唐 遙， 易桂生

(江西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 江西 南昌 330022)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《標準》)指出，復數(shù)作為一類重要的運算對象，有廣泛的應用[1].然而當下一些教師因復數(shù)教學內(nèi)容“簡單”，加之考試分值占比小，往往重解題、重練習，輕過程、輕設計.在數(shù)學教育立德樹人的大環(huán)境變革下，當前對復數(shù)教學設計的研究主要圍繞以下四個方面展開：(1)核心素養(yǎng)，如張筱瑋等[2]著眼于核心素養(yǎng)對“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”進行教學再設計，呂天璽等[3]基于核心素養(yǎng)以“幾何意義”為線索進行了復數(shù)教學設計研究；(2)HPM，如王海青[4]基于數(shù)學史對“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”的教學設計提出思考，尹娟[5]進行了數(shù)學史融入復數(shù)概念的設計和教學研究；(3)教師學科知識，如從建華等[6]研究了MKT下的“數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入”教學設計，盧建川[7]重構(gòu)了基于問題驅(qū)動的高中復數(shù)教學內(nèi)容并開展教學設計研究；(4)學生認知，如李昌官[8]在布盧姆認知目標的指導下進行了“數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念”教學設計研究，甘經(jīng)娟[9]研究了高中生關于復數(shù)單元的概念表象.

對復數(shù)教學設計的現(xiàn)有研究充分肯定了核心素養(yǎng)的價值，認識到數(shù)學史對于特定教育內(nèi)容的指導意義，有重視學生發(fā)展的導向，一定程度上貫穿了“教師主導、學生主體”的理念，為教學的實施提供了參考.但是還存在以下問題：在教學內(nèi)容上多集中在“數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入”部分，而對于復數(shù)的其他知識涉及較少，缺少整體性的單元教學設計；在教學原理的指導上相對缺乏，更多的是強調(diào)數(shù)學知識的本身，教師的教與學生的學及數(shù)學知識間的邏輯關系并未充分分析.此外，HPM與核心素養(yǎng)的聯(lián)系程度不夠高.基于此，筆者在HPM的視角下從《標準》和高中數(shù)學新教材出發(fā)，分析復數(shù)教學設計背景，在數(shù)學教學“二重原理”理論框架的指導下，探討復數(shù)的單元教學設計.

2 教學設計背景

《標準》是課程的綱領性文件，教材是知識的載體，在教學設計前應明晰.為此，整理《標準》對于復數(shù)的教學要求[1]，如表1所示.復數(shù)屬于“主題三 幾何與代數(shù)”，是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體.三個版本最新教材中復數(shù)的數(shù)學史料呈現(xiàn)情況如表2所示.不同版本所呈現(xiàn)的數(shù)學史料不乏有相同之處，都有關于復數(shù)概念形成的背景，盡管呈現(xiàn)形式不盡相同.北師大版和湘教版還專門設置了閱讀材料作為學習內(nèi)容的補充.

表1 《標準》對于復數(shù)內(nèi)容的相關要求

表2 不同版本新教材中“復數(shù)”的HPM內(nèi)容比較

可見，HPM的滲透是教材編寫者的共識，對于復數(shù)的教學有一定的指導性.然而，把HPM融入教學絕非易事，其原因主要有：教師要充分儲備復數(shù)的數(shù)學史知識，要對復數(shù)概念有完整的理解，要認識受教育者的“最近發(fā)展區(qū)”等.另外，HPM應用于復數(shù)教學時不應簡單拼接，應著重揭示含于歷史進程中的數(shù)學文化價值[10]，體現(xiàn)數(shù)學的思想、方法和精神.

3 教學理論基礎

數(shù)學教育是“數(shù)學”與“教育”的雙向建構(gòu)[11]，既有一般教育共有的特征，又有其數(shù)學自身的特性.在這種思想基礎上，數(shù)學教學研究遵循“教與學對應”和“教與數(shù)學對應”，數(shù)學教學設計從學生的“學”和“數(shù)學”的本質(zhì)上開展.此外，在新課改的背景下，學科核心素養(yǎng)的出臺倒逼教學設計的變革，教學設計要從設計一個知識點或課時轉(zhuǎn)變?yōu)樵O計一個大單元[12].因此，數(shù)學單元教學設計就顯得尤為重要了.

