雷朝銓，劉楚蕾 ，許麗莉

(1.寧德師范學(xué)院 福建寧德 352100；2.廈門大學(xué) 福建廈門 361005)

自然界中，物種同類相食是一種很常見的現(xiàn)象，這可能是由于缺乏食物等原因引起的。已經(jīng)有很多學(xué)者提出各種具有自食的生態(tài)種群模型[1-6]，并對(duì)模型展開研究，但大部分工作都是假設(shè)自食是線性的。2016年ALADEEN等學(xué)者[7]才提出具有非線性自食的Leslie-Gower捕食—食餌模型，并研究了模型的動(dòng)力學(xué)行為。受文獻(xiàn)[6]啟發(fā)，筆者提出如下具有非線性自食的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型：

(1)

令(x(t),y(t))表示系統(tǒng)滿足初值條件x(0)>0,y(0)>0的解，且只考慮系統(tǒng)在Ω0={(x,y)∈R2|

x≥0,y≥0}上的動(dòng)力學(xué)行為。易證系統(tǒng)(1)的解是正且有界的。

1 平衡點(diǎn)的存在性

系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)滿足以下方程組：

(2)

(3)

將式(3)化為

αx2-(r+c1-c-αd)x-d(r+c1)=0。

(4)

得到式(4)的判別式

Δ1=(r+c1-c-αd)2+4αd(r+c1)>0。

(5)

系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)滿足方程組：

(6)

Ax2+Bx+C=0。

(7)

其中，A=mn-αβ,B=d(mn-αβ)+β(r+c1-c)-mb,C=d[β(r+c1)-mb]。

而式(7)的判別式為

Δ=[β(r+c1-c)+d(mn-αβ)-mb]2-

4d(mn-αβ)[β(r+c1)-mb]

=[β(r+c1-c)-d(mn-αβ)-mb]2-4cdβ(mn-αβ)。

(8)

(9)

根據(jù)A的正負(fù)，分以下幾種情形對(duì)正平衡點(diǎn)展開討論。

因此，當(dāng)

定義函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C，則有

(10)

因此，當(dāng)

因此，當(dāng)

因此，當(dāng)

因此，當(dāng)(H7)，(H8)，

(H10)

Δ=0,

因此，當(dāng)(H4)，(H7)，(H8)，(H11)，(H12)，

(H13)

Δ>0,

因此，當(dāng)(H7)，(H8)，(H11)，(H13)，

因此，當(dāng)(H8)，(H9)，

2017年河北省非油氣持證礦山企業(yè)綜合利用產(chǎn)值17.86億元，較上年增加10.4億元；實(shí)現(xiàn)礦產(chǎn)品年銷售收入506.25億元，較上年增加107.33億元；實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)總額69.28億元，較上年增加40.87億元。

綜上所述，得到如下結(jié)論。

(2)若滿足以下條件之一：

(7)若系統(tǒng)均不滿足(1)-(6)的條件，則系統(tǒng)不存在正平衡點(diǎn)。

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)的Jacobi行列式為

(11)

定理2 在系統(tǒng)(1)中，E0(0,0)始終是一個(gè)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

證明系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E0(0,0)處的Jacobi行列式為

J(E0)的特征值為λ1=r+c1>0，λ2=b>0，因此E0(0,0)始終為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

證畢。

定理3 在系統(tǒng)(1)中，

證明由于x1滿足(3)式，因此系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E1(x1,0)處的Jacobi行列式為

定義函數(shù)g(x)=αx2-(r+c1-c-αd)x-d(r+c1)，可知x1是g(x)唯一的正零點(diǎn)。

證畢。

定理4 在系統(tǒng)(1)中，

證畢。

定理5 在系統(tǒng)(1)中，

證明：為便于討論，將系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)統(tǒng)一記為E*(x*,y*)。由于正平衡點(diǎn)滿足式(6)，因此系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)E*(x*,y*)處的Jacobi行列式可化簡(jiǎn)為

(12)

則

由Routh-Hurwitz判據(jù)可得，正平衡點(diǎn)E*(x*,y*)是局部漸近穩(wěn)定的充要條件為DetJ(E*)>0，即

cdβ-(x*+d)2(mn-αβ)>0。

(13)

(-B+2dA)(x*+d)-2cdβ<0,

(14)

當(dāng)Δ>0時(shí)，有

3 結(jié)論

眾所周知，經(jīng)典的Lotka-Voterra競(jìng)爭(zhēng)模型至多有4個(gè)平衡點(diǎn)，其中正平衡點(diǎn)最多1個(gè)，本研究表明，考慮自食之后，系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)具有多種情形，適當(dāng)條件下可以有0、1或者2個(gè)，特別有2個(gè)正平衡的情形下，有一個(gè)是局部漸近穩(wěn)定的，一個(gè)是不穩(wěn)定的，也就是說，在這一情形下，正平衡點(diǎn)不可能是全局穩(wěn)定的，這是與Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型完全不一樣的動(dòng)力學(xué)行為。

本研究只探討了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的存在性和局部穩(wěn)定性，在后續(xù)工作中將對(duì)系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為展開研究。