侯秀慧 呂 游 周世奇 朱志韋 張 凱 鄧子辰

(西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院,西安 710129)

(復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710072)

引言

在沖擊載荷作用下,吸能材料的應(yīng)用具有重要的工程意義.傳統(tǒng)的減振吸能方法主要有兩種:其一,利用材料的塑性變形實(shí)現(xiàn)能量吸收耗散[1],如汽車保險(xiǎn)杠和輕型自行車頭盔均是基于這一原理進(jìn)行結(jié)構(gòu)以及超材料設(shè)計(jì),然而破壞性的塑性變形使得材料無法重復(fù)利用;其二,利用材料的黏彈特性[2-3],實(shí)現(xiàn)重復(fù)性的能量吸收,如橡膠鞋底和汽油活塞減振器等都是基于材料黏彈性理論實(shí)現(xiàn)的能量吸收,但這種情況下的吸能效果嚴(yán)重依賴于加載和卸載的速度.工程中理想的減振吸能材料顯然需要滿足如:可重復(fù)使用、輕質(zhì)、自主耗能、持續(xù)吸能等特點(diǎn)[4-5].近幾年,基于多孔結(jié)構(gòu)輕質(zhì)高強(qiáng)等優(yōu)異的力學(xué)性能[6-11],利用多孔結(jié)構(gòu)的負(fù)剛度特性實(shí)現(xiàn)自主耗能,受到國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[12-16].

Qiu 等[17]設(shè)計(jì)出一種“雙曲梁”雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),這種新型多孔結(jié)構(gòu)不依賴于預(yù)應(yīng)力即可實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)屈曲變形;模態(tài)分析以及有限元模擬結(jié)果表明:該結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特征取決于曲梁的截面尺寸以及曲率的大小.Restrepo 等[18]通過設(shè)計(jì)具有“柔性雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)”的曲梁單胞,引入解析模型分析了PXCM(phase transforming cellular materials)材料的本構(gòu)行為,研究表明PXCM 的漸進(jìn)相變產(chǎn)生了加載?卸載的滯回環(huán)現(xiàn)象,從而實(shí)現(xiàn)了能量吸收;PXCM 的這種吸能特征不僅可與金屬及聚合物蜂窩結(jié)構(gòu)的吸能能力相媲美,而且其變形是可恢復(fù)的.但由于結(jié)構(gòu)存在多穩(wěn)態(tài),每次使用后都將借助外力恢復(fù)初穩(wěn)態(tài)才能再次使用,在使用效能上嚴(yán)重受限.Findeisen 等[19]提出了由雙穩(wěn)態(tài)曲梁單元組成的三維晶格結(jié)構(gòu),通過半解析以及有限元方法對(duì)該三維力學(xué)超材料進(jìn)行穩(wěn)定性分析,研究結(jié)果表明:區(qū)別于以往依靠材料的破壞性塑性變形以及黏彈性耗能,該超材料能量耗散主要是將外部沖擊載荷的沖擊能轉(zhuǎn)化為超材料結(jié)構(gòu)的振動(dòng),令其變形具有可重復(fù)、可恢復(fù)以及可設(shè)計(jì)性等特征.Pan 等[20]通過設(shè)計(jì)三維 PM(pixel mechanical)結(jié)構(gòu),利用自我反彈的負(fù)剛度特性實(shí)現(xiàn)減振耗能.

結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)的主要原因是外部沖擊載荷的能量(動(dòng)能)輸入,如要迅速減小沖擊載荷引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng),可通過增大結(jié)構(gòu)彈性變形(加載?卸載)過程中吸收的能量來實(shí)現(xiàn).負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的吸能能力,主要取決于負(fù)剛度單胞臨界載荷最大值與最小值的差值,如圖1 所示,然而對(duì)于大多數(shù)不具雙穩(wěn)態(tài)的負(fù)剛度結(jié)構(gòu),其負(fù)剛度臨界載荷最大與最小值間的差值較小,能量吸收效果不明顯,結(jié)構(gòu)將出現(xiàn)彈性應(yīng)變能與動(dòng)能的反復(fù)轉(zhuǎn)換,從而出現(xiàn)持續(xù)性的振動(dòng).而具有雙穩(wěn)態(tài)特征的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)雖然具有較強(qiáng)能量吸收效力,但因其不能自主反彈,無法實(shí)現(xiàn)持續(xù)性的吸能,當(dāng)被壓實(shí)后,結(jié)構(gòu)也將出現(xiàn)持續(xù)性的振動(dòng).為了有效地解決這一問題,本文通過負(fù)剛度超材料構(gòu)型設(shè)計(jì),利用具有多穩(wěn)態(tài)特征的曲梁作為單胞的胞壁,通過單胞構(gòu)型控制,在抑制結(jié)構(gòu)多穩(wěn)態(tài)出現(xiàn)的同時(shí),提高結(jié)構(gòu)負(fù)剛度臨界載荷最大值與最小值的差值,從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)吸能效率的提升,加快能量的衰減,減小載荷引起的持續(xù)性振動(dòng).