3.1 教與學對應

“教與學對應”原理由認知主義心理學家皮亞杰(Jean Piaget)提出，它源于夸美紐斯(Jan Amos Komensky)的“教育適應自然”思想[13]，即人類的教育活動應以自然界的一般規(guī)律為基礎，根據(jù)人的自然本性和年齡特征，使學習者的智力得到充分的發(fā)展.數(shù)學教學要從學生出發(fā)，教師的“教”要以學生的“學”為基礎，教學的設計、實施和評價等也應根據(jù)學生的學情來確定.這與布魯納(Jerome S. Bruner)的“教的理論以學的理論與發(fā)展的理論為基礎”[11]也是一致的.

不同的學生對之前接觸的數(shù)系擴充經(jīng)驗不一致，此外數(shù)系擴充經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程，學生不可能親身經(jīng)歷，之前已經(jīng)獲得的間接經(jīng)驗也相對有限.因此，在學生已有認知基礎上確定復數(shù)教學的重難點顯得尤為重要.學生對于數(shù)系擴充并不陌生，但是在為何還要將數(shù)系擴充至復數(shù)這一點上可能會存在理解上的問題.所以在教學設計中要講清復數(shù)概念形成的來龍去脈，并擴充學生的知識面，在引導得出復數(shù)的概念之后舉例說明它在現(xiàn)實世界中的應用.

3.2 教與數(shù)學對應

有理論張力的數(shù)學教育學體系的邏輯起點有兩個維度：一個維度是教育學，另一個維度是數(shù)學教學[14].數(shù)學教育是研究數(shù)學教學方法與實踐的學科，認識數(shù)學的學科課程內(nèi)容在數(shù)學教育中的重要價值，這樣數(shù)學教育才能達到育人目的.數(shù)學教學中的“教與數(shù)學對應”與“教與學對應”原理相輔相成.

數(shù)學對象，如定義、公式、概念、法則等，往往有不同的表現(xiàn)形式，但它本身所固有的根本屬性不變.因此，站在“教與數(shù)學對應”原理的角度，數(shù)學教學不僅要讓學生認識形式，如記住公式、符號等，更重要的是使學生把握本質(zhì)，即理解其在特定范圍內(nèi)始終不變的特質(zhì)[15].“復數(shù)”來源于解方程的現(xiàn)實需要，它在教材中是靜態(tài)的定義，但從HPM的角度出發(fā)更能體會其動態(tài)的形成過程.

復數(shù)問題的發(fā)現(xiàn)始于古希臘時代丟番圖(Diophantus)求解一元二次方程，但當時并未被承認；至1545年意大利數(shù)學家卡丹(Cardano)在作品《重要的藝術(shù)》中意識到求解一元三次方程無法避免虛數(shù)問題；直到18世紀末韋塞爾(C. Wessel)給出了復數(shù)幾何表示，這一概念才開始被人們逐漸接受[16].復數(shù)的出現(xiàn)既充滿歷史的痕跡，又影響了現(xiàn)代科學的發(fā)展.數(shù)學之內(nèi)有黎曼(Riemann)和柯西(Cauchy)開始了復變函數(shù)研究，將數(shù)學的眼界由一維擴展至二維，數(shù)學之外有物理學家用其解釋波動現(xiàn)象等.

