張 珍 葉舒然 岳杰順 王一偉,2) 黃晨光,**

*(中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

?(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

**(中國(guó)科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院,合肥 230031)

引言

當(dāng)前,求解雷諾平均(Reynolds-averaged Navier-Stokes,RANS)方程仍然是解決工程問(wèn)題相對(duì)切實(shí)可行且有效的手段[1-7].但由于RANS 方程中所使用的渦黏模型往往假設(shè)雷諾應(yīng)力和平均應(yīng)變率張量之間滿足線性關(guān)系[8],難以充分捕捉流場(chǎng)中存在的各向異性特征,導(dǎo)致對(duì)許多未充分發(fā)展的湍流流動(dòng)的預(yù)測(cè),例如三維分離流、強(qiáng)壓力梯度流、兩相流是不準(zhǔn)確的[9-14].針對(duì)這些問(wèn)題,一些學(xué)者提出了高階渦黏模型,在一定程度上能夠提高RANS 方程的預(yù)測(cè)精度[15-16],然而由于高階模型中的參數(shù)表達(dá)不夠清晰,并且計(jì)算收斂性差,使得這類模型未被廣泛應(yīng)用.

近年來(lái),隨著人工智能的發(fā)展,機(jī)器學(xué)習(xí)算法在湍流建模中得到了越來(lái)越多的應(yīng)用[17-39].其中,深度學(xué)習(xí)技術(shù)非常適合于提取湍流的多尺度特征,并且平移、旋轉(zhuǎn)和其他不變性在深度學(xué)習(xí)體系結(jié)構(gòu)中很容易實(shí)現(xiàn).在這類工作中,機(jī)器學(xué)習(xí)可以直接用作黑盒工具,也可以與現(xiàn)有模型結(jié)合使用,以提升模擬的精度.Xie 等[17]對(duì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在湍流亞格子模型中的研究進(jìn)展進(jìn)行了總結(jié)性介紹,并討論了基于不同網(wǎng)絡(luò)模型重構(gòu)新的亞格子模型.Brunton 等[18]、Brenner等[19]以及Duraisamy 等[20]也闡述了機(jī)器學(xué)習(xí)算法在RANS 閉合模型中應(yīng)用的研究進(jìn)展,表明了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)RANS 建模具有一定的研究深度和廣度.

在數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)RANS 湍流建模的研究中,Ling等[21]構(gòu)建了一種嵌入伽利略不變性的張量基網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu),其預(yù)測(cè)的雷諾應(yīng)力更加貼近湍流的物理性質(zhì),顯示出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合伽利略不變性在對(duì)具有高維非線性特征的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的優(yōu)良性能.之后,一些學(xué)者在構(gòu)造RANS 閉合模型時(shí),也采用了類似的策略以保證伽利略不變性,并應(yīng)用到不同類型的流動(dòng)(如槽道流、后臺(tái)階、周期山狀等流動(dòng))中進(jìn)行流場(chǎng)預(yù)測(cè)[22-30],其預(yù)測(cè)結(jié)果相比原始RANS 模型均有所提升.在這些研究中,主要是利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法獲得改進(jìn)的雷諾應(yīng)力的本構(gòu)關(guān)系,完全顯式的取代RANS 求解器中的雷諾應(yīng)力,而動(dòng)量方程和輸運(yùn)方程中的其他項(xiàng)則保留不變.此外,Zhang 等[40]以及Parish 等[41]從另一個(gè)方面出發(fā),用機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)化輸運(yùn)方程中的系數(shù),而雷諾應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系未被修正.

