Ψ1V+Ψ2Vβ≤0 那么V（t）將在時間T≤t0+（1/Ψ1（1-β）ln（Ψ1V1-β（t0）+Ψ2）/Ψ2）內(nèi)收斂到平衡點。

引理2[9]：存在一個正常數(shù)ι＞0，λ＞0 滿足以下不等式：

式中：ρ（q，p）>0 是一個實值函數(shù)。

2 柔性機械臂系統(tǒng)的數(shù)學模型

本文所研究的柔性關(guān)節(jié)機械臂的動力學模型如下：

式中：q∈Rn，∈Rn，∈Rn分別表示關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度。H（q）∈Rn×n為對稱正定慣性矩陣；C（q，）∈Rn×n為科里奧利向心矩陣；G（q）∈Rn為模型的重力項；F∈Rn×n為關(guān)節(jié)摩擦系數(shù)矩陣。qm∈Rn，∈Rn，∈Rn分別代表轉(zhuǎn)子角的位置、速度、加速度。Km∈Rn×n代表模型關(guān)節(jié)的柔度；J∈Rn×n代表模型的慣性項；B∈Rn×n代表模型關(guān)節(jié)的阻尼項；u∈Rn為系統(tǒng)的控制輸入向量；y∈Rn是系統(tǒng)的輸出向量。

性質(zhì)1：桿慣性矩陣H（q）是一個對稱正定矩陣，它的范圍滿足不等式Hh≤‖H（q）‖2≤HH，其中‖·‖2表示誘導(dǎo)矩陣范數(shù)，Hh和HH是正常數(shù)。另外，H-1（q）是有界的。

性質(zhì)2：H-1（q）Km是有界的，滿足‖H-1（q）Km‖≤ρ1，其中ρ1是一個常數(shù)且滿足ρ1>0。

注1：當Km是一個常數(shù)正定對稱矩陣時，由性質(zhì)1 可證明性質(zhì)2 是成立的。

令q=x1，=x2，qm=x3，=x4，可以得到如下方程：

讓f2=-H-1（x1）［C（x1，x2）x2+G（x1）+F（x2）+Kmx1］，g2=H-1（x1）Km，f4=-J-1［Bx4+Km（x3-x1）］，g4=J-1，將其帶入式（3）中可以得到：

式中：xs=[xs，1，…，xs，n]T，并要求所有的xs，i都滿足進一步定義期望軌跡xd=[xd，1，…，xd，n]T∈Rn，其中xd和是有界連續(xù)的，并且滿足xd，i≤ε＜kc，1，i。

