安劭俠，簡(jiǎn)曉輝，馬 利，霍軍周

(1.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 大連 116024;2.中國(guó)水利水電第八工程局有限公司工程設(shè)備公司，長(zhǎng)沙 410004;3.中鐵隧道股份有限公司，新疆 阿勒泰 836100)

0 引言

活動(dòng)彎頭是一種可靈活改變空間角度的管線(xiàn)接頭，實(shí)現(xiàn)高壓管匯360°旋轉(zhuǎn)以及局限空間管匯的連接，是非常規(guī)油氣開(kāi)采行業(yè)的重要配件，廣泛應(yīng)用于壓裂、酸化、固井等場(chǎng)合?；顒?dòng)彎頭由公母彎頭體、滾珠、由壬和密封件等組成，在高壓流體、高速運(yùn)動(dòng)固相粒子的沖刷、流體腐蝕等惡劣工況下進(jìn)行工作。在極端的服役條件下，常常由于活動(dòng)彎頭的硬度和耐磨性較差，致使彎頭內(nèi)壁由于沖蝕磨損嚴(yán)重而被刺穿和滾道槽在擠壓作用下發(fā)生變形而導(dǎo)致彎頭轉(zhuǎn)動(dòng)受阻。據(jù)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)彎頭失效事件占到總高壓管匯失效事件的25%，大大增加了工程成本[1]。針對(duì)活動(dòng)彎頭的失效形式，對(duì)活動(dòng)彎頭進(jìn)行受力分析，并據(jù)此優(yōu)化活動(dòng)彎頭的結(jié)構(gòu)，能夠有效減少活動(dòng)彎頭關(guān)鍵承壓部件發(fā)生失效問(wèn)題的可能性。

國(guó)內(nèi)外有關(guān)活動(dòng)彎頭的研究主要側(cè)重于流體對(duì)活動(dòng)彎頭沖蝕磨損研究。文獻(xiàn)[2]研究了高壓管匯在受載下的應(yīng)力分布規(guī)律，并應(yīng)用低周疲勞理論對(duì)高壓管匯的直管、彎頭進(jìn)行疲勞斷裂分析，為高壓管匯的損傷容限設(shè)計(jì)提供理論借鑒。文獻(xiàn)[3]探究了顆粒數(shù)量對(duì)彎頭的腐蝕-磨損作用，結(jié)果表明當(dāng)顆粒數(shù)量増加時(shí)，彎頭的腐蝕反而減小，為延長(zhǎng)彎頭壽命提供方法。文獻(xiàn)[4]分析了活動(dòng)彎頭在不同壓裂工況下的沖蝕磨損機(jī)理，提出對(duì)彎頭進(jìn)行不等徑截面設(shè)計(jì)來(lái)彌補(bǔ)外壁磨損量，為彎頭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。文獻(xiàn)[5]研究了雙彎頭裝配轉(zhuǎn)角對(duì)雙彎頭彎管沖蝕速率的影響，得到當(dāng)轉(zhuǎn)角為20°～40°時(shí)，雙彎頭彎管的最大沖蝕速率較大，可為改進(jìn)彎頭裝配參數(shù)提供了技術(shù)依據(jù)。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)出型號(hào)為FLUMAG 500的漏磁在線(xiàn)檢測(cè)工具，用于檢測(cè)石油管道磨損處的位置和尺寸大小，具有重大的實(shí)際工程價(jià)值。文獻(xiàn)[7]分析了活動(dòng)彎頭的損傷機(jī)理，提出在高頻流體振動(dòng)載荷作用下，活動(dòng)彎頭首先出現(xiàn)管壁局部韌性斷裂，靠近外壁時(shí)出現(xiàn)脆性斷裂，為彎頭的損傷分析奠定了一定的理論支持。文獻(xiàn)[8]借助Fluen仿真軟件研究了活動(dòng)彎頭沖蝕磨損問(wèn)題，推斷出流速對(duì)彎頭迂回處的沖蝕磨損效果顯著。文獻(xiàn)[9]針對(duì)活動(dòng)彎頭的安裝角度、流體進(jìn)口速度等因素進(jìn)行數(shù)值模擬，探究流體對(duì)10型活動(dòng)彎頭的沖蝕規(guī)律。此外，國(guó)內(nèi)部分學(xué)者提出通過(guò)改進(jìn)活動(dòng)彎頭的熱處理工藝來(lái)提高活動(dòng)彎頭的綜合力學(xué)性能。文獻(xiàn)[10]通過(guò)對(duì)活動(dòng)彎頭進(jìn)行高頻淬火的熱處理工藝來(lái)提高滾道表面的硬度和耐磨性，并對(duì)滾道槽進(jìn)行磨削加工處理，提高加工精度。文獻(xiàn)[11]對(duì)活動(dòng)彎頭采用滲碳+等溫淬火+回火的熱處理工藝，獲得下貝氏體+馬氏體的混合組織，提高材料的斷裂韌度,延長(zhǎng)了沖蝕磨損壽命。