圖1 負(fù)剛度單胞力(F)?位移(S)曲線示意圖Fig.1 Sketch of force (F)-displacement (S)relation for a negative stiffness cell

本文提出了一種由曲梁單元增加約束(在曲梁中點(diǎn)增加豎向柱、在曲梁兩端點(diǎn)增加側(cè)壁、在曲梁底部進(jìn)行凹槽設(shè)計(jì))所構(gòu)建的新型三維負(fù)剛度結(jié)構(gòu),并研究了其在沖擊載荷作用下的吸能特性.與已有的單穩(wěn)態(tài)負(fù)剛度結(jié)構(gòu)相比,該新型結(jié)構(gòu)通過增加約束抑制曲梁多穩(wěn)態(tài)的出現(xiàn),同時(shí)通過彈性范圍內(nèi)曲梁大變形壓縮過程中內(nèi)部單元的自主回彈,實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)吸能效率的提升.采用數(shù)值模擬方法分析了單胞幾何參數(shù),結(jié)構(gòu)周期性對(duì)屈曲模態(tài)以及吸能效率等力學(xué)性能的影響,同時(shí)進(jìn)行了梯度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),并解析其在不同沖擊載荷下能量的吸收效率,為工程結(jié)構(gòu)減振耗能提供技術(shù)支持.

1 分析模型

1.1 負(fù)剛度結(jié)構(gòu)吸能特性分析

負(fù)剛度結(jié)構(gòu),也稱為負(fù)剛度超材料,通常定義為由具有負(fù)剛度行為的單胞組成的結(jié)構(gòu).對(duì)于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu),其沿外力方向的變形隨載荷增大而增大,而負(fù)剛度單胞表現(xiàn)出相反的行為,即變形隨著載荷的減小而增大,如圖1 所示,力?位移曲線在負(fù)剛度行為區(qū)間存在最大值Fmax和最小值Fmin,若最小值小于0,結(jié)構(gòu)存在雙穩(wěn)態(tài),在壓縮后將無法反彈至最初形態(tài);若最小值大于0,結(jié)構(gòu)不存在雙穩(wěn)態(tài),在壓縮后將能自主恢復(fù)到最初形態(tài).由多個(gè)負(fù)剛度單胞組成的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的加載?卸載力?位移曲線如圖2 所示,由圖2 可知,加載?卸載滯回曲線存在一個(gè)封閉的區(qū)間,該區(qū)間面積即為負(fù)剛度結(jié)構(gòu)一個(gè)加載?卸載周期吸收的能量.曲線是周期性的,且其最大值和最小值隨串聯(lián)的負(fù)剛度單元個(gè)數(shù)增加而分別收斂于負(fù)剛度單胞的臨界載荷最大值與最小值.在Fmin>0 的情況下,負(fù)剛度結(jié)構(gòu)之所以能夠?qū)崿F(xiàn)自主回彈,這是因?yàn)榇?lián)的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)在受到壓縮載荷時(shí),由于制造缺陷,結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)某一層先到達(dá)負(fù)剛度臨界值點(diǎn),該層單胞結(jié)構(gòu)會(huì)繼續(xù)壓縮而其他層單胞回彈,導(dǎo)致這種回彈的原因?yàn)閇18]:由圖1 所示,負(fù)剛度單胞的剛度變化呈現(xiàn)出3 個(gè)階段,即k1→k2→k3.設(shè)負(fù)剛度結(jié)構(gòu)單胞串聯(lián)個(gè)數(shù)為n,壓縮過程中處于3 個(gè)階段的單胞個(gè)數(shù)分別為n1,n2,n3.結(jié)構(gòu)壓縮過程中的有效剛度可表示為

圖2 負(fù)剛度結(jié)構(gòu)力(F)?位移(S)曲線示意圖[1]Fig.2 Sketch of force (F) -displacement (S)relation for a negative stiffness structure[1]