3.3 數(shù)學單元教學設計

單元是指一個特定主題下相關教學目標、內(nèi)容、過程、評價的集合[17]，單元教學設計是對單元教學的整體規(guī)劃和系統(tǒng)安排[18].數(shù)學單元教學設計著眼于提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，它是在整體思維的指導下，為了突出數(shù)學課程內(nèi)容的主線和內(nèi)在聯(lián)系而統(tǒng)籌、重組和優(yōu)化教材的內(nèi)容，并將優(yōu)化后的內(nèi)容視為一個相對獨立的教學單元，在此基礎上對教學單元整體進行循環(huán)改進的動態(tài)教學設計[19].這也契合《標準》中“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容”的理念.“復數(shù)”是“主題三 幾何與代數(shù)”的重要內(nèi)容之一，可以將其視為一個單元，內(nèi)容主要包括：數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入；復數(shù)的概念；復數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義、復數(shù)的運算等.

4 預設教學設計

在數(shù)學教育的實踐研究上，張奠宙先生提倡“上通數(shù)學，下達課堂”，把數(shù)學的“學術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學的“教育形態(tài)”[20].這一轉(zhuǎn)化需要數(shù)學課堂教學實踐，需要在教學理論的支撐下進行教學設計、預設教學情形.因此，依據(jù)“教與學對應”和“教與數(shù)學對應”的原理，認識學生的數(shù)學認知水平，理解復數(shù)的數(shù)學概念本質(zhì)，從而梳理好教學設計的內(nèi)容.

4.1 基于學生的認知經(jīng)歷，創(chuàng)設良好的教學情境

學生已經(jīng)學習過的相關內(nèi)容和認知經(jīng)歷如表3所示，從一年級至八年級持續(xù)“經(jīng)歷”數(shù)系的擴充.從自然數(shù)擴充到整數(shù)，然后擴充到有理數(shù)，再擴充到實數(shù)，新數(shù)系和原數(shù)系加法、乘法運算相容，并保持運算律.義務教育階段并未給學生強調(diào)數(shù)系擴充的規(guī)則和特點.學生只有大概的經(jīng)驗，沒有形成完整的認識.

表3 學生已經(jīng)學習過的相關內(nèi)容及認知經(jīng)歷

基于上述分析，學生學習復數(shù)的認知困難主要有[21]：已經(jīng)建立的數(shù)系擴充經(jīng)驗理性程度不高，特別是對其中蘊含的數(shù)學思想方法的理解不夠深入；復數(shù)是“二維數(shù)”，用直角坐標系上的有序數(shù)對表示是經(jīng)驗上的一次飛躍.為此，引入復數(shù)時可以介紹數(shù)學史背景，在解方程中引起認知沖突，在數(shù)學情境中激發(fā)學生的學習興趣.

4.2 基于HPM設計數(shù)學問題，揭示數(shù)學概念的本質(zhì)

數(shù)學問題的設計要合理、自然，基于HPM設計的引導性問題應體現(xiàn)復數(shù)的數(shù)學邏輯及文化底蘊.在實際教學實踐中，教師常采用的引入復數(shù)概念的方式有[22]：直接從一元二次方程的求解問題引入；先講解數(shù)系的擴充，然后再從方程求解問題引入；利用卡丹或萊布尼茨的二元二次方程組問題引入；從三次方程求根問題引入.前兩種方式遵循復數(shù)概念的邏輯順序，后兩種方式則遵循歷史順序.HPM視角下開展教學設計可以將復數(shù)的歷史順序和邏輯順序統(tǒng)一起來.

根據(jù)復數(shù)發(fā)展史，基于HPM的教學設計可用的數(shù)學史料、數(shù)學抽象出的內(nèi)容、問題和要點如表4所示.數(shù)學史料在數(shù)系擴充、復數(shù)引入和后續(xù)教學中具有引導性，結(jié)合《標準》的理念適當選取并有機融合，凸顯出教學設計的要點；從解方程中歸結(jié)出將數(shù)系擴充到復數(shù)系所要解決的根本問題[21]，為揭示復數(shù)的數(shù)學本質(zhì)做準備，并體現(xiàn)出復數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展過程中的科學精神和數(shù)學文化.

