王允地，王帥，王良文，張繼豪，王若瀾

1.陜西科技大學 機電工程學院, 陜西 西安 710021；2.北京立德未來助學公益基金會，北京 100026；3.鄭州輕工業(yè)大學 機電工程學院, 河南 鄭州 450002；4.鄭州輕工業(yè)大學 國際教育學院, 河南 鄭州 450002

0 引言

工程實際中的很多問題都可抽象為單自由度系統(tǒng)的振動[1-3]. 通常，機械系統(tǒng)的黏滯阻尼是非線性的,與溫度、頻率、應變等因素有關[4-5]. 摩擦也是機械系統(tǒng)中常見的非線性問題之一[6-9]，在考慮系統(tǒng)的黏滯阻尼、摩擦等因素的前提下研究系統(tǒng)的振動非常必要. 針對簡諧激勵振動，文獻[10-11]繪制了相頻曲線圖和幅頻曲線圖，但均未給出包含初始條件的簡諧激勵響應關系式. 文獻[12]給出了包含初始條件的小阻尼簡諧激勵響應式，但未討論阻尼比為0且激勵頻率與固有頻率相等的情況. 文獻[12-13]給出了計算任意激勵響應的杜哈米積分，但未討論庫侖摩擦力對振動響應的影響. 文獻[14] 研究了單自由度含干摩擦振動系統(tǒng)的全局動力學行為. 文獻[15]采用拉普拉斯變換和海維賽德第一類展開式，推導了有阻尼單自由度系統(tǒng)的強迫振動通解. 文獻[16]考慮了具有非線性黏滯阻尼和庫侖摩擦的單自由度系統(tǒng)，描述了從系統(tǒng)的自由響應信號中同時識別非線性阻尼和庫侖摩擦的方法. 文獻[17]討論了純庫侖摩擦力對自由振動影響. 文獻[18]用相圖法就庫侖摩擦力對強迫振動的影響作了一些定性討論.文獻[19]提出了一種估算庫侖和黏滯摩擦的減量方法.文獻[20]提出了將單自由度系統(tǒng)自由振動響應的封閉解作為動力系統(tǒng)庫侖摩擦基礎研究的一部分.

上述研究對含初始條件的基于黏滯阻尼的單自由度振動計算問題研究不夠全面. 本文擬在現(xiàn)有研究成果的基礎上，對包含初始條件的基于黏滯阻尼的自由振動響應和簡諧激勵響應進行研究，分析有阻尼共振和無阻尼共振，以及無阻尼振動響應中存在的拍振現(xiàn)象，探討庫侖摩擦力對系統(tǒng)振動的影響等，以期豐富單自由度系統(tǒng)振動理論的研究，為在工程中更好地應用單自由度振動系統(tǒng)提供支持.

1 黏滯阻尼自由振動響應

對物體質量為m、剛度為k、黏滯阻尼系數為c、激勵力為F(t)(作用方向為物體的運動方向X)的質量、彈簧、阻尼系統(tǒng)，有振動方程[21]：

①

對于支座沿X方向以s=s(t)作激勵運動的情形，將上式中F(t)換為ks(t)即可，并稱其為等效激勵力. 激勵力為0的振動即為自由振動，可將式①轉化為

②

若ξ>1，λ1和λ2均為負數，位移x隨著時間t的增加從初始位置起迅速趨于0，或沿速度方向運動到極值點再迅速趨于0.

多數情況下，ξ<1. 在復數范圍內，虛指數函數的線性組合等于三角函數的線性組合，解表達式的實部和虛部均成為負指數函數與三角函數的乘積. 取其實部推得包含初始條件的小阻尼自由振動響應x為

如果出現(xiàn)ξ=0的理想情況，系統(tǒng)就會按ωn為角頻率的簡諧規(guī)律一直振動，故ωn稱為固有頻率.

2 黏滯阻尼簡諧激勵響應

2.1 穩(wěn)態(tài)響應及幅頻和相頻曲線

固定ξ，讓ω/ωn從0向無窮大變化，則有：ω/ωn=0時，β=1，H=F0/k，α=0；ω/ωn=1時，β=1/(2ξ) ，α=π/2；ω/ωn→∞時，β趨于0，α趨于π.