這表明在結(jié)構(gòu)上增加單胞個(gè)數(shù)會(huì)降低結(jié)構(gòu)的有效剛度.假設(shè)結(jié)構(gòu)壓縮過程只某一行單胞處于負(fù)剛度階段,則處于第Ⅰ和Ⅲ階段結(jié)構(gòu)部分的有效剛度隨n值增大而減小,而處于第 Ⅱ 階段的部分剛度(其只有一行)保持不變?yōu)閗2,當(dāng)n達(dá)到或超過某一臨界值時(shí),滿足條件

結(jié)構(gòu)將表現(xiàn)出回彈行為,即位移的反轉(zhuǎn)以及驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)換所需平衡力的減小導(dǎo)致的回彈行為;同樣,卸載過程中,結(jié)構(gòu)某一層將先達(dá)到負(fù)剛度臨界載荷值的最小值點(diǎn),該層單胞會(huì)出現(xiàn)回彈而其他層單胞發(fā)生壓縮變形.由于加載?卸載過程中內(nèi)部單胞的自我調(diào)整和回彈振動(dòng)消耗能量,使其儲(chǔ)存在單元內(nèi)部的部分彈性應(yīng)變能在回彈過程中被消耗,從而實(shí)現(xiàn)耗能,并且克服了雙穩(wěn)態(tài)吸能結(jié)構(gòu)借助外力恢復(fù)變形才能再次使用的弊端,這一特性已被用于相關(guān)結(jié)構(gòu)吸能設(shè)計(jì)[21-22].

1.2 單胞構(gòu)型設(shè)計(jì)

本文以如圖3(a)所示曲梁為基本組件,設(shè)計(jì)出三維單胞構(gòu)型如圖3(b)所示,其中曲梁初撓度設(shè)為兩端固支直梁的第一階屈曲模態(tài),即

圖3 曲梁組件及三維單胞Fig.3 Curved beam module and 3D unit cell

其中,h為曲梁的初始頂點(diǎn)高度,L為梁的跨度,t為曲梁壁厚度,t1為側(cè)壁厚度.定義Q=h/t為曲梁的形狀因子.

當(dāng)曲梁兩端受固定約束時(shí),在曲梁跨中頂點(diǎn)處施加外載荷f,采用模態(tài)疊加法并忽略高階模態(tài),可得到如下封閉解[17,23]:若二階模態(tài)未被限制

若二階模態(tài)受到限制

參數(shù)無量綱化

其中，E為材料彈性模量,I為截面慣性矩,d為曲梁頂點(diǎn)A的位移.

由式(4)～ 式(7)可得曲梁頂點(diǎn)作用載荷時(shí)的力?位移曲線,如圖4 所示.可得:只具有負(fù)剛度而不具多穩(wěn)態(tài)的曲梁 (Q<2.31),其負(fù)剛度臨界載荷最值間差值較小;而具有多穩(wěn)態(tài)的曲梁(Q>2.31),其負(fù)剛度臨界載荷最大與最小值間的差值較大.而負(fù)剛度結(jié)構(gòu)一個(gè)周期內(nèi)能量吸收值的大小取決于負(fù)剛度臨界載荷最大值與最小值的差值(見圖2),因此利用構(gòu)型設(shè)計(jì),使曲梁Q>2.31 的同時(shí),通過在單胞頂點(diǎn)增加高為h/2 的豎向柱,抑制曲梁二階模態(tài)的出現(xiàn),從而提高負(fù)剛度單胞臨界載荷最大值Fmax(即式(7)對(duì)應(yīng)的F3).同時(shí)通過在曲梁底部進(jìn)行凹槽設(shè)計(jì),以抑制曲梁在Q>2.31 時(shí)多穩(wěn)態(tài)的出現(xiàn),從而形成如圖3(b)所示的三維負(fù)剛度單胞.該結(jié)構(gòu)將增大負(fù)剛度臨界載荷最值間的差值,實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的完全自主反彈和減振耗能能力的提升.

圖4 歸一化的曲梁力?位移關(guān)系的幾種解[17]Fig.4 Several solutions of the normalized force-displacement relations of curved beams[17]