表4 HPM知識、數(shù)學抽象出的問題和教學設計要點

5 教學設計形成

數(shù)學學科核心素養(yǎng)體現(xiàn)在四個方面[1]：情境與問題；知識與技能；思維與表達；交流與反思.從這四個方面入手，結(jié)合HPM并在數(shù)學教學“二重原理”的指導下，嘗試將《標準》中復數(shù)的考試要求內(nèi)容“復數(shù)的概念”和“復數(shù)的意義”進行整合，并適量滲透復數(shù)的三角表示，開展單元教學設計.

5.1 教學目標設置

根據(jù)上述分析，制定復數(shù)單元教學設計的教學目標，如表5所示.將復數(shù)的要點進行分解，在知識學習的層次上用“了解”“理解”和“掌握”刻畫，同時對應可能涉及的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

表5 復數(shù)的教學目標

5.2 教學重點、難點

教學重點：數(shù)系的擴充過程；復數(shù)的概念；復數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義；復數(shù)的四則運算；復數(shù)加、減運算的幾何意義.

教學難點：復數(shù)的引入；復數(shù)的幾何意義；復數(shù)的三角表示式.

5.3 教學程序設計

【情境與問題】

情境一：1545年，意大利數(shù)學家卡丹在著作《大術(shù)》中遇到一個問題：將數(shù)字10分成兩部分，使得它們的乘積為40，則它們分別為多少？

情境二：在16世紀出現(xiàn)了用

(Tartaglia)求解方程x3+px=q.1572年意大利數(shù)學家邦貝利研究了三次方程的個例：x3=15x+4.根據(jù)上面的求根公式，你覺得邦貝利這個方程有解嗎？

問題：當年的數(shù)學家們遇到了“實數(shù)集不夠用”的情況，那么后來又是怎樣解決這個問題的呢？

設計意圖：通過呈現(xiàn)真實的數(shù)學史故事，自然地引出數(shù)學問題.結(jié)合學生已有的認知水平，給出三次方程求解公式并從數(shù)學史中發(fā)掘問題，激發(fā)學生的學習興趣，對應了“教與學對應”的原理.

【知識與技能】

經(jīng)驗一：回顧學過的數(shù)系擴充過程，體會它來源于生產(chǎn)實踐的需要.

(1)遠古人類由于計數(shù)的需要而創(chuàng)造了自然數(shù)，形成自然數(shù)系；

(2)為了刻畫相反意義的量而引入了負整數(shù)，將數(shù)系擴充至整數(shù)系；

(3)為了解決測量與分配中等分的問題而引入了分數(shù)，將數(shù)系擴充至有理數(shù)系；

(4)第一次數(shù)學危機，為了解決正方形對角線測量問題而引入了無理數(shù)，將數(shù)系擴充至實數(shù)系.

經(jīng)驗二：從解方程的角度理解數(shù)系的擴充過程[22]，如表6所示，體會它是數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要.

表6 從解方程的角度理解數(shù)系的擴充過程

知識建構(gòu)：引入復數(shù)的必要性和數(shù)系的擴充.

(1)卡丹二次方程求解.

看似合理，實則違反了“負數(shù)不可開平方”.

(2)邦貝利三次方程求解.

圖1 函數(shù)f(x)=x3-15x-4的局部圖象

(3)學習頓悟.

(4)引入復數(shù)系.

設計意圖：從生產(chǎn)實踐和數(shù)學內(nèi)部需要兩個角度回顧數(shù)系擴充過程，總結(jié)數(shù)系擴充過程中遵循的規(guī)律和原則，自然地引入復數(shù)系，對應“教與數(shù)學對應”的原理；數(shù)學史和現(xiàn)代教育技術(shù)的合理融合，有利于加深學生對數(shù)系擴充過程的理解.

知識建構(gòu)：復數(shù)的概念、代數(shù)形式、分類及相等的含義.

把擴充后的新數(shù)記為a+bi(a,b∈R),通常用z表示，其中a為實部，b為虛部，分別記作：Re(z)=a,Im(z)=b.1813年，高斯首次將這種數(shù)取名為“復數(shù)”(complex number)，a+bi(a,b∈R)稱為復數(shù)的代數(shù)形式.全體復數(shù)組成的集合{a+bi|a,b∈R}稱為復數(shù)集，記為“C”(大寫)，其具體分類如表7所示.在此基礎上，引導學生展開討論，得出兩個復數(shù)相等的充要條件：實部和虛部分別都相等.由此，再帶領學生一起畫出數(shù)集之間的關系圖，如圖2所示.