綜合以上分析，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要集中于活動(dòng)彎頭的沖蝕磨損問(wèn)題及相應(yīng)的解決措施，為服役環(huán)境中活動(dòng)彎頭的損傷設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化與運(yùn)行維護(hù)等提供一定的理論借鑒。然而針對(duì)活動(dòng)彎頭接頭處的接觸特性的研究較少，而實(shí)際服役過(guò)程中，活動(dòng)彎頭經(jīng)常由于接觸區(qū)域的接觸應(yīng)力過(guò)大而出現(xiàn)壓痕導(dǎo)致彎頭轉(zhuǎn)動(dòng)卡頓，嚴(yán)重影響著工程進(jìn)度。本文針對(duì)活動(dòng)彎頭滾道槽出現(xiàn)的壓痕損傷形式，分析接頭處的接觸應(yīng)力和塑性變形的分布規(guī)律，探究滾道槽的相對(duì)位置對(duì)接觸特性的影響機(jī)理，為活動(dòng)彎頭的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供技術(shù)支撐。

1 接觸問(wèn)題的有限元算法

接觸問(wèn)題是一種典型的邊界非線(xiàn)性問(wèn)題，目前求解接觸問(wèn)題的方法主要有解析解法和數(shù)值解法[12]。其中，解析解法是基于接觸理論對(duì)模型進(jìn)行精確求解，但由于理論中作了一定的假設(shè)，限制了其應(yīng)用范圍。而針對(duì)復(fù)雜接觸問(wèn)題的求解，以有限元法形式的數(shù)值解法應(yīng)用最為廣泛，實(shí)用性最強(qiáng)。有限元法采用最小位能原理并引入約束條件，在接觸面間建立了接觸約束算法。接觸約束算法中的系統(tǒng)總位能的泛函Π(π)為[13]：

Π(π)=ΠU+Πcp

(1)

式中，ΠU為不包含接觸約束條件的系統(tǒng)總位能，Πcp為接觸約束條件引入的附加泛函。

當(dāng)泛函取駐值時(shí)便得到接觸問(wèn)題的解，根據(jù)駐值解法的不同，接觸約束算法主要分為罰函數(shù)法、拉格朗日乘子法和增廣拉格朗日乘子法。

1.1 罰函數(shù)法

罰函數(shù)法是在接觸面之間用“彈簧”建立接觸協(xié)調(diào)關(guān)系。當(dāng)接觸面分開(kāi)時(shí)，彈簧不影響物體的自由活動(dòng)；當(dāng)接觸面發(fā)生穿透時(shí)，彈簧阻礙接觸物體的相互嵌入。罰函數(shù)法下的附加泛函表述為：

(2)

式中，α為罰因子；U為位移矩陣；B為接觸約束矩陣；SC為接觸面邊界，S是接觸面面積；γ是接觸面的法向力或切向力。

以位移U為未知量，得到最終的系統(tǒng)控制方程為：

(K+αBTB)U=F+αBTγ

(3)