2 力學(xué)性能參數(shù)分析

以金屬鋁(E=68 GPa,ρ=2300 kg/m3)為基底材料,取如圖3(b) 所示三維單胞的一部分,用ABAQUS 有限元軟件分析側(cè)壁厚度t1對(duì)屈曲模態(tài)的影響.由于結(jié)構(gòu)具有大變形,采用了動(dòng)力顯示分析步,并且考慮幾何非線性,采用修正的二次四面體單元,即C3D10M 單元,該非線性積分單元具有10 個(gè)節(jié)點(diǎn),分別位于四面體的4 個(gè)頂點(diǎn)和6 條邊中點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有3 個(gè)自由度,在位移控制下,能夠捕捉到后屈曲以及負(fù)剛度單元的跳躍現(xiàn)象,可以避免剪切和體積自鎖,適用于ABAQUS/explicit 分析步下大變形和接觸問題的分析.邊界條件設(shè)置上,單胞底部為完全固定,將單胞頂部耦合到一參考點(diǎn),并輸出該參考點(diǎn)在加載過程中的力?位移曲線.選取的分析模型如圖5 所示,其中圖5(a)側(cè)壁厚度t1=2t,圖5(b)側(cè)壁厚度t1=t.已知兩端固定的曲梁,在二階模態(tài)受到抑制時(shí),其在頂點(diǎn)載荷的作用下,產(chǎn)生的屈曲模態(tài)如圖6 所示.通過對(duì)比可知,當(dāng)側(cè)壁厚度取 2t時(shí),側(cè)壁相對(duì)剛度較大,單胞壓縮過程中產(chǎn)生與固端約束相同的屈曲模態(tài),且引起較大的負(fù)剛度臨界載荷最大值,如圖7 所示;同時(shí)由于單胞凹槽底部胞壁的限制,負(fù)剛度臨界載荷最小值大于0,從而使多穩(wěn)態(tài)單胞結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)自主反彈.而對(duì)于圖5(b),由于單胞側(cè)向壁厚與曲梁壁厚大小相當(dāng),從而使側(cè)壁相對(duì)剛度較小,不足以限制曲梁的轉(zhuǎn)動(dòng),因此側(cè)向胞壁產(chǎn)生較大轉(zhuǎn)角,出現(xiàn)了與兩端固定的受壓曲梁不同的屈曲模態(tài),且其負(fù)剛度臨界載荷最大值與固端屈曲模態(tài)相較,有明顯減小,如圖7 中實(shí)線所示.

圖5 側(cè)壁厚度 t1 對(duì)曲梁屈曲模態(tài)的影響Fig.5 Effect of lateral wall thickness t1 on the buckling mode of curved beam

圖6 兩端固定曲梁在二階模態(tài)受到抑制后的屈曲模態(tài)Fig.6 Buckling mode of a curved beam fixed at both ends after the second-order buckling mode being suppressed

圖7 不同側(cè)壁厚度(t1)下單胞的力(F)?位移(S)曲線Fig.7 Force (F)-displacement (S) relation of the unit cell with different lateral wall thicknesses (t1)

由此可知,當(dāng)側(cè)壁厚度相對(duì)曲梁壁厚較大時(shí)(t1≥2t),可將其視為曲梁端點(diǎn)的固端約束,在高為h/2的豎向柱的作用下,曲梁的二階模態(tài)受到抑制,從而產(chǎn)生如圖6 所示的屈曲模態(tài).

針對(duì)相對(duì)壁厚(側(cè)壁與曲梁的壁厚比值t1/t)的臨界值,進(jìn)行了理論及有限元分析,即探討在何種側(cè)向壁厚條件下,可以獲得如圖6 所示的屈曲模態(tài).在曲梁頂點(diǎn)施加外載荷f,側(cè)向胞壁將會(huì)受力彎曲,其中側(cè)向胞壁底端的彎矩大小為

其中I=bt3/12 為曲梁胞壁的截面慣性矩.

在該彎矩作用下,側(cè)向胞壁相對(duì)豎直方向轉(zhuǎn)角為

其中I1=/12為側(cè)向胞壁的截面慣性矩,b為側(cè)向胞壁平面外厚度(設(shè)為常數(shù)).

將式(8)代入式(9),可得

由式(10)可知,端部受約束的曲梁結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)由除外載f之外的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)Q=h/t,t/L,t1/t所決定.

用有限元軟件模擬不同Q,t/L,t1/t取值下曲梁的屈曲模態(tài),從而確定側(cè)向胞壁對(duì)曲梁端點(diǎn)的約束效果,如圖8 所示.在兩種情況下,結(jié)構(gòu)會(huì)呈現(xiàn)出固端屈曲模態(tài):

圖8 Q, t/L,t1/t對(duì)結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)的影響(θ1 為t1=2t 時(shí)側(cè)向胞壁相對(duì)豎直方向的轉(zhuǎn)角)Fig.8 Effects of Q, t/L,t1/t on buckling modes of the new developed structure (θ1 represents the angle of the lateral wall relative to the vertical direction when t1=2t)

(1)當(dāng)t/L<0.01 且t1/t>1時(shí),即曲梁壁厚t相對(duì)曲梁長度L較小,而側(cè)向壁厚t1大于曲梁壁厚t時(shí),θ<θ1,其中 θ1為t1=2t時(shí)側(cè)向胞壁相對(duì)豎直方向的轉(zhuǎn)角.