盡管上述修正模型的預(yù)測(cè)性能已被證明得到了提升,但對(duì)后驗(yàn)流場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度仍有提升的空間.根據(jù)Wu 等[42]的研究,即顯式數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)雷諾應(yīng)力模型會(huì)導(dǎo)致條件數(shù)非常大,從而很難用局部信息準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)全局最優(yōu)點(diǎn)位置.鑒于此,Beetham 等[43]將RANS模型分為線性部分和非線性部分,線性部分保持傳統(tǒng)RANS 方法隱式求解,非線性部分基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練預(yù)測(cè).由于線性部分對(duì)雷諾應(yīng)力影響很大,因此僅使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更新雷諾應(yīng)力的非線性部分對(duì)流場(chǎng)預(yù)測(cè)的精度仍不夠.

因此本文建立了一種基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正方法,針對(duì)渦黏模型的線性部分,利用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)渦黏系數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)以實(shí)現(xiàn)隱式求解;對(duì)于非線性部分,基于高階渦黏框架,使用張量基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè);獲得的兩部分之和為雷諾應(yīng)力的最終預(yù)測(cè)結(jié)果.最后為了實(shí)現(xiàn)后驗(yàn)速度場(chǎng)的精度閉環(huán),對(duì)RANS 湍流模型實(shí)施了多次修正策略.模型訓(xùn)練和修正階段所使用的數(shù)據(jù)為不同坡度的周期山狀流的模擬結(jié)果.

1 RANS 渦黏模型

不可壓縮的Navier–Stokes(NS)方程為

式中,ui為瞬時(shí)速度的第i個(gè)分量,p為瞬時(shí)壓強(qiáng),ρ為密度,ν 為運(yùn)動(dòng)黏度.

對(duì)NS 方程進(jìn)行時(shí)間平均可以得到不可壓縮的RANS 方程

由式(3) 和式(4) 可以看出,相比于原始NS 方程,RANS 方程出現(xiàn)一個(gè)多余項(xiàng),即雷諾應(yīng)力因此需要引入其與平均流場(chǎng)之間的關(guān)系才能使得RANS方程封閉.目前k-ε 模型和k-ω 模型是使用最廣泛的渦黏模型,這些模型基于Boussinesq 假設(shè)雷諾應(yīng)力與平均應(yīng)變率張量之間滿足線性關(guān)系.雷諾應(yīng)力為對(duì)稱張量,可以分解為各向同性和各向異性部分,分解結(jié)果如下

式中,k為湍動(dòng)能,δij為Kronecker 符號(hào),2kδij/3 為各向同性部分,bij為無(wú)量綱各向異性雷諾應(yīng)力.

目前廣泛使用的線性模型難以捕捉到流場(chǎng)中存在的許多各向異性,因此一些學(xué)者提出了一些非線性渦黏模型,例如Pope[15]提出的有效黏度模型.該模型從平均應(yīng)變率張量和平均旋轉(zhuǎn)率張量導(dǎo)出高階張量,以便更準(zhǔn)確地對(duì)雷諾應(yīng)力建模,最后得到各向異性雷諾應(yīng)力的本構(gòu)關(guān)系的一般形式為

式中,ε 為湍流耗散率.

由于上述非線性渦黏模型的基張量的標(biāo)量系數(shù)G的具體表達(dá)式不易獲得,并且該模型并不總能提高預(yù)測(cè)性能,反而往往會(huì)降低收斂性[44],因此,該模型尚未得到廣泛應(yīng)用.但隨著深度學(xué)習(xí)技術(shù)在流體力學(xué)中的應(yīng)用,可以借助人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),實(shí)現(xiàn)對(duì)基張量Tij的標(biāo)量系數(shù)G建模,進(jìn)而得到各向異性雷諾應(yīng)力bij.在二維流場(chǎng)中,重構(gòu)的各向異性雷諾應(yīng)力的本構(gòu)方程只需要以下4 個(gè)基張量[45],即

其中,公式右側(cè)第1 項(xiàng)為線性部分,其余3 項(xiàng)為非線性部分.