若ξ>0，隨著時間增長，齊次微分方程的通解幅值以負指數規(guī)律趨于0，只剩下與激勵力頻率ω相同的穩(wěn)定簡諧特解部分. 通常稱其為由激勵力引起的穩(wěn)態(tài)響應：

值得注意的是，在ω/ωn=1附近，ξ對β影響較大，對其他參數影響較小. 另外，若ξ較小，則當ω/ωn=1時，β接近于最大值，而α仍不受ξ的影響，恒等于π/2. 這也是當ω/ωn=1時發(fā)生共振的原因.

圖1是給定ξ后，β及α隨ω/ωn變化的幅頻曲線圖和相頻曲線圖. 從圖1可以看出，在ω/ωn=1附近，隨ξ減少，β顯著增加，且在ω/ωn=1時，α不受ξ的影響.

圖1 給定ξ后，β及α隨ω/ωn變化的 幅頻曲線和相頻曲線圖Fig.1 Amplitude frequency curve and phase frequency curve for β and α changing follow ω/ωn when ξ was given

2.2 包含初始條件的響應計算

強迫振動微分方程的通解等于強迫振動方程特解與對應的齊次微分方程通解之和. 再考慮初始條件，即得方程的完整響應式. 阻尼比ξ≥1的情況較少見，在此不加討論.

情形1阻尼比1>ξ>0

當阻尼比1>ξ>0時，響應x由瞬態(tài)衰減項和穩(wěn)態(tài)響應項組成.

令激勵力F=F0cosωt，則有：

令激勵力F=F0sinωt，則有：

令激勵力F=F0cos(ωt-φ)=F1cosωt+F2sinωt，其中F1=F0cosφ，F(xiàn)2=F0sinφ，則有：

該完整響應式第一項為自由振動項,第二項為伴隨自由振動項,第三項為穩(wěn)態(tài)響應項. 自由振動項由初始條件x0和v0決定，隨著時間趨于0. 伴隨自由振動項與初始條件無關，也隨著時間趨于0. 將該式中的時間t換成t-t0,即可得到t=t0時,位移為x0且速度為v0的響應計算式.

情形2阻尼比ξ=0

當阻尼比ξ=0時，響應x由固有振動項和激勵響應項組成.

若ω<ωd，分別令激勵力F1=F0cosωt，F(xiàn)2=F0sinωt，F(xiàn)=F1cosωt+F2sinωt，則可以推導出：

其中β=1/[1-(ω/ωn)2].

若ω>ωd，則類似可以推導出：

其中β=1/[(ω/ωn)2-1].

若ω=ωn,可以推導出：

2.3 共振曲線的過渡過程及拍振現(xiàn)象

由于簡諧激勵響應規(guī)律與激勵相角無關，因此只討論純余弦激勵的情況.

2.3.1 有阻尼共振曲線當初始位移x0=0、速度v0=0時，令激勵力F=F0cosωnt，則共振響應x為

其中，β=1/(2ξ)，α=π/2.

在阻尼比ξ較小的情況下，ωd≈ωn，x的響應式可簡化為

圖2給出了有阻尼共振響應計算實例結果，其中m=0.1 kg，c=0.2 N·s/m，k=10 N/m，F(xiàn)0=10 N，ω=ωn=10 rad/s，β=5，x0=0 m，v0=0 m/s，a0=100 m/s2. 從圖2可以看出，振幅以負指數規(guī)律先以較快速度上升，然后緩慢上升到穩(wěn)態(tài)值.

圖2 有阻尼共振響應曲線Fig.2 Damped resonance response curve

2.3.2 無阻尼共振曲線當阻尼比ξ=0時，取初始位移、速度及激勵力與有阻尼的狀態(tài)相同，其共振響應x為

圖3給出了一個相應的計算實例結果，其中m=0.1 kg，c=0 N·s/m，k=10 N/m，F(xiàn)0=10 N，ω=ωn=10 rad/s，x0=0 m，v0=0 m/s，a0=100 m/s2. 從圖3可以看出，該理想響應振幅以線性規(guī)律從0起一直上升.

圖3 無阻尼共振響應曲線Fig.3 Undamped resonance response curve

2.3.3 無阻尼振動的拍振現(xiàn)象取初始位移及速度均為0，令激勵力F=F0cosωt，激勵頻率ω接近于ωn，當ω<ωn時,振動響應x為

其中β=1/[1-(ω/ωn)2].

當ω>ωn時，振動響應x為

其中β=1/[(ω/ωn)2-1].