表7 復數(shù)的分類

圖2 數(shù)集之間的關系

設計意圖：突出重點，系統(tǒng)傳授復數(shù)的主要知識，并引導學生明晰數(shù)集之間的關系，有利于提升學生歸納總結(jié)能力.

知識建構(gòu)：復數(shù)的幾何意義.

(1)引出復平面.

復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)本質(zhì)上是一對有序數(shù)對(a,b).提出問題：復數(shù)系是在實數(shù)系的基礎上擴充而來，實數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，并一一對應，那么類似地復數(shù)能否也用點表示呢？啟發(fā)學生思考，并展開討論.有了直角坐標系上的點和有序數(shù)對一一對應的經(jīng)驗，復數(shù)可以用點表示.但是一維數(shù)軸上的點只能表示“一維數(shù)”，無法正確地表示復數(shù)這種“二維數(shù)”.在此基礎上，為了表示出復數(shù)“二維”的性質(zhì)，復平面應運而生.介紹復平面的由來：1797年，挪威數(shù)學家韋塞爾在著作中首次把全體復數(shù)與平面上的點建立了一一對應關系；1831年，德國數(shù)學家高斯對復平面作出了詳細的說明，至此復平面才被人們廣泛地接受，它也被稱為高斯平面.

(2)復數(shù)的幾何意義.

圖3 復數(shù)z=a+bi的幾何表示

圖4 復平面上z和它的共軛復數(shù)

圖5 復數(shù)z=a+bi的向量形式

圖三者之間的關系

設計意圖：通過類比“實數(shù)—數(shù)軸”，得到“復數(shù)—復平面”，實現(xiàn)了一維到二維的聯(lián)想[24]，從復數(shù)的代數(shù)形式遷移到復數(shù)的幾何形式和向量形式，建構(gòu)了復數(shù)的幾何意義，并引出了共軛復數(shù)、復數(shù)模的概念和復數(shù)的三角表示，層層遞進，中間穿插了復平面的數(shù)學史.對應了數(shù)學教學的“二重原理”，有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合能力及數(shù)學運算、直觀想象核心素養(yǎng).

知識建構(gòu)：復數(shù)的四則運算.

(1)復數(shù)的加法與減法運算及其幾何意義[25].

根據(jù)已有的經(jīng)驗，實數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即a,b,c∈R,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).先提出問題：復數(shù)的加法應該如何規(guī)定，才能符合類似的結(jié)合律和交換律？然后給出三個復數(shù)：z1=1+2i,z2=1-i,z3=-1+3i,讓學生思考并討論z1+z2與(z1+z2)+z3的值應該等于多少？歸納總結(jié)出任意兩個復數(shù)相加的運算規(guī)則：設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.顯然，兩個共軛復數(shù)的和為實數(shù)，即

圖7 復數(shù)加法的幾何意義

圖8 復數(shù)減法的幾何意義

(2)復數(shù)的乘法與除法運算.

實數(shù)的乘法對加法滿足分配律，如(x1+y1)(x2+y2)=x1x2+x1y2+y1x2+y1y2.設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù)，如何定義它們的乘法法則才可行呢？引導學生探究.為使乘法分配律成立，有：

z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi;

希望加法滿足交換律和結(jié)合律，所以有：

z1·z2=ac+adi+cbi+bidi=ac+(ad+bc)i+bdi2.

當b=0,d=0時，復數(shù)與實數(shù)的乘法法則一致了，說明采用這種辦法得到的復數(shù)乘法法則與實數(shù)乘法法則相容.復數(shù)的乘法類似于關于i的“一次二項式乘法”，按照乘法、加法的運算律展開，再合并同類項，結(jié)果中如含有i2則替換成-1.

