張文靜 牛江川,, 申永軍, 溫少芳

* (石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043)

? (石家莊鐵道大學(xué)省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043)

引言

磁流變液阻尼器是利用磁流變液提供可控阻尼力的裝置,已廣泛應(yīng)用在車輛懸架[1]、汽車座椅[2]、斜拉索[3]等結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制中.磁流變液阻尼器通過(guò)改變阻尼線圈中的電流強(qiáng)度來(lái)改變其磁場(chǎng)強(qiáng)度,能夠快速響應(yīng)并且輸出阻尼力.描述磁流變液的力學(xué)模型主要有Bingham 模型[4-5]、Sigmoid 模型[6]和Bouc-Wen 模型[7]等.其中Bingham 模型由于其結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單,且物理含義明確而被廣泛應(yīng)用.劉曉梅等[8-9]為解決整數(shù)階Bingham 模型不能描述低速時(shí)速度?阻尼力滯回特性的缺陷,提出了磁流變液阻尼器分?jǐn)?shù)階微分形式的Bingham 模型,可以更好地反應(yīng)其速度?阻尼力的滯回特性.

為了提高車輛的操控性和乘坐舒適性,學(xué)者們對(duì)磁流變液阻尼器在車輛懸架中的應(yīng)用進(jìn)行了深入研究.例如,Sharma[10]研究了含有Bingham 模型的磁流變液阻尼器懸架,通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)半主動(dòng)控制比被動(dòng)控制具有更好的穩(wěn)定性.Tudon-Martinez 等[11]研究了基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與經(jīng)典Bingham 模型兩種不同精度水平的阻尼器模型對(duì)車輛懸架的影響.Prabakar 等[12]采用Bingham 模型和改進(jìn)的Bouc-Wen 模型對(duì)含磁流變液阻尼器的車輛懸架的半車模型進(jìn)行了研究,結(jié)果表明,具有最優(yōu)參數(shù)的磁流變液阻尼懸架系統(tǒng)比被動(dòng)懸架性能好一個(gè)數(shù)量級(jí).李禮夫等[13]通過(guò)對(duì)汽車磁流變液半主動(dòng)懸架控制的研究,提出了汽車磁流變液半主動(dòng)懸架預(yù)瞄控制方法,提高了汽車的控制性能.

近年來(lái),分?jǐn)?shù)階微積分理論的應(yīng)用研究發(fā)展非常迅速[14-21].由于分?jǐn)?shù)階微積分可以更好的描述材料的記憶特性[22-23],逐漸成為工程中強(qiáng)有力的建模工具.Vyawahare 和Nataraj[24]建立了核反應(yīng)堆中子擴(kuò)散的分?jǐn)?shù)階模型,消除了經(jīng)典擴(kuò)散模型的缺陷,能夠更真實(shí)的表示核內(nèi)中子的運(yùn)動(dòng).Jia 和Liu[25]利用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立了帶抽頭電感的磁耦合升壓變換器在連續(xù)導(dǎo)通模式下的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型.陳明等[26]利用少參數(shù)分?jǐn)?shù)Zener 模型較好地?cái)M合了鯽魚(yú)尾鰭鰭條的松弛特性曲線.蔡偉和陳文[27]從時(shí)間和空間分?jǐn)?shù)階兩個(gè)方面概述了不同的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)聲波模型.陳丙三等[28]建立了磁流變液測(cè)試裝置的分?jǐn)?shù)階模型,且磁流變液的黏彈性可由模型參數(shù)獲得.Schiessel 等[29]、Heymans 和Bauwens[30]提出了分?jǐn)?shù)階單元網(wǎng)絡(luò)模型和分形流變模型.Niu 等[31]采用分?jǐn)?shù)階磁流變液模型研究了鏜桿系統(tǒng)的半主動(dòng)振動(dòng)控制.

在利用磁流變液阻尼器進(jìn)行車輛懸架振動(dòng)控制的研究方面,Bingham 模型大都采用的整數(shù)階模型,而利用分?jǐn)?shù)階Bingham 模型進(jìn)行車輛懸架研究的報(bào)道還較少.本文采用分?jǐn)?shù)階Bingham 模型來(lái)對(duì)磁流變液阻尼器進(jìn)行建模,建立含有磁流變液阻尼器的單自由度1/4 車輛懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.利用平均法求解懸架系統(tǒng)在半主動(dòng)控制下的解析解,并分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為改善半主動(dòng)控制對(duì)乘坐舒適性的影響,提出一種被動(dòng)控制與半主動(dòng)控制相結(jié)合的組合控制策略.