2 RANS 湍流模型修正

2.1 基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的RANS 湍流模型修正方法

基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的RANS 湍流模型修正預(yù)測(cè)的示意圖如圖1 所示,其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1 的輸出結(jié)果為渦黏系數(shù)(eddy viscosity neural network,EVNN) νt;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2 為張量基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(tensor basis neural network,TBNN),其輸出結(jié)果為各向異性雷諾應(yīng)力bij.兩個(gè)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別對(duì)應(yīng)如下的回歸函數(shù),即f1:{λ1,λ2}→νt和f2:{λ1,λ2}→bi j.

圖1 基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的RANS 湍流模型修正框架圖Fig.1 Framework of modification for RANS turbulence model based on combined neural network

使用壁面解析的LES 方法獲得高保真數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果,使用RANS 模擬獲得基線數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入特征以及基張量基于上述數(shù)據(jù)對(duì)兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行訓(xùn)練,得到回歸關(guān)系f1和f2,并使用訓(xùn)練好的模型對(duì)原始RANS 模擬的一個(gè)新流場(chǎng)進(jìn)行修正預(yù)測(cè).具體的修正計(jì)算分為以下3 個(gè)主要步驟:

(1)修正計(jì)算時(shí),新流場(chǎng)模擬得到的輸入特征被作用于回歸函數(shù)f1獲得修正流場(chǎng)中的,進(jìn)而得到修正流場(chǎng)中雷諾應(yīng)力的線性表達(dá)

(2)同樣地,一個(gè)新的流場(chǎng)被用來(lái)獲得輸入特征和基張量,使用訓(xùn)練好的回歸數(shù)f2來(lái)獲得修正流場(chǎng)中的各向異性雷諾應(yīng)力

進(jìn)而由式(5)可以得到修正流場(chǎng)中的雷諾應(yīng)力,并取其非線性項(xiàng)

(3) 由式(10) 雷諾應(yīng)力的線性部分與式(12) 雷諾應(yīng)力的非線性部分相加得到雷諾應(yīng)力之和

用來(lái)迭代更新RANS 框架中的動(dòng)量方程和輸運(yùn)方程.

2.2 RANS 湍流模型的多次修正方法

基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)RANS 模型進(jìn)行修正可以提高后驗(yàn)流場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度,如果對(duì)后驗(yàn)流場(chǎng)進(jìn)行特征提取并作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入重新進(jìn)行模型的訓(xùn)練和修正,有可能進(jìn)一步提升修正模型的預(yù)測(cè)精度.為此,采用了如圖2 所示的多次修正的方法.相比于圖1,增加了紅色箭頭指示的內(nèi)容,具體實(shí)現(xiàn)流程如下:

圖2 RANS 湍流模型多次修正框架圖Fig.2 Framework of multiple modifications for RANS turbulence model

(1) 基于初始先驗(yàn)流場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練,并用訓(xùn)練好的模型初次修正先驗(yàn)流場(chǎng)(priori flow,prf),得到后驗(yàn)流場(chǎng)1(posterior flow 1,pof 1);

(3)如果pof 1 未達(dá)到預(yù)測(cè)精度,修正結(jié)果將被反饋給組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行下一次訓(xùn)練,訓(xùn)練好的模型將用于對(duì)先驗(yàn)流場(chǎng)prf 進(jìn)行下一次修正,得到后驗(yàn)流場(chǎng)pof 2;

(4) 如果pof 2 達(dá)到預(yù)測(cè)精度,則重復(fù)步驟2,反之重復(fù)步驟3.通過(guò)多次修正,最終后驗(yàn)流場(chǎng)達(dá)到高保真數(shù)據(jù)精度即為實(shí)現(xiàn)精度閉環(huán);

(5)實(shí)現(xiàn)精度閉環(huán)后,基于最終訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接用于一個(gè)新的流場(chǎng)進(jìn)行修正預(yù)測(cè),以驗(yàn)證方法的魯棒性.