式中，[K]是整體剛度矩陣。

由上式可知，罰函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是不增加系統(tǒng)的求解規(guī)模，但引入了人為假設(shè)的罰因子來(lái)減少接觸物體的穿透現(xiàn)象。因此，為與實(shí)際接觸情況更接近，就必須增加罰因子以盡可能減少穿透量。然而，罰因子過(guò)大會(huì)導(dǎo)致整體剛度矩陣的病態(tài)，帶來(lái)求解方程上的困難。

1.2 拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法通過(guò)引入了力學(xué)意義為接觸力的拉格朗日乘子，可直接求出接觸力，實(shí)現(xiàn)了無(wú)穿透的真實(shí)接觸條件。拉格朗日乘子法下的附加泛函為：

(4)

式中，Λ是拉格朗日乘子。

相應(yīng)的系統(tǒng)控制方程為：

(5)

雖然拉格朗日乘子法可以精確滿(mǎn)足接觸條件，但由于其在計(jì)算中增加了額外的自由度，擴(kuò)大了剛度陣的階數(shù)，且失去系數(shù)矩陣的正定性，增加了收斂難度。

1.3 增廣拉格朗日乘子法

增廣拉格朗日乘子法結(jié)合了罰函數(shù)法和拉格朗日乘子法，在計(jì)算中為找到精確的拉格朗日乘子而對(duì)罰因子反復(fù)修改并迭代求解，直到穿透值小于允許值為止。增廣拉格朗日法下的附加泛函為：

(6)

相應(yīng)的控制方程為：

(7)

增廣拉格朗日乘子法吸收了罰函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)，相比拉格朗日乘子法增加了系數(shù)矩陣的對(duì)角優(yōu)勢(shì)，加快收斂速度。因此，增廣拉格朗日乘子法成為目前較為流行的方法。

綜上所述，考慮到活動(dòng)彎頭在服役中，滾道槽往往受擠壓而發(fā)生塑性變形，且接觸面尺寸與接觸面的曲率半徑相近，不滿(mǎn)足經(jīng)典Hertz理論的假設(shè)條件，因此本文采用有限元法中的增廣拉格朗日乘子法來(lái)分析活動(dòng)彎頭接頭處的接觸特性。

2 有限元接觸分析

本文選取某廠型號(hào)為3″-50型/105MPa的活動(dòng)彎頭作為研究對(duì)象，該型號(hào)的活動(dòng)彎頭內(nèi)徑為76.2 mm，外徑為140.00 mm，彎頭接頭處有三列直徑相等的滾珠，每列滾珠數(shù)目為35。第一列和第二列滾道槽位于同一平面，第三列滾道槽與前兩列增設(shè)了一高為1 mm的臺(tái)階，如圖1所示。由于倒角對(duì)接頭處的接觸分析影響不大，在幾何建模時(shí)去除，考慮到活動(dòng)彎頭接頭處結(jié)構(gòu)及受載的對(duì)稱(chēng)性等特點(diǎn)，建立接頭處的1/35作為分析模型?；顒?dòng)彎頭的材料屬性如表1所示。

1.母彎頭 2.盤(pán)根 3.O型密封圈 4.第一列滾珠5.第二列滾珠 6.第三列滾珠 7.防塵密封圈 8.公彎頭圖1 活動(dòng)彎頭結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

表1 活動(dòng)彎頭的材料屬性

2.1 網(wǎng)格劃分

由于接觸區(qū)域的網(wǎng)格大小對(duì)接觸應(yīng)力的仿真結(jié)果有重要影響，本文對(duì)幾何模型進(jìn)行切割處理，分離出接觸區(qū)域和非接觸區(qū)域。設(shè)置全局網(wǎng)格尺寸為2 mm，對(duì)接觸區(qū)域采取多區(qū)域法劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為0.2 mm，最終得到有限元網(wǎng)格模型，如圖2所示，其中節(jié)點(diǎn)數(shù)為2 860 760，單元數(shù)為934 187，網(wǎng)格收斂性分析良好，滿(mǎn)足計(jì)算要求。