(2) 當(dāng) 0.012 時(shí),即曲梁壁厚t相對(duì)曲梁長度L較大,而同時(shí)側(cè)向壁厚t1大于曲梁壁厚t的2 倍時(shí),θ<θ1.

形狀因子Q的影響,由圖8 可知,當(dāng)形狀因子2.31

3 吸能特性分析

3.1 單胞吸能效率分析

隨著單胞串聯(lián)個(gè)數(shù)的增加,負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的耗能比也會(huì)逐漸增大.當(dāng)串聯(lián)的單胞數(shù)量足夠多時(shí),結(jié)構(gòu)整體的耗能比最后趨于一個(gè)穩(wěn)定的值,并且在加載?卸載過程中,結(jié)構(gòu)所受載荷趨近于單胞負(fù)剛度臨界載荷的最值.本文通過理論解析,利用單胞加載?卸載的力?位移響應(yīng)計(jì)算單胞吸收的能量大小,并比較了不同參數(shù)對(duì)單胞吸能效率的影響.

單胞單位質(zhì)量吸收的能量可表示為[24]

其中,W為單胞吸收的能量,s為最大位移,ρ 為基底材料的密度,V為單胞的體積,f1(δ)與f2(δ) 分別為結(jié)構(gòu)加載?卸載過程中變化的外力值.V可以通過將單胞凹槽胞壁體積Vwall和曲梁體積Vbeam相加得到,曲梁的體積Vbeam的計(jì)算方法是將曲梁的長度,曲梁平面外厚度b及曲梁面內(nèi)壁厚t相乘.其中通過對(duì)曲梁形狀的線性函數(shù)w(x) 積分得到曲梁的長度.

在加載?卸載過程中,當(dāng)單胞個(gè)數(shù)足夠多時(shí):f1(δ)?f2(δ)=fmax?fmin其中fmax,fmin由式(6)與式(7)聯(lián)立求解.在這種情況下,計(jì)算了不同Q,t/L下曲梁單胞吸收的能量大小.其中曲梁I 相應(yīng)參數(shù)為

曲梁II (要求Q(II)>2.31,此處取Q(II)=5),相應(yīng)參數(shù)為

在不同t/L值下,曲梁I (Q(I)=2.31) 和曲梁II(Q(II)>2.31)單位質(zhì)量的能量吸收大小如圖9 所示.結(jié)果顯示曲梁II 的吸能效果比曲梁I 有大幅度提高,且隨著曲梁相對(duì)壁厚(t/L)的增大,該負(fù)剛度結(jié)構(gòu)吸收能量的能力迅速增強(qiáng),這是因?yàn)榇藛伟?fù)剛度臨界載荷最大值是壁厚t的三次方,在相同Q值下,不同t/L對(duì)單胞吸能大小有顯著影響.定義曲梁I (Q(I)=2.31)單位質(zhì)量能量吸收值(Wm1) 與曲梁II (Q(II)>2.31)單位質(zhì)量能量吸收值 (Wm2) 的比值為η=Wm1/Wm2,如圖10 所示.在相同t/L值下,η值將隨著Q(II)值的增大而減小,但是不同t/L值的變化對(duì) η 無顯著影響,這是因?yàn)樵谙嗤瑃/L值下,Q值對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量和體積影響很小,單胞結(jié)構(gòu)吸能比值大小主要取決于Q值對(duì)負(fù)剛度臨界值的影響.由圖9 和圖10 的對(duì)比分析可知,本文所設(shè)計(jì)的三維曲梁結(jié)構(gòu)(曲梁II)在實(shí)現(xiàn)自主反彈的基礎(chǔ)上,吸能效率得到了顯著提升.

圖9 不同 Q 值下,結(jié)構(gòu)吸收的能量隨 t/L 的變化關(guān)系Fig.9 Variation of energy absorption Wm with t/Lunder different shape factorsQ

圖10 單胞吸能比值 η 隨形狀因子 Q(II) 的變化關(guān)系Fig.10 Variation of energy absorption efficiencyη with different shape factorsQ(II)

3.2 周期結(jié)構(gòu)吸能效率分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性,采用Q=5,h=0.1 m,L=1 m,t=0.02 m的單胞,并將該單胞按照 3×3和6×6 的排列方式組成周期結(jié)構(gòu),分別用9 倍面積和36 倍面積的剛性板以 5m/s 的速度沖擊周期結(jié)構(gòu)(見圖11).記錄剛性板在沖擊前后的速度變化,如圖12 所示.