本文中建立的RANS 模型修正方法,相比于顯式數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)RANS 建模方法的優(yōu)勢(shì)有:

(1)基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的RANS 修正模型同時(shí)對(duì)雷諾應(yīng)力的線性部分和非線性部分進(jìn)行修正,可提升預(yù)測(cè)精度;通過(guò)隱式處理保證數(shù)值穩(wěn)定性.

由此可見，規(guī)范化、常態(tài)化的醫(yī)務(wù)志愿者服務(wù)發(fā)展策略，不僅有利于改善醫(yī)院就醫(yī)環(huán)境，提高醫(yī)院服務(wù)質(zhì)量，也有利于營(yíng)造良好的社會(huì)健康服務(wù)氛圍，促進(jìn)衛(wèi)生事業(yè)發(fā)展。

(2)實(shí)施多次訓(xùn)練修正的策略可實(shí)現(xiàn)從修正計(jì)算到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程的反饋,最終達(dá)到后驗(yàn)流場(chǎng)的精度閉環(huán).

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與參數(shù)

本文所使用的TBNN 和EVNN 的結(jié)構(gòu)框架分別如圖3(a)和圖3(b)所示,參數(shù)設(shè)置見表1,隱藏層的激活函數(shù)均為L(zhǎng)eaky ReLU[46]

表1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)Table 1 Neural network parameters

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Schematic of the neural network

TBNN 和EVNN 的損失函數(shù)分別為

式中,下角標(biāo)TBNN 和LES 分別代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練以后輸出的結(jié)果和真實(shí)高保真結(jié)果,N代表當(dāng)前數(shù)據(jù)集的數(shù)量.并采用梯度下降法調(diào)整參數(shù)權(quán)重的大小來(lái)最優(yōu)化模型結(jié)果,學(xué)習(xí)率伴隨網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練步長(zhǎng)進(jìn)行變化.另外,為了避免神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)過(guò)擬合問(wèn)題,在損失函數(shù)中加入了正則化[47].

3 數(shù)值模擬結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所提出方法的優(yōu)勢(shì)和性能,采用了被廣泛用于測(cè)試案例的周期山狀流[48-51]進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練及RANS 模型的修正.通過(guò)與Breuer 等[48]的LES 結(jié)果、顯式數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型以及原始RANS 結(jié)果進(jìn)行比較,分別分析了修正模型在速度場(chǎng)、壁面平均壓力系數(shù)和平均摩擦力系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果.

3.1 算例設(shè)置

計(jì)算域的原始幾何如圖4 中的黑色邊界所示,其中流向的計(jì)算域?yàn)長(zhǎng)x=9.0h(兩個(gè)山峰之間的距離),且流向計(jì)算域的平坦部分長(zhǎng)5.142h,山坡兩側(cè)總長(zhǎng)3.858h;法向最大計(jì)算域?yàn)長(zhǎng)y=3.035h;展向的計(jì)算域?yàn)長(zhǎng)z=4.5h,h為山的高度.對(duì)于周期山狀流,當(dāng)坡度變大時(shí),即山坡與水平位置的夾角變大,流動(dòng)分離特征更強(qiáng),傳統(tǒng)RANS 模型相比于LES 方法的預(yù)測(cè)能力更加有限且迫切需要改進(jìn).因此,本文利用Breuer 等[48]采用的壁面解析的LES 方法模擬同一雷諾數(shù)下具有不同坡度的周期山狀流獲得目標(biāo)數(shù)據(jù),其中,時(shí)間格式采用一階隱式歐拉格式,梯度格式采用二階高斯-格林積分法,散度格式采用二階迎風(fēng)格式,拉普拉斯項(xiàng)格式采用帶非正交修正的高斯格林積分方法.而基線數(shù)據(jù)則由RANS 方法中k-ε 模型獲得.進(jìn)一步,基于大坡度的流動(dòng)進(jìn)行模型訓(xùn)練以實(shí)現(xiàn)對(duì)小坡度流動(dòng)的修正.