1 車輛懸架控制系統(tǒng)模型

非線性車輛懸架不但可以用較低的成本提高乘坐舒適性[32],而且可以提高車輛的平順性[33].建立基于磁流變液阻尼器分?jǐn)?shù)階Bingham 模型的單自由度1/4 車輛懸架系統(tǒng)模型,如圖1 所示.圖中k1和k2分別表示線性剛度和立方剛度,M為簧載質(zhì)量,c為系統(tǒng)黏性阻尼,x為質(zhì)量M的位移,x0=Asin(ωt)為路面施加在系統(tǒng)上的位移激勵(lì),A為激勵(lì)幅值,ω為激勵(lì)頻率.正弦函數(shù)可以用來(lái)描述起伏路面施加給車輛懸架的激勵(lì),而起伏路面也是車輛測(cè)試中較為常見(jiàn)的一種路面[34].

圖中虛線框內(nèi)表示分?jǐn)?shù)階Bingham 模型磁流變液阻尼器,其最大輸出阻尼力為

其中,fc為分?jǐn)?shù)階Bingham 模型的庫(kù)倫阻尼力,p和c1分別為分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的階次和系數(shù).

采用天棚阻尼半主動(dòng)控制策略,通過(guò)判斷簧載質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)速度方向和簧載質(zhì)量與路面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度方向來(lái)控制磁流變液阻尼器所提供的阻尼力.系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中,b為隨磁流變液阻尼器的控制電流而變化的參數(shù),即半主動(dòng)控制參數(shù).當(dāng)b=1 時(shí),磁流變液阻尼器的輸出阻尼力保持不變,相當(dāng)于被動(dòng)控制.分?jǐn)?shù)階階次滿足 0

其中,Γ(z)為Gamma 函數(shù),滿足 Γ(z+1)=Γ(z).

2 半主動(dòng)控制下的近似解析解

研究系統(tǒng)在半主動(dòng)控制下的主共振響應(yīng),即路面施加給懸架系統(tǒng)的激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)的固有頻率的響應(yīng)情況.為了表達(dá)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率的接近程度,引入調(diào)諧參數(shù) σ,即,其中,為系統(tǒng)的固有頻率.

半主動(dòng)控制采用天棚阻尼控制策略,即

式(4)中,Fs為磁流變液阻尼器提供的可控阻尼力.

令y=x?x0,式(2)可以改寫(xiě)為

其中,2εμ=c/M,εη1=k2/M,εfc1=fc/M,εη2=c1/M,F=MAω2,εf=F/M.

設(shè)系統(tǒng)(5)在半主動(dòng)控制下的周期解為

其中,φ=ωt+θ.

天棚阻尼控制策略的控制條件為

當(dāng) β>0時(shí),控制力Fs在一個(gè)周期內(nèi)的變化規(guī)律為

根據(jù)平均法在一個(gè)振動(dòng)周期區(qū)間 [0,T] 進(jìn)行積分,對(duì)于周期函數(shù)T=2π/ω,可得振幅a與相位 θ 的近似解

式(10)中的第一部分與無(wú)控制時(shí)相等,即

根據(jù)文獻(xiàn)[31],計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)可近似表示為

利用式(12) 計(jì)算式(10) 的第2 部分,當(dāng)0<β<時(shí),得到

利用式(12)計(jì)算式(10)的第3 部分,可以得到

為簡(jiǎn)化上面計(jì)算結(jié)果,令

將上述計(jì)算結(jié)果整理為

將系統(tǒng)原參數(shù)代入式(17),可以得到

當(dāng)β≤0時(shí),控制力Fs在一個(gè)周期內(nèi)的變化規(guī)律為

利用相同的方法可以得到當(dāng) β≤0時(shí)的振幅a與相位θ的近似解為

3 定常解及其穩(wěn)定性分析

3.1 半主動(dòng)控制的定常解

將F=MAω2代入式(22)中并消去,可以得到系統(tǒng)在半主動(dòng)控制下且 β>0 時(shí)的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程為

同樣將F=MAω2代入式(24)中并消去,得到系統(tǒng)在 β≤0 時(shí)的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程為

3.2 半主動(dòng)控制下的穩(wěn)定性分析

分析定常解的穩(wěn)定性,令a=+Δa,θ=+Δθ,當(dāng)β>0 時(shí),代入式(18)中進(jìn)行線性化可以得到

進(jìn)一步得到系統(tǒng)的特征行列式為

將式(27)展開(kāi),得到系統(tǒng)的特征方程為

同理,當(dāng) β≤0 時(shí),系統(tǒng)的特征行列式為

將式(29)展開(kāi),得到系統(tǒng)的特征方程為

經(jīng)分析可知P恒大于零,根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,P>0,Q>0是奇點(diǎn),漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件.因此系統(tǒng)的定常解的穩(wěn)定性條件為

且當(dāng)系統(tǒng)有多值解時(shí),中間的一支解為不穩(wěn)定解.