注2：文獻[18]中需要計算xd（s）（s=1，…，n-1）的值，而本篇文章只需要求得xd和的值。

3 控制器設(shè)計

跟蹤誤差信號定義為

式中：πs=[φs，1，…，φs，n]T，s=2，3，4 是由以下指令濾波器輸出的：

式中：s＝2，3，4；i=1，…，n，虛擬控制量αs-1=［αs-1，1，…，αs-1，n］T是指令濾波器的輸入。

引理3[22]：如果γs，1，i和γs，2，i選擇得當，那么式（7）將會成立：

在指令濾波反步控制中，為了抵消掉指令濾波器產(chǎn)生的濾波誤差πs-αs-1，s=2，3，4，將誤差補償機制定義如下：

式中：ξs（0）=0，bs>0，s=1，…，4 是比例增益；r=r1/r2∈（0，1），并且r1，r2均為奇數(shù)。

為了逼近未知權(quán)重向量ωs，i，s=2，4，i=1，…，n，選定θ＝max {‖ωs，i‖2}，并定義自適應(yīng)律為

式中：λ，μ 和a2，a4都是>0 的常數(shù)；s2，i和s4，i為基函數(shù)向量。

虛擬控制信號定義為

式中：hs，ls，s=1，2，3，4 均為正常數(shù)，補償誤差跟蹤信號vi設(shè)計為

步驟1構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)：

可以得到：

對V1求導(dǎo)得：

將α1和ξ1代入式（14）中得：

根據(jù)引理2 可以得到：

進一步可以得到：

步驟2選取另一個Lyapunov 函數(shù)：

所以對V2求導(dǎo)得：

由于函數(shù)f2＝[f2，1，…，f2，n]T含有不確定性，因此利用模糊邏輯系統(tǒng)對其進行逼近，則f2，i，i=1，…，n 可以近似表示為

式中：ζ2，i為近似誤差且滿足‖ζ2，i‖≤σ2，σ2為>0 的常數(shù)。從而，根據(jù)楊不等式得到：

將α2和ξ2代入式（19）中得：

步驟3選取Lyapunov 函數(shù)：

對V3求導(dǎo)得：

將α3和ξ3代入式（24）中得：

步驟4選取Lyapunov 函數(shù)：

對V4求導(dǎo)得：

根據(jù)步驟2 可以得到：

式中：ζ4，i為近似誤差且滿足‖ζ4，i‖≤σ4，σ4為>0 的常數(shù)。

將u 和ξ4代入式（28）中得：

定理1：對于基于有限時間指令濾波器的FJMs來說，如果采用式（8）中的誤差補償信號ξs、式（9）中的自適應(yīng)律和式（10）中的虛擬控制量αs，可以在有限的時間內(nèi)使柔性機械臂系統(tǒng)的跟蹤誤差x1-xd穩(wěn)定在足夠小的包含原點的鄰域里，并且系統(tǒng)的各個狀態(tài)和跟蹤誤差補償信號都不超過期望的范圍。

為了證明誤差補償機制的穩(wěn)定性，選用以下函數(shù)：

鎮(zhèn)長嚴肅了，說，這事分兩頭說，打人已經(jīng)處理了就不說了好啵。只說這個補償，我覺得兩千已經(jīng)是不錯的了，其他人還分文沒給呢。

根據(jù)性質(zhì)2 和引理3 可以得到（πs+1-αs）=0，進一步結(jié)合楊不等式可以得到gsξsξs+1≤可以將式（32）寫為

式中：bo=min

由于zs=vs+ξs，要想將zs在有限時間內(nèi)收斂到期望的區(qū)域內(nèi)就必須讓vs和ξs收斂到期望的區(qū)域內(nèi)。因此在李雅普諾夫函數(shù)中加入估計誤差θ～，全局李雅普諾夫方程選擇：

對式（34）求導(dǎo)得：

經(jīng)過進一步化簡得到：

式中：

或者

式中：η∈（0，1），從式（38）中可以得出，如果滿足V＞Θ3/（Θ1（1-η）），那么可以得到＜-ηΘ1V-Θ2V（r+1）/2。所以信號vs，ξs和θ～可以在有限時間T1內(nèi)，收斂到以下鄰域內(nèi)：

根據(jù)引理1 可以得到T1≤T0+1/ [ηΘ1（1-（1+r）/2）]ln [（ηΘ1V1-（r+1）/2（T0）+Θ2）/Θ2]。同樣，如果V（r+1）/2＞Θ3/（Θ2（1-η）），那么可以得到＜-Θ1V-ηΘ2V（r+1）/2，所以信號vs，ξs和可以在有限時間T2≤T0+1/[Θ1（1-（1+r）/2）]ln [（Θ1V1-（r+1）/2（T0）+ηΘ2）/（ηΘ2）]內(nèi)，收斂到以下鄰域內(nèi)：