圖4 3 種幾何外形的計(jì)算域分布Fig.4 Computational domain of three geometric

文中通過(guò)對(duì)原始山坡兩側(cè)的流向長(zhǎng)度設(shè)置縮放因子獲得不同坡度結(jié)構(gòu)的周期山狀流,保證流向計(jì)算域的平坦部分長(zhǎng)度恒定,因此計(jì)算域的水平總長(zhǎng)度為x/h=3.858 α+5.142,其中α 為縮放因子.周期山狀流的雷諾數(shù)Re=Ubh/ν=10 595,其中,Ub為整體流動(dòng)的平均速度.流向方向以及展向方向均設(shè)置為周期性邊界條件,因此平均流動(dòng)可被認(rèn)為二維流動(dòng).

不同坡度算例在兩種計(jì)算方法下的網(wǎng)格設(shè)置如表2,LES 方法對(duì)三維流場(chǎng)進(jìn)行模擬,RANS 則是針對(duì)二維流場(chǎng)進(jìn)行模擬.計(jì)算得到的LES 數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)展向平均后,再通過(guò)插值對(duì)應(yīng)到粗網(wǎng)格下的二維RANS數(shù)據(jù).

表2 模擬所用的網(wǎng)格單元Table 2 Grid cells of simulations performed

計(jì)算得到的LES 數(shù)據(jù)中提供了脈動(dòng)速度的平均二階相關(guān)張量,根據(jù)定義可知該張量為L(zhǎng)ES 網(wǎng)格下的雷諾應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)一步可以得到湍動(dòng)能以及無(wú)量綱后的各向異性雷諾應(yīng)力張量分別為

在EVNN 框架訓(xùn)練時(shí),LES 數(shù)據(jù)中需要有對(duì)應(yīng)于RANS 模型渦黏系數(shù)的量,即真值νt.基于Boussinesq 假設(shè)可知雷諾應(yīng)力和渦黏性系數(shù)之間滿足如下關(guān)系

由式(18)和式(19)得出在Boussinesq 假設(shè)下

因此,可以通過(guò)將各向異性應(yīng)力張量bij投影到應(yīng)變率張量Sij上來(lái)計(jì)算-νt/k,即

式中,bijSij表示張量的雙點(diǎn)積,表示矩陣Sij的Frobenius 范數(shù).最終可求得真值νt

真值νt的4 個(gè)不同垂直位置處的剖面分布如圖5 所示,可以看出,剖面曲線為連續(xù)光滑分布,可用于對(duì)EVNN 進(jìn)行訓(xùn)練.

圖5 LES 模擬的渦黏系數(shù): x/h=2,4,6,8Fig.5 Eddy viscosity simulated by LES at x/h=2,4,6,8

3.2 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

圖6 給出了由LES 模擬獲得的α=1 時(shí)的周期性山狀流的二階脈動(dòng)統(tǒng)計(jì)量的剖面分布圖,即正應(yīng)力分量和切應(yīng)力分量并與Breuer等[48]進(jìn)行對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)兩者在趨勢(shì)和大小上都彼此吻合.由此驗(yàn)證了該模擬方法的有效性,并基于該方法對(duì)α=1/2 和1/3 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

圖6 LES 預(yù)測(cè)的x/h=2,4,6 處的應(yīng)力剖面結(jié)果(Re=10 595),并與文獻(xiàn)[48]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比Fig.6 Predicted stress profiles by LES at x/h=2,4,6(Re=10 595),and compared with the results of Ref.[48]

3.3 預(yù)測(cè)結(jié)果

3.3.1 組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果

用于模型訓(xùn)練和預(yù)測(cè)的算例如表3 所示,坡度α為1/2 和1/3 的兩個(gè)流場(chǎng)被用于模型的訓(xùn)練,訓(xùn)練好的模型用于修正α=1 的周期山狀流.