4 數(shù)值解驗(yàn)證

選擇一組參數(shù)驗(yàn)證解析解的正確性.選擇文獻(xiàn)[8,36-38] 中的參數(shù)值,懸架系統(tǒng)的具體參數(shù)選擇為:M=240 kg,c=50 N·s/m,k1=15 000 N/m,k2=150 000 N/m3,磁流變液阻尼器的參數(shù)選擇為:c1=300 N·s/m,p=0.84,fc=1000 N.路面激勵(lì)幅值為A=0.08m.通過(guò)Matlab 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,利用冪級(jí)數(shù)法[35]繪制幅頻響應(yīng)曲線,時(shí)間總長(zhǎng)設(shè)定為150 s,步長(zhǎng)設(shè)定為0.001 s,并將后30 s 響應(yīng)的最大值作為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的峰值.當(dāng)懸架系統(tǒng)在被動(dòng)控制即b=1時(shí),其數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖2 所示.根據(jù)式(23a)和式(25a)的幅頻響應(yīng)方程,利用系統(tǒng)的近似解析解將幅頻曲線也繪制在圖2 中.當(dāng)懸架系統(tǒng)在半主動(dòng)控制下即b=0.1 時(shí)的對(duì)比結(jié)果如圖3 所示.從圖中可以看出近似解析解和數(shù)值解具有較好的一致性,從而驗(yàn)證了半主動(dòng)控制解析解計(jì)算過(guò)程的正確性.從圖2 中數(shù)值解可以看出當(dāng)激勵(lì)頻率比較小時(shí),幅頻曲線的幅值響應(yīng)很小,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是當(dāng)激勵(lì)頻率較小時(shí),傳遞到磁流變液阻尼器的外力不足以克服其內(nèi)部的剪切摩擦力fc,此時(shí)的磁流變液阻尼器幾乎沒(méi)有運(yùn)動(dòng),即懸架的簧載質(zhì)量與路面的相對(duì)位移很小.由于在車輛懸架系統(tǒng)中存在限位塊,當(dāng)系統(tǒng)有多解現(xiàn)象時(shí)幅值大的上支漸進(jìn)穩(wěn)定解在實(shí)際應(yīng)用中并不會(huì)出現(xiàn).

圖2 系統(tǒng)在被動(dòng)控制下的幅頻響應(yīng)Fig.2 Amplitude-frequency response of system under passive control

圖3 系統(tǒng)在半主動(dòng)控制下的幅頻響應(yīng)Fig.3 Amplitude-frequency response of system under semi-active control

5 半主動(dòng)控制對(duì)乘坐舒適性的影響

基于單自由度車輛懸架模型研究半主動(dòng)控制對(duì)車輛乘坐舒適性的影響,僅考慮垂直方向的振動(dòng)控制效果.接下來(lái)通過(guò)比較懸架系統(tǒng)在半主動(dòng)控制和被動(dòng)控制下的簧載質(zhì)量垂直方向的加速度均方根值來(lái)說(shuō)明半主動(dòng)控制對(duì)車輛乘坐舒適性方面的影響.首先對(duì)簧載質(zhì)量的加速度時(shí)間歷程進(jìn)行頻譜分析,得到功率譜密度函數(shù)Ga(f),然后根據(jù)下式計(jì)算加速度均方根值[39]

其中,W(f) 為頻率加權(quán)函數(shù)

利用數(shù)值計(jì)算得到懸架系統(tǒng)在被動(dòng)控制和半主動(dòng)控制下,簧載質(zhì)量的加速度均方根值對(duì)比圖,如圖4所示.橫坐標(biāo)為激勵(lì)頻率,縱坐標(biāo)為簧載質(zhì)量的加速度均方根值,半主動(dòng)控制參數(shù)b=0.1,振動(dòng)分析時(shí)間選擇120 s,其他參數(shù)值保持不變.從圖4 中可以發(fā)現(xiàn)懸架在半主動(dòng)控制下,當(dāng)路面激勵(lì)頻率較小時(shí),簧載質(zhì)量的加速度均方根值反而比被動(dòng)控制時(shí)還大,說(shuō)明在車輛懸架的低頻激勵(lì)區(qū)域,基于磁流變液阻尼器的半主動(dòng)控制無(wú)法起到提高乘坐舒適性的作用.而當(dāng)路面激勵(lì)頻率較大時(shí),半主動(dòng)控制在提高乘坐舒適性方面起到了很好的作用.

圖4 加速度均方根值Fig.4 RMS of acceleration

當(dāng)激勵(lì)頻率在主共振頻率附近 ω=11 rad/s 時(shí),半主動(dòng)控制參數(shù)為b=0.1 和被動(dòng)控制時(shí)的簧載質(zhì)量的加速度時(shí)間歷程對(duì)比圖如圖5 所示,圖中截取了前3 s 的加速度時(shí)間歷程,其他參數(shù)值與第4 節(jié)相同.從圖5 中可以看出,在該頻率的激勵(lì)下半主動(dòng)控制能有效降低簧載質(zhì)量的加速度峰值,從而提高了車輛的乘坐舒適性.