從式（39）和式（40）中可以得到：

進一步可以得到：

然后，因為zs=vs+ξs，所以t≥T=max｛T1，T2｝時可以得到：

這意味著在有限時間內(nèi)系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差x1-xd能夠穩(wěn)定在原點附近足夠小的鄰域里，并且系統(tǒng)的各個狀態(tài)和跟蹤誤差補償信號都不超過期望的范圍。現(xiàn)在，需要進一步分析閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)并沒有超出期望的范圍。當ξs，i有界的時候，存在一個常數(shù)kξs，i使得，所以定義k1，i＝kc，1，i-kξs，i-ε，所以可以得到輸出并不會超出限制。因為虛擬控制量α1是由z1和x˙d組成，它們?nèi)怯薪绲?，所以虛擬控制量α1，i是有界的，進一步可以得出π2，i是有界的，存在一個常數(shù)kπ2，i＞0 使得π2，i≤kπ2，i。從不等式和等式k2，i＝kc，2，i-kξ2，i-kπ2，i可以得出同樣的方法可以得到這說明閉環(huán)系統(tǒng)的全狀態(tài)受限是可以滿足的。

注3：根據(jù)Θ 的定義可以知道應(yīng)該滿足并且更大的bs，s=1，2，3，4 可以保證更快的收斂速度。

4 仿真結(jié)果與分析

在本節(jié)中，將提出的算法應(yīng)用到單桿柔性機械臂系統(tǒng)中，利用Matlab 軟件進行仿真分析，來證明此算法的有效性。單桿柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的動態(tài)方程為

表1 柔性機械臂系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of FJ robot system

柔性機械臂系統(tǒng)的狀態(tài)x1，x2，x3和x4的響應(yīng)曲線如圖1所示；跟蹤誤差信號v1，v2，v3和v4的響應(yīng)曲線如圖2所示。

從圖1和圖2中可以看到無論是系統(tǒng)的各個狀態(tài)還是跟蹤誤差信號都沒有超出設(shè)定的限制條件，說明本文提出的算法在處理全狀態(tài)受限的問題時具有很好的效果。

圖1 柔性機械臂系統(tǒng)x1，x2，x3 和x4 響應(yīng)曲線圖Fig.1 Response curves of x1，x2，x3 and x4 under the FJ manipulator system

圖2 柔性機械臂系統(tǒng)v1，v2，v3 和v4 的響應(yīng)曲線Fig.2 Response curves of v1，v2，v3 and v4 under the FJ manipulator system

為了進一步體現(xiàn)本文提出的算法在有限時間上的控制效果，令提出算法中的r=1，其它參數(shù)不變，此時系統(tǒng)為漸近收斂。為了直觀的反映提出算法的優(yōu)勢，將有限時間收斂和漸近收斂作比較，使用全局跟蹤誤差進行對比。當r=1和r=3/5 時，系統(tǒng)的OTE 響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 r=1 和r=3/5 時系統(tǒng)的OTE 對比Fig.3 Comparison of the OTE of system when r=1 andr=3/5

從結(jié)果中，可以看出r=3/5 時，系統(tǒng)的收斂速度更快，穩(wěn)定后收斂效果更好。說明本文提出的算法在處理實現(xiàn)受限問題時有著明顯的優(yōu)勢。

5 結(jié)語

針對全狀態(tài)受限的柔性機械臂系統(tǒng)的跟蹤控制問題，本文使用了一種基于障礙李雅普諾夫函數(shù)的有限時間模糊邏輯反步控制。有限時間指令濾波器的應(yīng)用不僅可以消除反步法所產(chǎn)生的“計算爆炸”問題，而且可以更快的濾波。同時，引入誤差補償系統(tǒng)來抵消掉濾波過程中產(chǎn)生的濾波誤差。通過引入模糊邏輯控制系統(tǒng)來逼近系統(tǒng)的不確定性，并且文中只有一個參數(shù)需要估計。最終，證明了系統(tǒng)的跟蹤誤差可以在有限時間內(nèi)穩(wěn)定在一個足夠小的原點鄰域內(nèi)，并且閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都不超過限制的范圍。如何將本文提出的算法應(yīng)用到多柔性機械臂系統(tǒng)中是我們未來研究的方向。