表3 用于模型訓(xùn)練和修正的算例Table 3 Cases for model training and modification

周期山狀流不同的剖面位置被用來(lái)定量對(duì)比LES 方法、RANS 修正模型以及原始RANSk-ε模型的預(yù)測(cè)性能.其中x/h=2.0 為回流區(qū)的中心,x/h=4.0 位于再附點(diǎn)位置的附近,x/h=6.0 為再附著后的流動(dòng)位置.無(wú)量綱的平均流向速度(Ux/Ub)剖面的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖7 所示,其中紅色線條代表本文建立的RANS 修正模型的預(yù)測(cè)結(jié)果,而粉色線條是參考Ling 等[21]提出的基于TBNN 的顯式雷諾應(yīng)力修正模型的預(yù)測(cè)結(jié)果.可以發(fā)現(xiàn),顯式模型相對(duì)原始RANS 模型的預(yù)測(cè)性能并沒有顯著提高,尤其是對(duì)回流區(qū)大小以及再附點(diǎn)位置的捕捉,該結(jié)果驗(yàn)證了直接將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲得的新的雷諾應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系完全顯式替代原始雷諾應(yīng)力的方法確實(shí)會(huì)造成RANS 求解器的非物理震蕩以及數(shù)值不穩(wěn)定性.而本文所用的基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正模型對(duì)速度場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)優(yōu)于原始RANS 模型,且對(duì)回流區(qū)大小以及再附流動(dòng)的預(yù)測(cè)與LES 結(jié)果較為接近.這證明了將RANS模型分為線性部分(通過(guò)EVNN 預(yù)測(cè)更新黏性項(xiàng)以隱式求解)和非線性部分(通過(guò)TBNN 預(yù)測(cè)雷諾應(yīng)力僅更新非線性項(xiàng)) 提高了RANS 求解器的穩(wěn)定性和渦黏系數(shù)的準(zhǔn)確性.

圖7 周期山狀流不同位置處的平均流向速度剖面預(yù)測(cè)Fig.7 Prediction of the mean streamwise velocity profiles at different locations after one loop modification

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正模型的預(yù)測(cè)性能,對(duì)比了LES 方法以及原始RANS 模型對(duì)下壁面平均壓力系數(shù)和平均摩擦力系數(shù)的分布預(yù)測(cè),結(jié)果如圖8 所示.由圖8(a)中的平均壓力系數(shù)可以看出,修正模型可以捕捉到與LES 一致的變化趨勢(shì),但對(duì)壓力系數(shù)捕捉的精度仍低于LES 結(jié)果.而對(duì)比圖8(b)關(guān)于平均摩擦力系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),修正模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與LES 結(jié)果更為吻合,特別是可以準(zhǔn)確捕捉到再附點(diǎn)的位置(圖中綠色橫線標(biāo)注),然而修正模型對(duì)摩擦力峰值的捕捉精度仍不夠準(zhǔn)確.

圖8 周期山狀流的平均壓力系數(shù)分布和平均摩擦力系數(shù)分布Fig.8 Prediction of the mean pressure coefficient and the mean friction coefficient after one loop modification

3.3.2 多次修正預(yù)測(cè)結(jié)果

為了實(shí)現(xiàn)修正模型對(duì)流場(chǎng)預(yù)測(cè)的精度閉環(huán),采用了多次修正的策略.本文基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)RANS模型進(jìn)行了3 次訓(xùn)練修正計(jì)算,并基于最終神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)RANS 模擬的一個(gè)新的流場(chǎng)進(jìn)行修正預(yù)測(cè),具體的數(shù)據(jù)選擇如下.