圖4 拍振曲線Fig.4 Beat vibration curve

3 庫侖摩擦力對系統(tǒng)振動的影響

質量塊在軌道上運行時，通常存在庫侖摩擦力K，把振動微分方程①中的F(t)換為激勵力F1(t)和速度反向庫侖摩擦力K的迭加，即可用杜哈米積分解析分析或用龍格-庫塔法數值計算出庫侖摩擦力對自由振動和強迫振動的影響.

3.1 庫侖摩擦力對自由振動的影響

3.1.1 純庫侖摩擦力對自由振動的影響通過大量的實例計算，并結合文獻[11]可知，純庫侖摩擦力作用下的自由振動幅值以等差級數下降，幅值從極小到極大或從極大到極小均為以ωn為角頻率的余弦函數與常量之和，異側相鄰幅值下降量為摩擦力與剛度系數比值的2倍，同側相鄰幅值下降量為其4倍. 幅值下降到3倍以下后會進入平衡位置附近而停止不動.

圖5給出一個用龍格-庫塔法計算的純庫侖摩擦力對自由振動的影響實例，其中K=1.5 N，m=0.1 kg，k=10 N/m，c=0 N·s/m，F(xiàn)0=0 N，ωn=10 rad/s，x0=4 m，v0=4 m/s，F(xiàn)K=1.5 N. 從圖5可以看出，振動幅值以等差級數下降的規(guī)律明顯.

圖5 純庫侖摩擦力對自由振動的影響Fig.5 Effect of pure Coulomb friction on free vibration

3.2 庫侖摩擦力對強迫振動的影響

機械振動曲線大多表現(xiàn)為方向不斷變化的振蕩曲線. 從負位移幅值處向正位移幅值處運動時，庫侖摩擦力為負常量；而從正位移幅值處向負位移幅值處運動時，庫侖摩擦力為正常量. 使得系統(tǒng)位移與無庫侖摩擦力位移有縮減差別量ε. 據此，利用和函數積分的迭加性，用杜哈米積分分段推出了由剛度系數k、固有頻率ωn、阻尼比ξ、負位移幅值時間t0和正位移幅值時間t1所決定的庫侖摩擦力K對位移差別的影響式為

把獲得的庫侖摩擦力K對位移差別的影響式和其他激勵力F1(t)引起的響應式合并，即可得到系統(tǒng)的最終響應式.

選取合適的時間步長h，用數值算法得到庫侖摩擦力K=1.5 N對激勵力F1(t)=F0sinωt的強迫振動影響曲線如圖6所示.

圖6 庫侖摩擦力對強迫振動的影響Fig.6 Effect of Coulomb friction on forced vibration

由圖6并結合庫侖摩擦力K對位移差別的影響式可知，振動響應加速度的絕對值在位移幅值處產生由大到小的不連續(xù)變化，其差值為庫侖摩擦力K與質量m比值的2倍. 經進一步推導顯示，區(qū)間內消耗的能量等于位移行程與庫侖摩擦力的乘積.

當初始位移、初始速度、激勵力幅值三者各小于一定值時，質量塊運動到位移幅值處時，動摩擦力消失，而靜摩擦力則由一個較小值自適應漸變到K，然后質量塊開始返回，出現(xiàn)位移幅值處暫停現(xiàn)象. 開始停歇時，加速度突變；停歇結束時，加速度連續(xù).

通過數值計算，結合文獻[12]的研究還發(fā)現(xiàn)，小庫侖摩擦力抑制不住無黏滯阻尼共振響應不斷增長的趨勢，接近于激勵力幅值F0的大庫侖摩擦力K才能使無黏滯阻尼共振響應幅值不超過穩(wěn)態(tài)值，并可能出現(xiàn)位移幅值處暫停現(xiàn)象.

4 結語

本文通過對基于黏滯阻尼的單自由度振動響應及簡諧激勵響應的分析，得到了不同阻尼比狀態(tài)下的振動位移的變化規(guī)律：在簡諧激勵的情況下，當初始位移及速度均為0，無阻尼激勵頻率接近于固有頻率時，振動系統(tǒng)將出現(xiàn)拍振現(xiàn)象；而小庫侖摩擦力抑制不住無黏滯阻尼共振響應的不斷增長趨勢；接近于激勵力幅值的大庫侖摩擦力才能使無黏滯阻尼共振響應幅值不超過穩(wěn)態(tài)值，并可能出現(xiàn)位移幅值處暫?，F(xiàn)象. 這些結論為進行機械振動系統(tǒng)的阻尼與摩擦設計奠定了理論基礎.