(a) 整體網(wǎng)格劃分 (b) 滾珠和公彎頭接觸區(qū)域網(wǎng)格細(xì)化圖2 活動(dòng)彎頭接頭處有限元模型

2.2 邊界條件與載荷施加

根據(jù)活動(dòng)彎頭的實(shí)際工況，對(duì)有限元網(wǎng)格模型施加邊界條件，如表2所示。

表2 有限元模型邊界條件設(shè)置

接頭處在服役期間受到內(nèi)壓和流體在彎頭處產(chǎn)生的軸向拉力，對(duì)公母彎頭的內(nèi)壁面D處施加內(nèi)壓105 MPa，將軸向拉力均勻施加于母彎頭的左端面E處，其大小P通過(guò)下式計(jì)算：

(8)

式中，P1為內(nèi)壓，單位為MPa，取值105 MPa；s1為內(nèi)壁的橫截面面積，單位為mm2；s2為壁厚的橫截面面積，單位為mm2；經(jīng)計(jì)算得到P為84.8 MPa。

施加載荷后的模型如圖3所示。

圖3 邊界條件和載荷施加圖

2.3 接觸對(duì)的建立及參數(shù)選取

本文選用增廣拉格朗日乘子算法對(duì)滾珠和公母彎頭的滾道槽分別建立接觸對(duì)，摩擦系數(shù)設(shè)置為0.1，滾珠表面設(shè)置為接觸面，滾道槽設(shè)置為目標(biāo)面。由于接觸剛度因子FKN對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大，本文在其他條件不變的情況下，分別設(shè)置FKN從0.1取到7，且設(shè)置每一步迭代步中更新接觸剛度，計(jì)算相應(yīng)的最大等效應(yīng)力，最大接觸應(yīng)力、最大穿透量、迭代次數(shù)，結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 最大等效應(yīng)力和最大接觸應(yīng)力與FKN關(guān)系圖

圖5 最大穿透量和迭代次數(shù)與FKN關(guān)系圖

由圖4和圖5可知，隨著接觸剛度因子FKN的增加，活動(dòng)彎頭的最大等效應(yīng)力、最大接觸應(yīng)力也隨著增加，而最大穿透量隨之減少，但迭代次數(shù)和運(yùn)算時(shí)間也隨之增加。當(dāng)FKN取值在3～7范圍區(qū)間內(nèi)，各項(xiàng)值的變化已經(jīng)不明顯，綜合考慮求解效率，確定最優(yōu)的FKN取值為3，此時(shí)的接觸應(yīng)力為2089 MPa，穿透量為0.000 342 mm，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于接觸單元的厚度0.2 mm，滿(mǎn)足接觸問(wèn)題的穿透誤差要求。

2.4 仿真結(jié)果

對(duì)上述受載條件下的有限元模型進(jìn)行求解，得到活動(dòng)彎頭整體和接觸區(qū)域的等效應(yīng)力如圖6所示?？捎^察到三列滾珠與滾道槽的接觸區(qū)域的等效應(yīng)力分布均近似呈橢圓形狀，與接觸理論中假設(shè)的接觸載荷分布非常相似。公母彎頭的最大等效應(yīng)力值均在第一列滾道槽的接觸區(qū)域，最大值分別為1 179.6 MPa、1 135.5 MPa，均超過(guò)屈服應(yīng)力值，進(jìn)入了塑性變形階段。并且高應(yīng)力區(qū)域都在接觸區(qū)域，而非接觸區(qū)域的等效應(yīng)力均低于屈服應(yīng)力值，由此說(shuō)明滾道槽的壓痕主要與接觸載荷過(guò)大有關(guān)。