(1) 第1 次:基于先驗(yàn)流場(chǎng)(α=1/3,1/2) 構(gòu)建輸入,第1 次訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),然后對(duì)先驗(yàn)流場(chǎng)(α=1/3,1/2)進(jìn)行修正,得到后驗(yàn)流場(chǎng)1;

(2)第2 次:基于后驗(yàn)流場(chǎng)1 的數(shù)據(jù)構(gòu)建輸入,第2 次訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò),之后重新對(duì)先驗(yàn)流場(chǎng)(α=1/3,1/2)進(jìn)行修正,得到后驗(yàn)流場(chǎng)2;

(3)第3 次:基于后驗(yàn)流場(chǎng)2 的數(shù)據(jù)構(gòu)建輸入,第3 次訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò),進(jìn)而再次對(duì)先驗(yàn)流場(chǎng)(α=1/3,1/2)進(jìn)行修正,得到最終的修正流場(chǎng);

(4)基于第3 次獲得的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)RANS 模擬的一個(gè)新流場(chǎng)(α=1)直接進(jìn)行修正預(yù)測(cè).

在計(jì)算過(guò)程中,雷諾應(yīng)力被進(jìn)行迭代更新.圖9是基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)原始RANS 模型進(jìn)行3 次訓(xùn)練與修正計(jì)算的平均流向速度剖面結(jié)果.從圖中可以看出,修正模型對(duì)速度場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度和LES 結(jié)果一致,進(jìn)一步地,修正模型預(yù)測(cè)的下壁面的平均壓力系數(shù)和平均摩擦力系數(shù)的分布也更加接近LES 結(jié)果(見圖10).

圖9 多次修正下周期山狀流不同位置處的平均流向速度剖面預(yù)測(cè)Fig.9 Prediction of the mean streamwise velocity profiles at different locations after three loop modifications

圖10 多次修正下周期山狀流的平均壓力系數(shù)分布和平均摩擦力系數(shù)分布Fig.10 Prediction of the mean pressure coefficient and the mean friction coefficient after three loop modifications

4 結(jié)論

機(jī)器學(xué)習(xí)算法結(jié)合傳統(tǒng)RANS 模型的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型是具有實(shí)際意義且可提高預(yù)測(cè)性能的一種方法,也可以改善RANS 湍流建模的差異.為了進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)RANS 湍流模型的數(shù)值穩(wěn)定性以及預(yù)測(cè)精度,本文發(fā)展了一種基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(TBNN 和EVNN)預(yù)測(cè)渦黏系數(shù)和雷諾應(yīng)力各向異性張量的修正方法,使用EVNN 預(yù)測(cè)渦黏系數(shù)實(shí)現(xiàn)了雷諾應(yīng)力線性部分的隱式求解,利用TBNN 預(yù)測(cè)雷諾應(yīng)力的非線性部分提升了模型預(yù)測(cè)的精度.

基于組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)RANS 模型進(jìn)行隱式修正相比于顯式數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型抑制了模型的非物理震蕩且提高了數(shù)值的穩(wěn)定性.經(jīng)過(guò)多次修正后的模型對(duì)后驗(yàn)速度場(chǎng)、平均壓力分布和平均摩擦力分布的預(yù)測(cè)精度均更接近LES 結(jié)果,實(shí)現(xiàn)了對(duì)后驗(yàn)流場(chǎng)預(yù)測(cè)的精度閉環(huán).

在下一步的工作中,需要進(jìn)一步研究RANS 湍流模型的泛化性能以應(yīng)用到更復(fù)雜的流動(dòng)中.同時(shí)深度學(xué)習(xí)模型還存在一些普適性的難題,即難以解釋輸入數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)結(jié)果之間的因果關(guān)系,而且深度學(xué)習(xí)框架過(guò)分的依靠數(shù)據(jù),可能會(huì)產(chǎn)生虛假的規(guī)律,可信度受到質(zhì)疑,因此在未來(lái)考慮進(jìn)一步放松數(shù)據(jù)需求,建立無(wú)監(jiān)督的網(wǎng)絡(luò)模型以及具有物理約束的收斂判據(jù)是非常重要的.