圖11 周期結(jié)構(gòu)分析模型Fig.11 Analytical models for periodic structure

圖12 單胞和周期結(jié)構(gòu)在相同沖擊速度下的力學(xué)響應(yīng)Fig.12 Mechanical responses of unit cell and periodic structures under the same impact velocities

結(jié)果顯示:在結(jié)構(gòu)變形趨于穩(wěn)定之后(T>1 s),相比于單胞結(jié)構(gòu),剛性板沖擊周期結(jié)構(gòu)1(3×3 單胞排列)之后的速度誤差最大值為 15%,剛性板沖擊周期結(jié)構(gòu)2(6×6 單胞排列)之后的速度誤差最大值為8%,這說明針對(duì)較大規(guī)模的周期結(jié)構(gòu),可以選取代表性單胞研究其力學(xué)性能.

4 梯度結(jié)構(gòu)吸能特性分析

4.1 梯度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

具有單一幾何尺寸的單胞結(jié)構(gòu),其負(fù)剛度臨界載荷最大值為一確定量值,因此當(dāng)沖擊載荷未達(dá)到該臨界載荷值時(shí),結(jié)構(gòu)將不能進(jìn)入負(fù)剛度階段(圖1中的階段II),也即無法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元自主回彈耗能.因此,可以對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梯度設(shè)計(jì),以使其在不同沖擊載荷作用下,都能夠產(chǎn)生負(fù)剛度特性,從而提高結(jié)構(gòu)在不同載荷環(huán)境下的能量損耗,實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的減振耗能[25].

對(duì)于單一幾何尺寸的均勻單胞結(jié)構(gòu),設(shè)其在頂點(diǎn)受到外力f作用,由式(6),在已知無量綱化外載荷F時(shí),可以得到F,其中h=Qt,I=bt3/12,則

由此可進(jìn)行梯度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),令部分曲梁胞壁厚度為t2,且t2=t/α,設(shè) 0<α<2,為常系數(shù).在相同的Q,E,b值下,由式(6)可知,F是相同的,則所設(shè)計(jì)梯度單胞頂點(diǎn)所加外載荷為

圖13 表示DFcr隨 α 的變化關(guān)系,可知單胞負(fù)剛度臨界載荷最大值隨曲梁壁厚的變化十分明顯.故通過改變單胞結(jié)構(gòu)中曲梁壁厚,可以得到具有多個(gè)負(fù)剛度臨界載荷最大值的單胞結(jié)構(gòu),由此可見,通過在結(jié)構(gòu)中設(shè)計(jì)具有不同壁厚的曲梁單胞,構(gòu)造梯度結(jié)構(gòu),以實(shí)現(xiàn)在同一結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生多種負(fù)剛度臨界載荷最大值,從而提高結(jié)構(gòu)在不同沖擊載荷作用下的耗能效率.

圖13 梯度結(jié)構(gòu)負(fù)剛度臨界載荷比值(DFcr)隨曲梁壁厚比值(α)的變化關(guān)系Fig.13 Variations of negative stiffness critical force ratio (DFcr) with the curved beam wall thickness ratio (α) for the gradient structure

由圖13 可知,梯度結(jié)構(gòu)存在不同的負(fù)剛度臨界載荷最大值,在不同沖擊載荷下,其結(jié)構(gòu)內(nèi)部單胞都會(huì)出現(xiàn)自主回彈,實(shí)現(xiàn)能量的吸收;而均勻單胞結(jié)構(gòu)的負(fù)剛度臨界載荷最大值單一,當(dāng)外載荷作用小于該值時(shí),不會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部回彈調(diào)整,結(jié)構(gòu)將無法實(shí)現(xiàn)對(duì)能量的吸收而只存在彈性應(yīng)變能與動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)換.因此不同沖擊載荷作用下,梯度結(jié)構(gòu)更具有吸能優(yōu)勢(shì)和更好的環(huán)境適應(yīng)性.此外,如果可以預(yù)設(shè)沖擊載荷可能的峰值,則可通過調(diào)整單胞結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù),如曲梁厚度、側(cè)壁厚度,頂點(diǎn)高度等,使負(fù)剛度臨界載荷最大值小于相應(yīng)沖擊載荷峰值,從而獲得可調(diào)控的吸能效果.此外,在相同沖擊載荷作用下,通過對(duì)梯度結(jié)構(gòu)梯度尺寸進(jìn)行函數(shù)關(guān)系設(shè)計(jì)[26],使其吸能效果最優(yōu),亦是一個(gè)值得探討的方向.