類比根式除法中的“分母有理化”，復數(shù)的除法寫成分數(shù)的形式后，借助除數(shù)的共軛復數(shù)進行“分母實數(shù)化”[21]，再拆開、化簡.這里還可以用問題的形式引入，如設實數(shù)a,b滿足(a+bi)(1+3i)=1,利用方程組求得a,b的值，讓學生思考能否用其他方法求解，從而發(fā)現(xiàn)并總結(jié)復數(shù)除法運算的規(guī)則.事實上，1837年復數(shù)四則運算的法則由愛爾蘭數(shù)學家哈密爾頓提出，之后他還推廣了“四元數(shù)”.

設計意圖：注重引導學生探究與發(fā)現(xiàn)，類比實數(shù)推出復數(shù)的四則運算法則，既順應學生的認知又符合數(shù)學的發(fā)展歷程；對于復數(shù)的加減法還給出了幾何解釋，數(shù)形結(jié)合，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學運算和邏輯推理核心素養(yǎng).

【思維與表達】

思維訓練：主要通過習題考查學生對復數(shù)知識的理解與應用.

(3)已知實數(shù)x、y滿足(1+i)x=1+yi,求復數(shù)z=x+yi的模長.

(4)計算

i÷(1-i).

學習升華：學生根據(jù)教師的講解，反思解題過程中存在的問題，理解其中蘊含的數(shù)學思想方法.教師再進行知識拓展，復數(shù)在數(shù)學之外也“大有作為”，如：達朗貝爾將復變函數(shù)論用于流體力學，蘭伯特將復數(shù)理論用于地圖制作等.

設計意圖：解題過程中復數(shù)知識的靈活應用既訓練了學生的邏輯思維，又有利于提高分析問題和解決問題的能力，對應了“教與學對應”的原理.此外，復數(shù)跨學科應用的知識拓展，融合了數(shù)學史料，使學生認識數(shù)學知識的重要性和實用性.

【交流與反思】

提出以下問題：

(1)復數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？復數(shù)的概念是什么？

(2)復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義是什么？

(3)怎樣理解共軛復數(shù)、復數(shù)的模？

(4)復數(shù)代數(shù)表示式的四則運算規(guī)則是什么？

(5)復數(shù)的三角形式怎樣表示？

(6)學習復數(shù)后對數(shù)學有哪些新的認識與感觸？

引導學生系統(tǒng)回顧、交流討論、歸納總結(jié)，并進行學習反思，然后將復數(shù)知識之間的聯(lián)系以及其中的數(shù)學思想方法整合[26]，如圖9所示.

圖9 復數(shù)知識之間的聯(lián)系及其思想方法

設計意圖：引導學生回顧、梳理所學知識，知識再現(xiàn)、過程再現(xiàn)、交流反思，有利于加深學生對復數(shù)的理解，并形成系統(tǒng)的復數(shù)知識框架和建構(gòu)完整的復數(shù)認知結(jié)構(gòu)，對應了數(shù)學教學的“二重原理”.

6 結(jié)束語

數(shù)學存在于歷史之中, 活的數(shù)學存在于活的數(shù)學史之中, 活的數(shù)學教育講授的是活的數(shù)學和活的數(shù)學史[27].HPM視角下將復數(shù)的數(shù)學史料、數(shù)學知識、學生認知有機結(jié)合，注重知識的整體性和關聯(lián)性，把教師的教和學生的學統(tǒng)一起來，使復數(shù)的教學變得生動而更加有意義.圍繞數(shù)學教學的“二重原理”開展復數(shù)教學設計，既要考慮學生學習的前后關聯(lián)和繼承，也要凸顯數(shù)學的本質(zhì)及其蘊含的思想方法.上述復數(shù)的單元教學設計在HPM、“二重原理”理論、數(shù)學知識、學生學習等方面的耦合上做了一些安排和思考，以期助力于新課改下圍繞數(shù)學核心素養(yǎng)的主題式和單元式教學設計研究及實踐.