(a)整體等效應(yīng)力云圖

(b)第一列滾珠接觸區(qū)域等效應(yīng)力云圖

(c)第二列滾珠接觸區(qū)域等效應(yīng)力云圖

(d)第三列滾珠接觸區(qū)域等效應(yīng)力云圖圖6 活動(dòng)彎頭的等效應(yīng)力云圖

公母彎頭滾道槽接觸區(qū)域的接觸應(yīng)力云圖如圖7所示，公母滾道槽的最大接觸應(yīng)力都在第一列滾道槽，最大值分別為2089 MPa、1954 MPa，與文獻(xiàn)[14]中公彎頭的計(jì)算結(jié)果2200 MPa相比，相對(duì)誤差為5%，進(jìn)一步驗(yàn)證了仿真的合理性和結(jié)果的正確性。在三列公彎頭滾道槽的接觸區(qū)域中沿接觸帶每隔1 mm分別測(cè)出接觸應(yīng)力如圖8所示。由圖8可知，三列滾道槽的接觸應(yīng)力呈現(xiàn)分配不勻的現(xiàn)象，第一列滾道槽的接觸應(yīng)力最大，而第二列最小，兩者相差最大值為383 MPa，這是由于第一列和第二列滾道槽是同一水平面，而第一列滾道槽承受大部分的軸向載荷所導(dǎo)致。

(a)母彎頭滾道槽接觸應(yīng)力云圖

(b)公彎頭滾道槽接觸應(yīng)力云圖圖7 活動(dòng)彎頭接頭處的接觸應(yīng)力云圖

圖8 公彎頭滾道槽的接觸應(yīng)力曲線(xiàn)圖

公母彎頭滾道槽接觸區(qū)域的的塑性變形如圖9所示。由圖可知，公母彎頭的三列滾道槽均發(fā)生了不同程度的塑性變形，變形值和變形范圍最大的地方均在第一列滾珠槽上，最大值為0.018 24 mm，第二列滾道槽的變形值和變形程度最小。由于公彎頭滾道槽的接觸應(yīng)力要比母彎頭的大，導(dǎo)致公彎頭整體的塑性變形程度要大于母彎頭。上述仿真結(jié)果與實(shí)際情況中第一列滾道槽最先出現(xiàn)壓痕并且壓痕最深的現(xiàn)象相符合，這些壓痕容易造成活動(dòng)彎頭轉(zhuǎn)動(dòng)卡頓的現(xiàn)象。

(a) 母彎頭的塑性應(yīng)變?cè)茍D

(b)公彎頭的塑性應(yīng)變?cè)茍D 圖9 活動(dòng)彎頭接頭處等效塑性應(yīng)變?cè)茍D

3 活動(dòng)彎頭結(jié)構(gòu)優(yōu)化

由上述仿真結(jié)果可知，活動(dòng)彎頭的三列滾道槽存在接觸應(yīng)力過(guò)大且分布不勻的現(xiàn)象，故對(duì)于現(xiàn)有的活動(dòng)彎頭進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，主要有：①在各滾道槽設(shè)臺(tái)階，構(gòu)成階梯形來(lái)改善受力狀況；②增加了活動(dòng)彎頭的壁厚，避免因臺(tái)階的設(shè)立而減少壁厚；③滾道槽做倒圓角處理，避免應(yīng)力集中現(xiàn)象，優(yōu)化示意圖如圖10所示。

圖10 活動(dòng)彎頭接頭處結(jié)構(gòu)優(yōu)化示意圖

考慮到三列滾道槽的相對(duì)位置直接影響到其接觸應(yīng)力的分布，故分別改變滾道槽的軸向和徑向位置來(lái)尋求合適的滾道槽位置。本文以三列滾道槽軸向距離均為22 mm，徑向距離均為1 mm的三臺(tái)階活動(dòng)彎頭為基準(zhǔn)，分五組改變其軸向或徑向距離進(jìn)行接觸分析，并與二臺(tái)階活動(dòng)彎頭的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