4.2 梯度結(jié)構(gòu)吸能效率對(duì)比分析

為進(jìn)一步比較梯度單胞結(jié)構(gòu)與均勻單胞結(jié)構(gòu)的吸能效果,本文利用ABAQUS 軟件模擬相同沖擊載荷下梯度單胞結(jié)構(gòu)和均勻單胞結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng),有限元模型如圖14 所示,其中模型底部完全固定,采用C3D10M 實(shí)體單元,剛板施加了預(yù)定義速度場分別為 2m/s和 5m/s,沖擊梯度結(jié)構(gòu)A和均勻結(jié)構(gòu)B,并將剛性板上表面耦合到一參考點(diǎn),輸出該點(diǎn)速度,通過監(jiān)測沖擊載荷反彈后的速度來分析結(jié)構(gòu)吸能的效率.其中針對(duì)梯度結(jié)構(gòu)的梯度布置問題,主要通過改變曲梁胞壁的厚度t來實(shí)現(xiàn)梯度設(shè)計(jì),如圖14所示,梯度結(jié)構(gòu)A采用兩種不同單胞組成:在保持h=0.1 m,L=1 m不變的情況下,上部4 個(gè)單胞選取曲梁壁厚t(2)=0.01 m,下部兩個(gè)單胞選取曲梁壁厚t(1)=0.02 m,則根據(jù)形狀因子定義Q=h/t,可知Q(1)=5,Q(2)=10;均勻單胞結(jié)構(gòu)B:Q=5,h=0.1 m,L=1 m,t=0.02 m.

圖14 兩種結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的屈曲模態(tài)Fig.14 Buckling modes of two structures under different impact velocities

在沖擊載荷作用下,兩種結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)如圖15 所示,在相同的沖擊速度v=2 m/s 下,沖擊梯度單胞結(jié)構(gòu)A的剛板,在壓縮反彈過程中,其反彈速度小于沖擊均勻單胞結(jié)構(gòu)B的剛板;且在沖擊過程中,梯度單胞結(jié)構(gòu)A部分單胞已進(jìn)入負(fù)剛度階段,而均勻單胞結(jié)構(gòu)B所有單胞均仍處于正剛度階段,如圖14(a)所示,這是由于均勻單胞結(jié)構(gòu)B只存在單一的負(fù)剛度臨界值點(diǎn),必須在沖擊載荷達(dá)到單胞負(fù)剛度臨界載荷最大值時(shí),結(jié)構(gòu)才會(huì)進(jìn)入負(fù)剛度階段.如圖16 所示,當(dāng)沖擊載荷速度為 2m/s 時(shí),均勻結(jié)構(gòu)B中的單胞受到的沖擊載荷未能達(dá)到其負(fù)剛度臨界載荷最大值(Fmax1),結(jié)構(gòu)內(nèi)部將不會(huì)出現(xiàn)自我回彈調(diào)整;而梯度單胞結(jié)構(gòu)A存在不同的負(fù)剛度臨界值點(diǎn),在 2m/s 的沖擊載荷速度下,梯度單胞結(jié)構(gòu)A部分單胞受到的載荷達(dá)到了其負(fù)剛度臨界載荷最大值Fmax2,進(jìn)入負(fù)剛度階段,因而結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)了自主回彈調(diào)整,從而提高了沖擊載荷作用下的能量吸收效能.

圖15 兩種結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的力學(xué)響應(yīng)Fig.15 Mechanical responses of two structures under different impact velocities

圖16 梯度單胞結(jié)構(gòu)A 與均勻單胞結(jié)構(gòu)B 的力?位移曲線Fig.16 Force-displacement relations for gradient cell structure A and uniform cell structure B

當(dāng)沖擊載荷速度增大到 5m/s 時(shí),如圖15 所示,均勻單胞結(jié)構(gòu)B在沖擊載荷作用后的反彈速度小于梯度單胞結(jié)構(gòu)A;究其原因,雖然兩種結(jié)構(gòu)的單胞均進(jìn)入負(fù)剛度屈曲模態(tài)階段,如圖14(b)所示,但均勻單胞結(jié)構(gòu)B的負(fù)剛度臨界載荷最大值較大(圖16),其滯回曲線所圍成的面積(圖16 虛線圍成的面積)大于梯度結(jié)構(gòu)滯回曲線所圍成的面積(圖16 實(shí)線圍成的面積),因此耗能大于梯度結(jié)構(gòu),回彈速度更小.