圖5 簧載質(zhì)量的加速度時(shí)間歷程Fig.5 Acceleration time history of sprung mass

為了解決半主動(dòng)控制會(huì)在低頻激勵(lì)區(qū)域降低乘坐舒適性的問(wèn)題,采用一種組合控制策略,即當(dāng)路面的外激勵(lì)頻率小于切換頻率時(shí),懸架系統(tǒng)采用被動(dòng)控制策略進(jìn)行振動(dòng)控制;而當(dāng)外激勵(lì)頻率值大于切換頻率時(shí),懸架采用半主動(dòng)控制策略進(jìn)行振動(dòng)控制.

當(dāng)b=1 時(shí),即被動(dòng)控制的幅頻響應(yīng)方程為

根據(jù)式(34)以及半主動(dòng)控制參數(shù)為b=0.1 時(shí)的幅頻響應(yīng)方程,可以得到兩條幅頻響應(yīng)曲線在固有頻率附近的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為:ωi=9.54 rad/s.將該幅頻響應(yīng)曲線交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率作為組合控制的切換頻率.利用數(shù)值解和解析解分別繪制懸架系統(tǒng)在組合控制下的幅頻響應(yīng)曲線,如圖6 所示.從圖中可以看出數(shù)值解與解析解具有較好的一致性.

圖6 系統(tǒng)在組合控制下的幅頻響應(yīng)Fig.6 Amplitude-frequence response curves of system under combined control

6 組合控制的振動(dòng)控制效果分析

為了驗(yàn)證組合控制的振動(dòng)效果,利用近似解析解分別得到懸架系統(tǒng)在被動(dòng)控制、半主動(dòng)控制以及組合控制下的幅頻響應(yīng)曲線,如圖7 所示.其中,半主動(dòng)控制參數(shù)為b=0.1.當(dāng)系統(tǒng)有多解時(shí),僅考慮最下面一支穩(wěn)定解的結(jié)果.從圖7 中可以看出,懸架系統(tǒng)在組合控制下的主共振振幅最小.而當(dāng)激勵(lì)頻率增大到一定程度,半主動(dòng)控制將失去對(duì)振幅的抑制作用,效果將又和被動(dòng)控制一致.

圖7 不同控制策略下的幅頻響應(yīng)Fig.7 Amplitude-frequence response curves under different control strategies

為了研究半主動(dòng)控制參數(shù)b對(duì)懸架系統(tǒng)在組合控制下的影響,分別選取b=0.1,b=0.6,b=1 時(shí),利用近似解析解得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖8 所示.同樣僅考慮最下面一支穩(wěn)定解的結(jié)果,從圖8 中可以看出,半主動(dòng)控制參數(shù)b值越小,系統(tǒng)的主共振幅值越小.在頻率 ω=11 rad/s時(shí),當(dāng)b=0.1 時(shí)共振幅值為0.169 8 m;當(dāng)b=1 時(shí),即懸架系統(tǒng)在被動(dòng)控制作用下時(shí),共振幅值為0.205 1 m.懸架系統(tǒng)在組合控制作用下的共振峰值比被動(dòng)控制的共振幅值減小了約0.035 3 m.

圖8 b 變化時(shí)對(duì)組合控制的影響Fig.8 Effect of combined control with different b

7 結(jié)論

本文將磁流變液阻尼器的分?jǐn)?shù)階Bingham 模型應(yīng)用到單自由度1/4 車輛懸架系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析中,研究了懸架系統(tǒng)的振動(dòng)控制.通過(guò)平均法研究了系統(tǒng)在半主動(dòng)控制下的主共振響應(yīng),得到了系統(tǒng)的近似解析解,并通過(guò)數(shù)值解驗(yàn)證了近似解析解的正確性.通過(guò)比較懸架系統(tǒng)在半主動(dòng)控制和被動(dòng)控制作用下的簧載質(zhì)量垂直方向的加速度均方根值,說(shuō)明了半主動(dòng)控制在路面激勵(lì)頻率小于固有頻率附近的切換頻率時(shí)反而會(huì)降低車輛的乘坐舒適性,繼而提出了一種被動(dòng)控制與半主動(dòng)控制相結(jié)合的組合控制策略,并利用系統(tǒng)在被動(dòng)控制和半主動(dòng)控制下的兩條幅頻響應(yīng)曲線在固有頻率附近的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率作為切換頻率.分析結(jié)果表明,該組合控制策略不但可以提高乘坐舒適性,還可以有效抑制懸架系統(tǒng)的主共振振動(dòng)幅值.為分?jǐn)?shù)階磁流變液阻尼器模型在車輛懸架中的應(yīng)用提供了參考.