表3 滾道槽相對(duì)位置變化的接觸分析結(jié)果

由上表可知，滾道槽軸向和徑向距離的變化都會(huì)影響其接觸應(yīng)力的分布，軸向和徑向距離越大，接觸應(yīng)力和塑性變形越小，反之亦然。由于臺(tái)階的設(shè)立更有利于三列滾道槽分擔(dān)軸向載荷，改善了受力狀況，故改變徑向距離的效果要優(yōu)于軸向距離的效果。上表中接觸應(yīng)力和塑性變形最小的是軸向距離為22 mm，徑向距離為3 mm的結(jié)構(gòu)，相比二臺(tái)階的接觸應(yīng)力減少了14.8%，表明了此時(shí)的三臺(tái)階的設(shè)計(jì)是相對(duì)更好的結(jié)構(gòu)，沿接觸帶每隔1 mm測(cè)出其三列滾道槽的接觸應(yīng)力，并與二臺(tái)階活動(dòng)彎頭的接觸應(yīng)力相比較，如圖11所示。

圖11 優(yōu)化后的滾道槽的接觸應(yīng)力曲線(xiàn)圖

由上圖可知，此時(shí)的三臺(tái)階結(jié)構(gòu)相比二臺(tái)階結(jié)構(gòu)而言，三列滾道槽的接觸應(yīng)力均有不同程度的下降，其中第一列下降效果最明顯，降幅達(dá)310 MPa。此外滾道槽的接觸應(yīng)力分布趨于均勻，每列的最大接觸應(yīng)力最大相差230 MPa，相比二臺(tái)階的降低了40%，且高應(yīng)力的接觸區(qū)域接觸應(yīng)力變化平穩(wěn)，有利于延長(zhǎng)第一列滾道槽的服役壽命，從而降低了使用成本。

4 結(jié)論

本文針對(duì)活動(dòng)彎頭滾道槽的壓痕損傷形式，采用有限元法對(duì)活動(dòng)彎頭的接頭處進(jìn)行接觸特性的仿真分析，分析了接觸載荷和塑性變形的分布規(guī)律，并進(jìn)一步進(jìn)行了相應(yīng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。通過(guò)本文的研究主要得到以下結(jié)論：

(1)接觸剛度系數(shù)FKN在有限元接觸分析中對(duì)分析結(jié)果有很大影響。FKN的增大會(huì)使等效應(yīng)力和接觸應(yīng)力呈現(xiàn)先增加較大后趨于平緩直至收斂到某一個(gè)值，而穿透量呈現(xiàn)先大幅減小后收斂到某一個(gè)值。雖然較大的FKN提高了結(jié)果準(zhǔn)確性，但卻帶來(lái)收斂困難、求解耗時(shí)的問(wèn)題。因此，在接觸參數(shù)設(shè)置時(shí)要對(duì)其進(jìn)行合理的選取，在保證結(jié)果正確性的前提下提高求解效率。

(2)二臺(tái)階活動(dòng)彎頭接觸區(qū)域的應(yīng)力分布呈橢圓形，由于第一列滾道槽承受了較大的軸向載荷，造成了三列滾道槽接觸應(yīng)力的分布不勻，導(dǎo)致第一列滾道槽的接觸應(yīng)力和塑性變最大，而第二列最小，符合彎頭服役中第一列滾道槽過(guò)早出現(xiàn)壓痕的損傷現(xiàn)象。

(3)三臺(tái)階活動(dòng)彎頭相比于二臺(tái)階結(jié)構(gòu)減少了接觸應(yīng)力，且軸向和徑向距離的增大均有利于減少滾道槽的接觸應(yīng)力和應(yīng)力差。當(dāng)滾道槽的軸向距離為22 mm，徑向?yàn)? mm時(shí)的接觸應(yīng)力較二臺(tái)階的減少310 MPa，每列的最大接觸應(yīng)力最大差值相比二臺(tái)階降低了40%，且高應(yīng)力的接觸區(qū)域接觸應(yīng)力變化平穩(wěn)，夠?yàn)榛顒?dòng)彎頭的優(yōu)化提供依據(jù)。