5 討論

觀察圖14,發(fā)現(xiàn)曲梁已與單元上下邊界發(fā)生接觸,因此需要考慮彈塑性變形以及接觸對(duì)本部分沖擊吸能的影響,但本文在有限元建模時(shí)采用的是彈性模型,這是因?yàn)樨?fù)剛度結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)循環(huán)(重復(fù))加載的基礎(chǔ)即初彎曲梁的彈性變形.不同基底桿件所能承受的最大應(yīng)力?應(yīng)變不同,采用不同基底桿件時(shí),結(jié)構(gòu)有可能出現(xiàn)塑性變形,而本文為了實(shí)現(xiàn)完全回彈(不存在殘余變形),在選取基底材料時(shí),首要保證結(jié)構(gòu)的彈性變形;此外本文保持低速?zèng)_擊狀態(tài)(v≤5 m/s),結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生大變形,但塑性變形相比而言較小.因此這里忽略了彈塑性變形對(duì)沖擊吸能的影響.同時(shí)針對(duì)接觸問題,該負(fù)剛度結(jié)構(gòu)在靜力加載過程中存在曲梁胞壁與基底桿件相接觸的現(xiàn)象,該接觸是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)提前預(yù)設(shè)的,其主要目的是通過曲梁胞壁與基底桿件的接觸,阻止曲梁第二穩(wěn)態(tài)(負(fù)剛度臨界載荷最小值Fmin<0)的出現(xiàn),以實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的完全自主反彈.

同時(shí),在沖擊載荷作用下,不同屈曲模態(tài)對(duì)應(yīng)不同的單胞微結(jié)構(gòu)構(gòu)型,Bertoldi[27]指出,利用結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性可以實(shí)現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)的功能性設(shè)計(jì),如負(fù)泊松比、吸能與彈性波傳播控制.基于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性進(jìn)行能帶調(diào)控可以實(shí)現(xiàn)濾波、導(dǎo)波、降噪等.本文所設(shè)計(jì)的三維吸能結(jié)構(gòu),在不同的屈曲模態(tài)下,具有不同的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型,如圖14 所示,因此將呈現(xiàn)不同的能帶特性,必然具有與禁帶類似的濾波行為,作者前期針對(duì)多孔結(jié)構(gòu)禁帶特性,進(jìn)行了一系列的研究[28-29],因此如何表征隔離特性、以及同時(shí)利用禁帶與吸能,將是一項(xiàng)很有意義的研究.這也是作者后續(xù)的主要研究方向.

此外,在不同的載荷環(huán)境下,將上述獨(dú)立的單胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組[30],可獲得更優(yōu)的吸能效果.例如通過增加組成單胞單元組件個(gè)數(shù)(圖17),可提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,更好地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)內(nèi)部回彈,防止結(jié)構(gòu)出現(xiàn)非預(yù)設(shè)的屈曲模態(tài)變形及失穩(wěn);同時(shí),充分利用了結(jié)構(gòu)空間,利于實(shí)現(xiàn)低體積下的高耗能.

圖17 重組多單元負(fù)剛度結(jié)構(gòu)Fig.17 Reassembled multi-element negative stiffness structure

6 總結(jié)

利用結(jié)構(gòu)多穩(wěn)態(tài)特征進(jìn)行多孔結(jié)構(gòu)多功能設(shè)計(jì),受到了廣泛的關(guān)注.然而多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)無法實(shí)現(xiàn)自主反彈以及重復(fù)形變,限制了其工程應(yīng)用.針對(duì)這一問題,本文通過單胞構(gòu)型設(shè)計(jì)抑制其多穩(wěn)態(tài)的出現(xiàn),從而提出一種新型三維可回彈負(fù)剛度結(jié)構(gòu),采用理論解析和數(shù)值模擬對(duì)該結(jié)構(gòu)的吸能特性進(jìn)行了系統(tǒng)分析.分析結(jié)果表明:該新型負(fù)剛度結(jié)構(gòu)具有較大的負(fù)剛度臨界載荷差值,因此在實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)完全自主反彈以及重復(fù)利用的基礎(chǔ)上,獲得了更高的吸能效率.同時(shí),為了適應(yīng)復(fù)雜載荷環(huán)境,本文通過調(diào)整單胞幾何參數(shù)實(shí)現(xiàn)梯度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),以獲得不同載荷狀態(tài)下不同的負(fù)剛度臨界載荷最大值,從而使得結(jié)構(gòu)在不同載荷環(huán)境下,均能夠?qū)崿F(xiàn)自主反彈,進(jìn)而提高吸能效率,減小結(jié)構(gòu)持續(xù)性的振動(dòng).本文的研究有望擺脫對(duì)外界沖擊條件的依賴,對(duì)工程結(jié)構(gòu)的減振吸能應(yīng)用具有重要的意義.